Vierkant (algebra)

In de wiskunde is een kwadraat het resultaat van het vermenigvuldigen van een getal met zichzelf. Het werkwoord "kwadrateren" wordt gebruikt om deze bewerking aan te duiden. Kwadratuur is hetzelfde als verhogen tot de macht 2 , en wordt aangegeven door een superscript 2; het kwadraat van 3 kan bijvoorbeeld worden geschreven als 3 ² , wat het nummer 9 is. In sommige gevallen wanneer superscript niet beschikbaar is, zoals bijvoorbeeld in programmeertalen of platte tekstbestanden , kunnen de notaties x^2of x**2worden gebruikt in plaats van .x²

5\cdot5

, of

52

(5 in het kwadraat), kan grafisch worden weergegeven met een vierkant . Elk blok vertegenwoordigt één eenheid, 1

\cdot 1

, en het hele vierkant vertegenwoordigt 5

\cdot 5

, of de oppervlakte van het vierkant.

Het bijvoeglijk naamwoord dat overeenkomt met kwadratisch is kwadratisch .

Het kwadraat van een geheel getal kan ook een kwadraatgetal of een perfect kwadraat worden genoemd. In de algebra wordt de werking van kwadratuur vaak gegeneraliseerd naar polynomen , andere uitdrukkingen of waarden in systemen van andere wiskundige waarden dan de getallen. Het kwadraat van het lineaire polynoom $x + 1$ is bijvoorbeeld het kwadratische polynoom $(x +1) 2 = x 2 + 2 x + 1$ .

Een van de belangrijke eigenschappen van kwadratuur, zowel voor getallen als in vele andere wiskundige systemen, is dat (voor alle getallen $x$ ) het kwadraat van $x$ hetzelfde is als het kwadraat van zijn additieve inverse $- x$ . Dat wil zeggen, de kwadraatfunctie voldoet aan de identiteit $x 2 = (- x) 2$ . Dit kan ook worden uitgedrukt door te zeggen dat de kwadraatfunctie een even functie is .

In reële cijfers

De grafiek van de kwadratische functie

y = x 2

is een parabool .

De kwadratische bewerking definieert een echte functie genaamd devierkante functie of dekwadratische functie . Zijndomeinis de helereële lijnen zijnafbeeldingis de verzameling niet-negatieve reële getallen.

De kwadraatfunctie behoudt de volgorde van positieve getallen: grotere getallen hebben grotere vierkanten. Met andere woorden, het kwadraat is een monotone functie op het interval $[0, + \infty)$ . Op de negatieve getallen hebben getallen met een grotere absolute waarde grotere kwadraten, dus het kwadraat is een monotoon afnemende functie op $(-\infty, 0]$ . Daarom is nul het (globale) minimum van de kwadraatfunctie. Het kwadraat $x 2$ van a getal $x$ is kleiner dan $x$ (dat is $x 2 < x$ ) als en slechts als $0 < x <1$ , dat wil zeggen als $x$ behoort tot het open interval $(0,1)$ . Dit impliceert dat het kwadraat van een geheel getal nooit kleiner dan het oorspronkelijke aantal $x$ .

Elk positief reëel getal is het kwadraat van precies twee getallen, waarvan er één strikt positief is en het andere strikt negatief. Nul is het kwadraat van slechts één getal zelf. Om deze reden is het mogelijk om de vierkantswortelfunctie te definiëren , die met een niet-negatief reëel getal het niet-negatieve getal associeert waarvan het kwadraat het oorspronkelijke getal is.

Er kan geen vierkantswortel worden genomen van een negatief getal binnen het systeem van reële getallen , omdat kwadraten van alle reële getallen niet negatief zijn . Het ontbreken van echte vierkantswortels voor de negatieve getallen kan worden gebruikt om het reële getalsysteem uit te breiden naar de complexe getallen , door de imaginaire eenheid $i te$ postuleren , die een van de vierkantswortels is van -1.

