Gebied

Twee orthogonale stralen van een bol

In de analytische meetkunde is een bol met middelpunt ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) en straal r de meetkundige plaats van alle punten ( x , y , z ) zodat

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.}$

Laat a, b, c, d, e reële getallen zijn met a ≠ 0 en zet

${\displaystyle x_{0}={\frac {-b}{a}},\quad y_{0}={\frac {-c}{a}},\quad z_{0}={\frac { -d}{a}},\quad \rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.}$

Dan is de vergelijking

${\displaystyle f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0}$

heeft geen echte punten als oplossingen als ${\displaystyle \rho <0}$en wordt de vergelijking van een denkbeeldige bol genoemd . Als${\displaystyle \rho =0}$, de enige oplossing van ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$ is het punt? ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$en de vergelijking is de vergelijking van een puntbol . Eindelijk, in het geval${\displaystyle \rho >0}$, ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$ is een vergelijking van een bol waarvan het middelpunt is ${\displaystyle P_{0}}$ en wiens straal is ${\displaystyle {\sqrt {\rho }}}$. ^[2]

Als a in de bovenstaande vergelijking nul is, dan is f ( x , y , z ) = 0 de vergelijking van een vlak. Een vlak kan dus worden gezien als een bol met een oneindige straal waarvan het middelpunt een punt op oneindig is . ^[3]

De punten op de bol met straal ${\displaystyle r>0}$ en centrum ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ parametreerbaar via

${\displaystyle {\begin{uitgelijnd}x&=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \qquad ( 0\leq \theta \leq \pi ,\;0\leq \varphi <2\pi )\\z&=z_{0}+r\cos \theta \,\end{aligned}}}$^[4]

De parameter ${\displaystyle \theta}$kan worden geassocieerd met de positief getelde hoek vanuit de richting van de positieve z- as door het midden naar de straal-vector, en de parameter${\displaystyle \varphi}$kan worden geassocieerd met de positief getelde hoek vanuit de richting van de positieve x -as door het middelpunt naar de projectie van de straal-vector op het xy -vlak.

Een bol met elke straal gecentreerd op nul is een integraal oppervlak van de volgende differentiaalvorm :

${\displaystyle x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.}$

Deze vergelijking geeft aan dat positie- en snelheidsvectoren van een punt, ( x , y , z ) en ( dx , dy , dz ) , die zich op de bol voortbewegen altijd orthogonaal ten opzichte van elkaar zijn.

Een bol kan ook worden geconstrueerd als het oppervlak dat wordt gevormd door een cirkel rond een van zijn diameters te roteren . Aangezien een cirkel een speciaal type ellips is , is een bol een speciaal type omwentelingsellipsoïde . Door de cirkel te vervangen door een ellips die om zijn hoofdas is geroteerd , wordt de vorm een ​​prolate sferoïde ; geroteerd om de korte as, een afgeplatte sferoïde. ^[5]

Bol en omschreven cilinder

In drie dimensies is het volume in een bol (dat wil zeggen, het volume van een bal , maar klassiek aangeduid als het volume van een bol)

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {\pi }{6}}\ d^{3}\circa 0.5236\cdot d^{3} }$

waarbij r de straal is en d de diameter van de bol. Archimedes leidde deze formule eerst af door aan te tonen dat het volume in een bol tweemaal het volume is tussen de bol en de omgeschreven cilinder van die bol (met de hoogte en diameter gelijk aan de diameter van de bol). ^[6] Dit kan worden bewezen door een kegel ondersteboven in een halve bol te schrijven, waarbij wordt opgemerkt dat de oppervlakte van een dwarsdoorsnede van de kegel plus de oppervlakte van een dwarsdoorsnede van de bol hetzelfde is als de oppervlakte van de dwarsdoorsnede van de omschrijvende cilinder, en het toepassen van het principe van Cavalieri . ^[7] Deze formule kan ook worden afgeleid met integraalberekening , namelijk schijf integratie de volumes som een oneindig aantal van cirkelvormige schijven met oneindig kleine dikte gestapeld naast elkaar en gecentreerd langs de x -as van x = - r naar x = r , aangenomen dat de bol met straal r gecentreerd is in de oorsprong.