De eigenschap "elk niet-negatief reëel getal is een kwadraat" is gegeneraliseerd naar de notie van een echt gesloten veld , dat een geordend veld is , zodat elk niet-negatief element een vierkant is en elk polynoom van oneven graad een wortel heeft. De echte gesloten velden zijn niet te onderscheiden van het veld van reële getallen door hun algebraïsche eigenschappen: elke eigenschap van de reële getallen, die uitgedrukt kan worden in eerste orde logica (die uitgedrukt wordt door een formule waarin de variabelen die gekwantificeerd worden door ∀ of ∃ vertegenwoordigen elementen, niet verzamelingen), geldt voor elk echt gesloten veld, en omgekeerd geldt dat elke eigenschap van de eerste-orde logica, die waar is voor een specifiek echt gesloten veld, ook geldt voor de reële getallen.

In geometrie

Er zijn verschillende belangrijke toepassingen van de vierkante functie in de geometrie.

De naam van de kwadraatfunctie toont het belang ervan bij de definitie van het gebied : het komt van het feit dat de oppervlakte van een vierkant met zijden van lengte $l$ gelijk is aan $l 2$ . De oppervlakte hangt kwadratisch af van de grootte: de oppervlakte van een vorm $n$ maal groter is $n 2$ maal zo groot. Dit geldt zowel voor gebieden in drie dimensies als in het vlak: het oppervlak van een bol is bijvoorbeeld evenredig met het kwadraat van zijn straal, een feit dat fysiek tot uiting komt door de inverse-kwadratenwet die beschrijft hoe de sterkte van fysieke krachten zoals zwaartekracht variëren afhankelijk van de afstand.

Fresnel zone platen hebben ringen met gelijke afstanden gekwadrateerde afstand tot het centrum

De kwadraatfunctie is gerelateerd aan afstand door de stelling van Pythagoras en de generalisatie ervan, de parallellogramwet . Euclidische afstand is geen vloeiende functie : de driedimensionale grafiek van afstand vanaf een vast punt vormt een kegel , met een niet-glad punt aan het uiteinde van de kegel. Het kwadraat van de afstand (aangeduid met $d 2$ of $r 2$ ), dat een paraboloïde als grafiek heeft, is echter een vloeiende en analytische functie .

Het puntproduct van een Euclidische vector met zichzelf is gelijk aan het kwadraat van zijn lengte: $v \cdot v = v 2$ . Dit wordt verder gegeneraliseerd naar kwadratische vormen in lineaire ruimtes via het inproduct . De traagheidstensor in de mechanica is een voorbeeld van een kwadratische vorm. Het toont een kwadratisch verband tussen het traagheidsmoment en de grootte ( lengte ).

Er zijn oneindig veel Pythagoras triples , sets van drie positieve gehele getallen zodat de som van de kwadraten van de eerste twee gelijk is aan het kwadraat van de derde. Elk van deze triples geeft de gehele zijden van een rechthoekige driehoek.

In abstracte algebra en getaltheorie

De kwadraatfunctie wordt in elk veld of ring gedefinieerd . Een element in de afbeelding van deze functie wordt een vierkant genoemd en de inverse afbeeldingen van een vierkant worden vierkantswortels genoemd .

Het begrip kwadratuur is vooral belangrijk in de eindige velden Z / p Z gevormd door de getallen modulo een oneven priemgetal $p$ . Een element van dit veld dat niet nul is, wordt een kwadratisch residu genoemd als het een vierkant is in Z / p Z , en anders wordt het een kwadratisch niet-residu genoemd. Nul, hoewel een vierkant, wordt niet als een kwadratisch residu beschouwd. Elk eindig veld van dit type heeft exact $(p - 1) / 2$ kwadratische residuen en precies $(p - 1) / 2$ kwadratische niet-residuen. De kwadratische residuen vormen een groep onder vermenigvuldiging. De eigenschappen van kwadratische residuen worden veel gebruikt in de getaltheorie .

Meer in het algemeen kan de kwadraatfunctie in ringen verschillende eigenschappen hebben die soms worden gebruikt om ringen te classificeren.

Nul kan het kwadraat zijn van sommige elementen die niet nul zijn. Een commutatieve ring zodat het kwadraat van een element dat niet nul is nooit nul is, wordt een gereduceerde ring genoemd . Meer in het algemeen is in een commutatieve ring een radicaal ideaal een ideaal $I$ zodanig dat ${\ displaystyle x ^ {2} \ in I}$ impliceert ${\ displaystyle x \ in I}$ . Beide begrippen zijn belangrijk in de algebraïsche meetkunde , vanwege Hilbert's Nullstellensatz .