Bij een gegeven x is het incrementele volume ( δV ) gelijk aan het product van de dwarsdoorsnede van de schijf bij x en zijn dikte ( δx ):

${\ Displaystyle \ delta V \ ongeveer \ pi y ^ {2} \ cdot \ delta x.}$

Het totale volume is de som van alle incrementele volumes:

${\ Displaystyle V \ approx \ sum \ pi y ^ {2} \ cdot \ delta x.}$

In de limiet als δx nul nadert, ^{[8] wordt} deze vergelijking:

${\displaystyle V=\int _{-r}^{r}\pi y^{2}dx.}$

Bij een gegeven x verbindt een rechthoekige driehoek x , y en r met de oorsprong; daarom levert het toepassen van de stelling van Pythagoras op :

${\displaystyle y^{2}=r^{2}-x^{2}.}$

Het gebruik van deze vervanging geeft

${\displaystyle V=\int _{-r}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)dx,}$

die kan worden geëvalueerd om het resultaat te geven

${\displaystyle V=\pi \left[r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-r}^{r}=\pi \left(r ^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)-\pi \left(-r^{3}+{\frac {r^{3}}{3}}\ rechts)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}$

Een alternatieve formule wordt gevonden met behulp van sferische coördinaten , met volume-element

${\displaystyle dV=r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi}$

zo

${\displaystyle V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \, dr'\,d\theta \,d\varphi =2\pi \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr '\,d\theta =4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\,dr'\ ={\frac {4}{3}}\pi r^{3}. }$

Voor de meeste praktische doeleinden kan het volume binnen een bol ingeschreven in een kubus worden benaderd als 52,4% van het volume van de kubus, aangezien V =π/6 d ³ , waarbij d de diameter van de bol is en ook de lengte van een zijde van de kubus en π/6 € 0,5236. Een bol met een diameter van 1  m heeft bijvoorbeeld 52,4% het volume van een kubus met een randlengte van 1  m, of ongeveer 0,524 m ³ .

De oppervlakte van een bol met straal r is:

${\displaystyle A=4\pi r^{2}.}$

Archimedes leidde deze formule ^[9] eerst af van het feit dat de projectie op het zijoppervlak van een omgeschreven cilinder gebiedsbesparend is. ^[10] Een andere benadering voor het verkrijgen van de formule komt van het feit dat deze gelijk is aan de afgeleide van de formule voor het volume met betrekking tot r, omdat het totale volume binnen een bol met straal r kan worden gezien als de som van de oppervlakte van een oneindig aantal bolvormige schalen van oneindig kleine dikte concentrisch in elkaar gestapeld van straal 0 tot straal r . Bij oneindig kleine dikte is de discrepantie tussen het binnen- en buitenoppervlak van een gegeven schaal oneindig klein, en het elementaire volume bij straal r is eenvoudigweg het product van het oppervlak bij straal r en de oneindig kleine dikte.

Bij elke gegeven straal r , ^{[noot 1] is} het incrementele volume ( δV ) gelijk aan het product van het oppervlak bij straal r ( A ( r ) ) en de dikte van een schaal ( δr ):

${\ Displaystyle \ delta V \ ongeveer A (r) \ cdot \ delta r.}$

Het totale volume is de som van alle shell-volumes:

${\ Displaystyle V \ approx \ sum A (r) \ cdot \ delta r.}$

In de limiet als δr nul nadert ^{[8] wordt} deze vergelijking:

${\displaystyle V=\int _{0}^{r}A(r)\,dr.}$

Vervanger V :

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A(r)\,dr.}$

Differentiëren van beide zijden van deze vergelijking met betrekking tot r levert A op als functie van r :

${\displaystyle 4\pi r^{2}=A(r).}$

Dit wordt over het algemeen afgekort als:

${\displaystyle A=4\pi r^{2},}$

waarbij r nu wordt beschouwd als de vaste straal van de bol.

Als alternatief wordt het oppervlakte-element op de bol gegeven in bolcoördinaten door dA = r ² sin θ dθ dφ . In Cartesiaanse coördinaten is het gebiedselement ^{[ nodig citaat ]}

${\displaystyle dS={\frac {r}{\sqrt {r^{2}-{\displaystyle \sum _{i\neq k}x_{i}^{2}}}}}\prod _{i \neq k}dx_{i},\;\vooral k.}$

De totale oppervlakte kan dus worden verkregen door integratie :

${\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =4\ pi r^{2}.}$

De bol heeft het kleinste oppervlak van alle oppervlakken die een bepaald volume omsluiten, en het omsluit het grootste volume van alle gesloten oppervlakken met een bepaald oppervlak. ^[11] De bol verschijnt dus in de natuur: bellen en kleine waterdruppels zijn bijvoorbeeld ongeveer bolvormig omdat de oppervlaktespanning plaatselijk het oppervlak minimaliseert.

Het oppervlak ten opzichte van de massa van een bal wordt het specifieke oppervlak genoemd en kan worden uitgedrukt uit de bovengenoemde vergelijkingen als

${\displaystyle \mathrm {SSA} ={\frac {A}{V\rho }}={\frac {3}{r\rho }},}$

waarbij ρ de dichtheid is (de verhouding van massa tot volume).

Vlakdoorsnede van een bol: 1 cirkel

Coaxiaal snijpunt van een bol en een cilinder: 2 cirkels

Cirkels

• Het snijpunt van een bol en een vlak is een cirkel, een punt of leeg.

In het geval van een cirkel kan de cirkel worden beschreven door een parametervergelijking ${\displaystyle \;{\vec {x}}=({\vec {e}}_{0}+{\vec {e}}_{1}\cos t+{\vec {e}}_{2 }\sin t)^{T}\;}$: zie vlakke doorsnede van een ellipsoïde .

Maar meer gecompliceerde oppervlakken kunnen ook een bol in cirkels snijden:

• Een niet leeg snijpunt van een bol met een omwentelingsoppervlak , waarvan de as het middelpunt van de bol bevat (zijn coaxiaal ) bestaat uit cirkels en/of punten.

Het diagram toont het geval, waarbij het snijpunt van een cilinder en een bol uit twee cirkels bestaat. Zou de straal van de cilinder gelijk zijn aan de straal van de bol, dan zou het snijpunt één cirkel zijn, waar beide vlakken elkaar raken.

In het geval van een sferoïde met hetzelfde middelpunt en dezelfde hoofdas als de bol, zou het snijpunt bestaan ​​uit twee punten (hoekpunten), waar de oppervlakken elkaar raken.

Clelia-curven

sferische spiraal met ${\displaystyle c=8}$

Als de bol wordt beschreven door een parametrische representatie

${\ Displaystyle {\ vec {x}} = (r \ cos \ theta \ cos \ varphi , r \ cos \ theta \ sin \ varphi , r \ sin \ theta ) ^ {T}}$

men krijgt Clelia-curven , als de hoeken zijn verbonden door de vergelijking

• ${\displaystyle \varphi =c\;\theta \;,\ c>0\;.}$

Speciale gevallen zijn: Viviani's curve (${\displaystyle c=1}$) en sferische spiralen (${\displaystyle c>2}$), zoals de spiraal van Seiffert .

Loxodrome

Loxodrome

In de navigatie is een loxodroom of loxodroom een boog die alle meridianen van lengtegraad onder dezelfde hoek kruist . Een loxodroom is geen bolvormige spiraal. Er is geen eenvoudige verbinding tussen de hoeken${\displaystyle \varphi}$ en ${\displaystyle \theta}$.

Snijpunt van een bol met een meer algemeen oppervlak

Algemeen snijpunt bol-cilinder

Als een bol wordt doorsneden door een ander oppervlak, kunnen er meer gecompliceerde sferische krommen zijn.