Een element van een ring dat gelijk is aan zijn eigen vierkant wordt een idempotent genoemd . In elke ring zijn 0 en 1 idempotents.Er zijn geen andere idempotenten in velden en meer in het algemeen in integrale domeinen . De ring van de gehele getallen modulo $n$ heeft echter $2 k$ idempotenten, waarbij $k$ het aantal verschillende priemfactoren van $n is$ . Een commutatieve ring waarin elk element gelijk is aan zijn kwadraat (elk element is idempotent) wordt een Booleaanse ring genoemd ; een voorbeeld uit de informatica is de ring waarvan de elementen binaire getallen zijn , met bitsgewijze EN als vermenigvuldigingsbewerking en bitsgewijze XOR als optelbewerking.

In een totaal geordende ring , $x 2 \geq 0$ voor elke $x$ . Bovendien, $x 2 = 0$ als en slechts als $x = 0$ .

In een supercommutatieve algebra waarin 2 inverteerbaar is, is het kwadraat van een oneven element gelijk aan nul.

Als A een commutatieve semigroep is , dan is dat zo

{\ displaystyle \ forall x, y \ in A \ quad (xy) ^ {2} = xyxy = xxyy = x ^ {2} y ^ {2}.}

In de taal van kwadratische vormen zegt deze gelijkheid dat de kwadratische functie een "vorm die compositie toelaat" is. In feite is de kwadratische functie de basis waarop andere kwadratische vormen worden geconstrueerd die ook compositie mogelijk maken. De procedure werd geïntroduceerd door LE Dickson om de octonionen uit quaternionen te produceren door middel van verdubbeling. De verdubbeling werkwijze werd bekrachtigd door AA Albert die het begon reële getal veld ℝ en kwadraatfunctie, verdubbeling het verkrijgen complexe getal veld met kwadratische vorm $x 2 + y 2$ , en dan weer verdubbelde tot quaternions verkrijgen. De verdubbelingsprocedure wordt de Cayley-Dickson-constructie genoemd en is gegeneraliseerd om algebra's te vormen met dimensie 2 ⁿ over een veld F met involutie.

De kwadraatfunctie z ² is de "norm" van de compositie-algebra ℂ, waarbij de identiteitsfunctie een triviale involutie vormt om de Cayley-Dickson-constructies te beginnen die leiden tot bicomplex-, biquaternion- en bioctonion-compositie-algebra's.

In complexe getallen en gerelateerde algebra's over de reële getallen

De complexe kwadraatfunctie $z 2$ is een tweevoudige dekking van het complexe vlak , zodat elk niet-nul complex getal precies twee vierkantswortels heeft. Deze kaart is gerelateerd aan parabolische coördinaten .

Het absolute kwadraat van een complex getal is het product $z z *$ met zijn complexe conjugaat ; ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8] het kan ook worden uitgedrukt in termen van de complexe modulus of absolute waarde, $| z | 2$ . Het kan worden gegeneraliseerd naar vectoren als het complexe puntproduct .

Andere gebruiken

Vierkanten zijn alomtegenwoordig in de algebra, meer in het algemeen, in bijna elke tak van de wiskunde, en ook in de natuurkunde, waar veel eenheden worden gedefinieerd met vierkanten en inverse vierkanten: zie hieronder .

Kleinste kwadraten is de standaardmethode die wordt gebruikt bij overbepaalde systemen .

Kwadratuur wordt gebruikt in statistieken en kansrekening bij het bepalen van de standaarddeviatie van een reeks waarden of een willekeurige variabele . De afwijking van elke waarde $x i$ van het gemiddelde ${\ displaystyle {\ overline {x}}}$ van de set wordt gedefinieerd als het verschil ${\ displaystyle x_ {i} - {\ overline {x}}}$ . Deze afwijkingen worden gekwadrateerd, waarna een gemiddelde wordt genomen van de nieuwe reeks getallen (die elk positief zijn). Dit gemiddelde is de variantie en de vierkantswortel is de standaarddeviatie. In de financiële wereld is de volatiliteit van een financieel instrument de standaarddeviatie van zijn waarden.