Voorbeeld

bol – cilinder

Het snijpunt van de bol met vergelijking ${\displaystyle \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\;}$ en de cilinder met vergelijking ${\displaystyle \;(y-y_{0})^{2}+z^{2}=a^{2},\;y_{0}\neq 0\;}$is niet slechts een of twee cirkels. Het is de oplossing van het niet-lineaire stelsel vergelijkingen

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=0}$

${\displaystyle (y-y_{0})^{2}+z^{2}-a^{2}=0\ .}$

(zie impliciete curve en het diagram)

Een bol wordt op unieke wijze bepaald door vier punten die niet coplanair zijn . Meer in het algemeen wordt een bol uniek bepaald door vier voorwaarden, zoals door een punt gaan, een vlak raken, enz. ^[12] Deze eigenschap is analoog aan de eigenschap dat drie niet-collineaire punten een unieke cirkel in een vlak bepalen.

Bijgevolg wordt een bol uniek bepaald door (dat wil zeggen, gaat door) een cirkel en een punt niet in het vlak van die cirkel.

Door de gemeenschappelijke oplossingen van de vergelijkingen van twee bollen te onderzoeken , kan worden gezien dat twee bollen elkaar snijden in een cirkel en het vlak dat die cirkel bevat, wordt het radicaalvlak van de snijdende bollen genoemd. ^[13] Hoewel het basisvlak een reëel vlak is, kan de cirkel denkbeeldig zijn (de bollen hebben geen gemeenschappelijk punt) of bestaan ​​uit een enkel punt (de bollen raken op dat punt aan elkaar). ^[14]

De hoek tussen twee bollen op een reëel snijpunt is de tweevlakshoek bepaald door de raakvlakken aan de bollen op dat punt. Twee bollen snijden elkaar onder dezelfde hoek in alle punten van hun snijcirkel. ^[15] Ze snijden elkaar loodrecht (zijn orthogonaal ) dan en slechts dan als het kwadraat van de afstand tussen hun middelpunten gelijk is aan de som van de kwadraten van hun stralen. ^[3]

Potlood van bollen

Als f ( x , y , z ) = 0 en g ( x , y , z ) = 0 de vergelijkingen zijn van twee verschillende sferen dan

${\displaystyle sf(x,y,z)+tg(x,y,z)=0}$

is ook de vergelijking van een bol voor willekeurige waarden van de parameters s en t . De verzameling van alle bollen die aan deze vergelijking voldoen, wordt een bollenpotlood genoemd, bepaald door de oorspronkelijke twee bollen. In deze definitie mag een bol een vlak zijn (oneindige straal, middelpunt op oneindig) en als beide oorspronkelijke bollen vlakken zijn, dan zijn alle bollen van het potlood vlakken, anders is er maar één vlak (het basisvlak) in de potlood. ^[3]

vliegtuig secties

Een grootcirkel op de bol heeft hetzelfde middelpunt en dezelfde straal als de bol, waardoor deze in twee gelijke delen wordt verdeeld. De vlakke secties van een bol worden sferische secties genoemd - dit zijn ofwel grote cirkels voor vlakken door het middelpunt van de bol of kleine cirkels voor alle andere. ^[16]

Elk vlak dat het middelpunt van een bol omvat, verdeelt het in twee gelijke hemisferen . Twee snijdende vlakken die het middelpunt van een bol omvatten verdelen het gebied in vier lunes of biangles de hoekpunten samenvallen met de antipode punten liggen op de snijlijn van de vlakken.

Takken van geometrie

Niet-Euclidische afstand

Elk paar punten op een bol die op een rechte lijn door het middelpunt van de bol (dwz de diameter) liggen, worden antipodale punten genoemd - op de bol is de afstand tussen hen precies de helft van de lengte van de omtrek. ^{[noot 2]} Elk ander (dus niet antipodaal) paar duidelijke punten op een bol

• op een unieke grote cirkel liggen,
• segmenteer het in een kleine (dwz kortere) en een grote (dwz langere) boog , en
• hebben de lengte van de kleine boog de kortste afstand tussen hen op de bol. ^{[notitie 3]}

Bolvormige geometrie ^{[noot 4]} deelt veel analoge eigenschappen met Euclidische eens uitgerust met deze " grootcirkelafstand ".

Differentiële geometrie

En een veel abstractere veralgemening van de meetkunde maakt ook gebruik van hetzelfde afstandsconcept in de Riemann-cirkel .

Het halfrond wordt verondersteld de optimale (kleinste oppervlakte) isometrische vulling van de Riemann-cirkel te zijn.

Projectieve geometrie

Het antipodale quotiënt van de bol is het oppervlak dat het echte projectieve vlak wordt genoemd , dat ook kan worden gezien als het noordelijk halfrond met geïdentificeerde antipodale punten van de evenaar.

Aardrijkskunde

Algemene rechtstreeks ontleend aan de geografie van de aarde , ondanks zijn bolvormige vorm met grotere of kleinere afwijkingen van een perfecte bol (zie geoïde ), worden op grote schaal goed begrepen. In de meetkunde die niets met astronomische instanties dient geocentric terminologie alleen worden gebruikt ter illustratie en genoteerd als zodanig, tenzij er geen kans op misverstanden.

Polen, lengte- en breedtegraden

Als een bepaald punt op een bol (willekeurig) wordt aangeduid als de noordpool , wordt het antipodale punt de zuidpool genoemd . De grootcirkel op gelijke afstand van elk is dan de evenaar . Grote cirkels door de polen worden lengtelijnen (of meridianen ) genoemd. Een lijn die niet op de bol ligt maar door zijn middelpunt de twee polen verbindt, kan de draaiingsas worden genoemd . Cirkels op de bol die evenwijdig zijn aan de evenaar (dus geen grootcirkels) zijn breedtegraden .

dimensionaliteit

Bollen kunnen worden veralgemeend naar ruimten met een willekeurig aantal dimensies . Voor elk natuurlijk getal n , een " n -bol ", vaak geschreven als S ⁿ , is de verzameling punten in ( n + 1 ) -dimensionale Euclidische ruimte die zich op een vaste afstand r van een centraal punt van die ruimte bevinden, waarbij r is, zoals eerder, een positief reëel getal. Vooral:

• S ⁰ : een 0-bol is een paar eindpunten van een interval [− r , r ] van de reële lijn
• S ¹ : een 1-bol is een cirkel met straal r
• S ² : een 2-bol is een gewone bol
• S ³ : een 3-bol is een bol in een 4-dimensionale Euclidische ruimte.

Bollen voor n > 2 worden soms hypersferen genoemd .

De n- bol met eenheidsstraal gecentreerd op de oorsprong wordt aangeduid als S ⁿ en wordt vaak "de" n- bol genoemd. Merk op dat de gewone bol een 2-bol is, omdat het een 2-dimensionaal oppervlak is (dat is ingebed in de 3-dimensionale ruimte).

De oppervlakte van de eenheid ( n -1 )-bol is

${\displaystyle {\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}}$

waarbij Γ( z ) de gammafunctie van Euler is .

Een andere uitdrukking voor het oppervlak is

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n/2}\,r^{n-1}}{2\cdot 4\cdots (n-2)}} ,&{\text{if }}n{\text{ is even}};\\\\\displaystyle {\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}\,r^{ n-1}}{1\cdot 3\cdots (n-2)}},&{\text{if }}n{\text{ is oneven}}.\end{cases}}}$

en het volume is de oppervlakte keer r/nee of

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n/2}\,r^{n}}{2\cdot 4\cdots n}},&{\text{ als }}n{\text{ even}};\\\\\displaystyle {\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}\,r^{n}}{1\ cdot 3\cdots n}},&{\text{if }}n{\text{ is oneven}}.\end{cases}}}$

Er bestaan ​​ook algemene recursieve formules voor het volume van een n- ball .

Metrische spaties

Meer in het algemeen, in een metrische ruimte ( E , d ) , is de bol met middelpunt x en straal r > 0 de verzameling punten y zodat d ( x , y ) = r .

Als het centrum een ​​onderscheidend punt is dat wordt beschouwd als de oorsprong van E , zoals in een genormeerde ruimte, wordt het niet genoemd in de definitie en notatie. Hetzelfde geldt voor de straal als deze gelijk is aan één, zoals in het geval van een eenheidsbol .

In tegenstelling tot een bal kan zelfs een grote bol een lege verzameling zijn. Bijvoorbeeld, in Z ⁿ met Euclidische metriek , is een bol met straal r alleen niet leeg als r ² kan worden geschreven als de som van n kwadraten van gehele getallen .