Zie ook

Exponentiatie door kwadratuur
Polynoom SOS , de weergave van een niet-negatieve polynoom als de som van kwadraten van veeltermen
Hilbert's zeventiende probleem , voor de weergave van positieve polynomen als een som van kwadraten van rationale functies
Vierkantvrije polynoom
Kubus (algebra)
Metrische tensor
Kwadratische vergelijking
Polynoom ring
Som van vierkanten (ondubbelzinnige pagina met verschillende relevante links)

Gerelateerde identiteiten

Algebraïsch ( commutatieve ring nodig )

Verschil van twee vierkanten
Brahmagupta-Fibonacci-identiteit , gerelateerd aan complexe getallen in de hierboven besproken zin
De viervierkant-identiteit van Euler , op dezelfde manier gerelateerd aan quaternionen
Degen's achthoekige identiteit , op dezelfde manier gerelateerd aan octonionen
Lagrange's identiteit

Andere

Goniometrische identiteit van Pythagoras
Parseval's identiteit

Gerelateerde fysieke grootheden

versnelling , lengte per vierkante tijd
dwarsdoorsnede (fysica) , een oppervlakte-gedimensioneerde grootheid
koppelingsconstante (heeft kwadratische lading in de noemer en kan worden uitgedrukt met vierkante afstand in de teller)
kinetische energie (kwadratische afhankelijkheid van snelheid)
specifieke energie , een (kwadratische snelheid) -gedimensioneerde grootheid

Voetnoten

^ Weisstein, Eric W. "Absoluut Vierkant" . mathworld.wolfram.com .
^ Moore, Thomas (9 januari 2003). Zes ideeën die de natuurkunde hebben gevormd: Unit Q - Deeltjes gedragen zich als golven . McGraw-Hill Education. ISBN 9780072397130 - via Google Books.
^ Blanpied, William A. (4 september 1969). Physics: de structuur en evolutie . Blaisdell Publishing Company. ISBN 9780471000341 - via Google Books.
^ Greiner, Walter (6 december 2012). Quantum Mechanics: An Introduction . Springer Science & Business Media. ISBN 9783642579745 - via Google Books.
^ Burkhardt, Charles E .; Leventhal, Jacob J. (15 december 2008). Grondslagen van kwantumfysica . Springer Science & Business Media. ISBN 9780387776521 - via Google Books.
^ Senese, Fred (24 augustus 2018). Symbolische wiskunde voor chemici: een gids voor Maxima-gebruikers . John Wiley & Sons. ISBN 9781119273233 - via Google Books.
^ Steiner, Mark (30 juni 2009). De toepasbaarheid van wiskunde als filosofisch probleem . Harvard University Press. ISBN 9780674043985 - via Google Books.
^ Maudlin, Tim (19 maart 2019). Philosophy of Physics: Quantum Theory . Princeton University Press. ISBN 9780691183527 - via Google Books.

Verder lezen

Marshall, Murray Positieve polynomen en sommen van kwadraten. Mathematical Surveys and Monographs, 146. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. xii + 187 pp. ISBN 978-0-8218-4402-1 , ISBN 0-8218-4402-4
Rajwade, AR (1993). Vierkanten . London Mathematical Society Lecture Note Series. 171 . Cambridge University Press . ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0.785,11022 .

[1] Weisstein, Eric W. "Absoluut Vierkant" . mathworld.wolfram.com .

[2] Moore, Thomas (9 januari 2003). Zes ideeën die de natuurkunde hebben gevormd: Unit Q - Deeltjes gedragen zich als golven . McGraw-Hill Education. ISBN 9780072397130 - via Google Books.

[3] Blanpied, William A. (4 september 1969). Physics: de structuur en evolutie . Blaisdell Publishing Company. ISBN 9780471000341 - via Google Books.

[4] Greiner, Walter (6 december 2012). Quantum Mechanics: An Introduction . Springer Science & Business Media. ISBN 9783642579745 - via Google Books.

[5] Burkhardt, Charles E .; Leventhal, Jacob J. (15 december 2008). Grondslagen van kwantumfysica . Springer Science & Business Media. ISBN 9780387776521 - via Google Books.

[6] Senese, Fred (24 augustus 2018). Symbolische wiskunde voor chemici: een gids voor Maxima-gebruikers . John Wiley & Sons. ISBN 9781119273233 - via Google Books.

[7] Steiner, Mark (30 juni 2009). De toepasbaarheid van wiskunde als filosofisch probleem . Harvard University Press. ISBN 9780674043985 - via Google Books.

[8] Maudlin, Tim (19 maart 2019). Philosophy of Physics: Quantum Theory . Princeton University Press. ISBN 9780691183527 - via Google Books.