In de topologie wordt een n- bol gedefinieerd als een ruimte die homeomorf is met de grens van een ( n +1) -bal ; het is dus homeomorf met de Euclidische n -sfeer, maar misschien ontbreekt het aan zijn metrische .

• Een 0-bol is een paar punten met de discrete topologie .
• Een 1-bol is een cirkel ( tot homeomorfisme); zo is bijvoorbeeld (het beeld van) elke knoop een 1-bol.
• Een 2-bol is een gewone bol (tot homeomorfisme); dus bijvoorbeeld elke sferoïde is een 2-bol.

De n -bol wordt aangeduid met S ⁿ . Het is een voorbeeld van een compacte topologische variëteit zonder begrenzing . Een bol hoeft niet glad te zijn ; als het glad is, hoeft het niet diffeomorf te zijn met de Euclidische bol (een exotische bol ).

De stelling van Heine-Borel houdt in dat een Euclidische n -bol compact is. De bol is het inverse beeld van een eenpuntsverzameling onder de continue functie || x || . Daarom is de bol gesloten. S ⁿ is ook begrensd; daarom is het compact.

Opmerkelijk is dat het mogelijk is om een ​​gewone bol binnenstebuiten te keren in een driedimensionale ruimte met mogelijke zelfdoorsnijdingen maar zonder enige plooi te creëren, in een proces dat boleversie wordt genoemd .

Grote cirkel op een bol

De basiselementen van de Euclidische vlakke meetkunde zijn punten en lijnen . Op de bol worden punten gedefinieerd in de gebruikelijke zin. De analoog van de "lijn" is de geodeet , wat een grote cirkel is ; het bepalende kenmerk van een grootcirkel is dat het vlak met al zijn punten ook door het middelpunt van de bol gaat. Meten op booglengte laat zien dat het kortste pad tussen twee punten die op de bol liggen, het kortere segment van de grootcirkel is dat de punten omvat.

Veel stellingen uit de klassieke meetkunde gelden ook voor sferische meetkunde, maar niet allemaal omdat de bol niet voldoet aan enkele postulaten van de klassieke meetkunde , waaronder het parallellenpostulaat . In sferische trigonometrie worden hoeken gedefinieerd tussen grootcirkels. Sferische trigonometrie verschilt in veel opzichten van gewone trigonometrie . De som van de binnenhoeken van een bolvormige driehoek is bijvoorbeeld altijd groter dan 180 graden. Ook zijn twee gelijkaardige bolvormige driehoeken congruent.

Een normaalvector naar een bol, een normaalvlak en zijn normaaldoorsnede. De kromming van de snijlijn is de kromming van de doorsnede. Voor de bol zal elke normaaldoorsnede door een bepaald punt een cirkel zijn met dezelfde straal: de straal van de bol. Dit betekent dat elk punt op de bol een umbilical point zal zijn.

In hun boek Geometrie en de Verbeelding , ^[17] David Hilbert en Stephan Cohn-Vossen beschrijven elf eigenschappen van de bol en bespreken of deze eigenschappen op unieke wijze de sfeer bepalen. Verschillende eigenschappen gelden voor het vlak , dat kan worden gezien als een bol met een oneindige straal. Deze eigenschappen zijn:

1. De punten op de bol liggen allemaal op dezelfde afstand van een vast punt. Ook is de verhouding van de afstand van zijn punten tot twee vaste punten constant.

   Het eerste deel is de gebruikelijke definitie van de bol en bepaalt deze op unieke wijze. Het tweede deel kan gemakkelijk worden afgeleid en volgt een gelijkaardig resultaat van Apollonius van Perga voor de cirkel . Dit tweede deel geldt ook voor het vliegtuig .

2. De contouren en vlakke delen van de bol zijn cirkels.

   Deze eigenschap definieert de sfeer op unieke wijze.

3. De bol heeft een constante breedte en een constante omtrek.

   De breedte van een oppervlak is de afstand tussen paren evenwijdige raakvlakken. Talloze andere gesloten convexe oppervlakken hebben een constante breedte, bijvoorbeeld het Meissner-lichaam . De omtrek van een oppervlak is de omtrek van de grens van zijn orthogonale projectie op een vlak. Elk van deze eigenschappen impliceert de andere.

4. Alle punten van een bol zijn umbilics .

   Op elk punt op een oppervlak staat een normaalrichting loodrecht op het oppervlak, omdat de bol dit zijn de lijnen die uitstralen vanuit het middelpunt van de bol. Het snijpunt van een vlak dat de normaal bevat met het oppervlak vormt een kromme die een normale sectie wordt genoemd , en de kromming van deze kromme is de normale kromming . Voor de meeste punten op de meeste oppervlakken hebben verschillende secties verschillende krommingen; de maximale en minimale waarden hiervan worden de hoofdkrommingen genoemd . Elk gesloten oppervlak heeft ten minste vier punten die navelstrengpunten worden genoemd . Bij een navelstreng zijn alle doorsnedekrommingen gelijk; in het bijzonder zijn de hoofdkrommingen gelijk. Navelstrengpunten kunnen worden gezien als de punten waar het oppervlak nauw wordt benaderd door een bol.

   Voor de bol zijn de krommingen van alle normale secties gelijk, dus elk punt is een umbilic. De bol en het vlak zijn de enige oppervlakken met deze eigenschap.

5. De bol heeft geen oppervlak van middelpunten.

   Voor een gegeven normaaldoorsnede bestaat een krommingscirkel die gelijk is aan de kromming van de doorsnede, raakt aan het oppervlak, en waarvan de middellijnen op de normaallijn liggen. De twee centra die overeenkomen met de maximale en minimale doorsnedekrommingen worden bijvoorbeeld de brandpunten genoemd en de verzameling van al dergelijke centra vormt het brandpuntsoppervlak .

   Voor de meeste oppervlakken vormt het brandpuntsoppervlak twee vellen die elk een oppervlak zijn en elkaar ontmoeten op navelstrengpunten. Enkele gevallen zijn bijzonder:

   * Voor kanaaloppervlakken vormt één plaat een curve en de andere plaat is een oppervlak

   * Voor kegels , cilinders, tori en cyclides vormen beide platen krommen.

   * Voor de bol ligt het middelpunt van elke oscillerende cirkel in het middelpunt van de bol en vormt het brandpuntsoppervlak een enkel punt. Deze eigenschap is uniek voor de bol.

6. Alle geodeten van de bol zijn gesloten krommen.

   Geodeten zijn krommen op een oppervlak die de kortste afstand tussen twee punten geven. Ze zijn een veralgemening van het concept van een rechte lijn in het vlak. Voor de bol zijn de geodeten grootcirkels. Veel andere oppervlakken delen deze eigenschap.

7. Van alle vaste stoffen met een bepaald volume is de bol degene met het kleinste oppervlak; van alle vaste stoffen met een bepaald oppervlak heeft de bol het grootste volume.

   Het volgt uit isoperimetrische ongelijkheid . Deze eigenschappen definiëren de bol op unieke wijze en zijn te zien in zeepbellen : een zeepbel zal een vast volume omsluiten en de oppervlaktespanning minimaliseert het oppervlak voor dat volume. Een vrij zwevende zeepbel benadert daarom een ​​bol (hoewel externe krachten zoals zwaartekracht de vorm van de bel enigszins zullen vervormen). Het is ook te zien in planeten en sterren waar de zwaartekracht het oppervlak voor grote hemellichamen minimaliseert.

8. De bol heeft de kleinste totale gemiddelde kromming van alle convexe vaste stoffen met een bepaald oppervlak.

   De gemiddelde kromming is het gemiddelde van de twee hoofdkrommingen, dat constant is omdat de twee hoofdkrommingen constant zijn op alle punten van de bol.

9. De bol heeft een constante gemiddelde kromming.

   De bol is het enige ingebedde oppervlak zonder grens of singulariteiten met constante positieve gemiddelde kromming. Andere dergelijke ondergedompelde oppervlakken zoals minimale oppervlakken hebben een constante gemiddelde kromming.

10. De bol heeft een constante positieve Gauss-kromming.

    Gauss-kromming is het product van de twee belangrijkste krommingen. Het is een intrinsieke eigenschap die kan worden bepaald door lengte en hoeken te meten en onafhankelijk is van hoe het oppervlak in de ruimte is ingebed . Daarom zal het buigen van een oppervlak de Gauss-kromming niet veranderen, en andere oppervlakken met een constante positieve Gauss-kromming kunnen worden verkregen door een kleine spleet in de bol te maken en deze te buigen. Al deze andere oppervlakken zouden grenzen hebben, en de bol is het enige oppervlak dat geen grens heeft met een constante, positieve Gauss-kromming. De pseudosfeer is een voorbeeld van een oppervlak met constante negatieve Gauss-kromming.

11. De bol wordt in zichzelf getransformeerd door een familie van starre bewegingen met drie parameters.

    Roterend rond een as zal een eenheidsbol in de oorsprong de bol op zichzelf in kaart brengen. Elke rotatie om een ​​lijn door de oorsprong kan worden uitgedrukt als een combinatie van rotaties rond de as met drie coördinaten (zie Euler-hoeken ). Daarom bestaat er een familie van rotaties met drie parameters, zodat elke rotatie de bol op zichzelf transformeert; deze familie is de rotatiegroep SO(3) . Het vlak is het enige andere oppervlak met een familie van transformaties met drie parameters (vertalingen langs de x- en y- assen en rotaties rond de oorsprong). Cirkelcilinders zijn de enige oppervlakken met twee-parameterfamilies van starre bewegingen en de omwentelingsvlakken en helicoïden zijn de enige oppervlakken met een één-parameterfamilie.

De meetkundige plaats van punten in de ruimte zodanig dat de som van de ${\displaystyle 2m}$-de macht van afstanden ${\displaystyle d_{i}}$naar de hoekpunten van een gegeven platonische vaste stof ${\displaystyle T_{n}}$ met omtrekstraal ${\displaystyle R}$ constant is is een bol, als

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}>nR^{2m}}$,

waarvan het centrum zich in het zwaartepunt van de bevindt ${\displaystyle T_{n}}$. ^[18]

De waarden van de ${\displaystyle m}$ afhankelijk van het aantal hoekpunten ${\displaystyle n}$ van de Platonische lichamen en gelijk aan:

• ${\displaystyle m}$= 1,2 - voor regelmatige tetraëder ,

• ${\displaystyle m}$= 1,2,3 - voor octaëder en kubus ,

• ${\displaystyle m}$= 1,2,3,4,5 - voor icosaëder en dodecaëder .

• 

  Een afbeelding van een van de nauwkeurigste door mensen gemaakte bollen, omdat het het beeld van Einstein op de achtergrond breekt . Deze bol was een gesmolten kwartsgyroscoop voor het Gravity Probe B- experiment en verschilt in vorm van een perfecte bol met niet meer dan 40 atomen (minder dan 10 nm) dikte. Het werd aangekondigd op 1 juli 2008, dat Australische wetenschappers nog bijna perfect sferen, nauwkeurig tot op 0,3 had geschapen nm, als onderdeel van een internationale jacht naar een nieuwe wereldwijde standaard te vinden kilogram . ^[19]   

• 

  Dek van speelkaarten ter illustratie van technische instrumenten, Engeland, 1702. King of spades : Spheres

• sferische dop
• sferische veelhoek
• Bolvormige sector
• Bolvormig segment
• Bolvormige wig
• sferische zone

Opmerkingen:

Referenties

Verder lezen

• Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Solide analytische meetkunde , Dover, ISBN 978-0-486-81026-3.
• Dunham, William (1997). Het wiskundige universum: een alfabetische reis door de grote bewijzen, problemen en persoonlijkheden . Willy . New York. blz.  28 , 226. Bibcode : 1994muaa.book.....D . ISBN 978-0-471-17661-9.
• Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3e ed.), New York: Wiley , ISBN 978-0-471-50728-4.
• Steinhaus, H. (1969), Mathematical Snapshots (Derde Amerikaanse ed.), Oxford University Press.
• Woods, Frederick S. (1961) [1922], Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry , Dover.

• Mathematica/uniforme sferische verdeling
• Oppervlakte van bol proof