Pagina semi-beveiligd

Aantal

Van Wikipedia, de gratis encyclopedie
Spring naar navigatie Spring om te zoeken

Een getal is een wiskundig object dat wordt gebruikt om te tellen , meten en labelen . De originele voorbeelden zijn de natuurlijke getallen 1 , 2 , 3 , 4 , enzovoort. [1] Getallen kunnen in taal worden weergegeven met getallenwoorden . Meer universeel kunnen individuele nummers worden weergegeven door symbolen , cijfers genoemd ; "5" is bijvoorbeeld een cijfer dat het cijfer vijf vertegenwoordigt . Aangezien slechts een relatief klein aantal symbolen kan worden onthouden, worden basiscijfers gewoonlijk georganiseerd in eencijfersysteem , wat een georganiseerde manier is om elk nummer weer te geven. Het meest voorkomende cijfersysteem is het hindoe-Arabische cijfersysteem , waarmee elk getal kan worden weergegeven door middel van een combinatie van tien fundamentele numerieke symbolen, cijfers genoemd . [2] [3] Naast hun gebruik bij tellen en meten, worden cijfers vaak gebruikt voor labels (zoals bij telefoonnummers ), voor bestellen (zoals bij serienummers ) en voor codes (zoals bij ISBN's ). Bij normaal gebruik wordt een cijfer niet duidelijk onderscheiden van het cijfer dat het vertegenwoordigt.

In de wiskunde is het begrip getal door de eeuwen heen uitgebreid met 0 , [4] negatieve getallen , [5] rationale getallen zoals de helft , reële getallen zoals de vierkantswortel van 2 en π , [6] en complexe getallen [7] die de reële getallen verlengen met een vierkantswortel van -1 (en zijn combinaties met reële getallen door de veelvouden ervan op te tellen of af te trekken). [5] Berekeningen met getallen worden gedaan met rekenkundige bewerkingen De meest bekende wezen toevoeging , aftrekking , vermenigvuldiging , deling en machtsverheffing . Hun studie of gebruik wordt rekenkunde genoemd , een term die ook kan verwijzen naar de getaltheorie , de studie van de eigenschappen van getallen.

Naast hun praktische toepassingen hebben cijfers over de hele wereld een culturele betekenis. [8] [9] In de westerse samenleving wordt het getal 13 bijvoorbeeld vaak als ongelukkig beschouwd , en ' een miljoen ' kan eerder 'veel' betekenen dan een exacte hoeveelheid. [8] Hoewel het nu als pseudowetenschap wordt beschouwd , doordrong het geloof in een mystieke betekenis van getallen, bekend als numerologie , het oude en middeleeuwse denken. [10] Numerologie had een grote invloed op de ontwikkeling van de Griekse wiskunde en stimuleerde het onderzoek naar veel problemen in de getaltheorie die vandaag de dag nog steeds van belang zijn. [10]

Tijdens de 19e eeuw begonnen wiskundigen veel verschillende abstracties te ontwikkelen die bepaalde eigenschappen van getallen delen, en die kunnen worden gezien als een uitbreiding van het concept. Een van de eerste waren de hypercomplexe getallen , die bestaan ​​uit verschillende uitbreidingen of wijzigingen van het complexe getallensysteem . In de moderne wiskunde, aantal systemen ( sets worden) beschouwd als belangrijke speciale voorbeelden van meer algemene categorieën zoals ringen en velden , en de toepassing van de term "nummer" is een kwestie van conventie, zonder fundamentele betekenis. [11]

Geschiedenis

Cijfers

Getallen moeten worden onderscheiden van cijfers , de symbolen die worden gebruikt om getallen weer te geven. De Egyptenaren vonden het eerste gecodeerde cijfersysteem uit, en de Grieken volgden door hun telnummers in Ionische en Dorische alfabetten in kaart te brengen. [12] Romeinse cijfers, een systeem dat combinaties van letters uit het Romeinse alfabet gebruikte, bleven dominant in Europa tot de verspreiding van het superieure hindoe-Arabische cijfersysteem rond het einde van de 14e eeuw, en het hindoe-Arabische cijfersysteem blijft het meest voorkomende systeem. systeem voor het weergeven van getallen in de wereld van vandaag. [13] De sleutel tot de effectiviteit van het systeem was het symbool voor nul , dat werd ontwikkeld door oude Indiase wiskundigenrond 500 na Christus. [13]

Eerste gebruik van cijfers

Er zijn botten en andere artefacten ontdekt met markeringen die erin zijn gesneden en waarvan velen denken dat ze tally marks zijn . [14] Deze aantekeningen zijn mogelijk gebruikt voor het tellen van de verstreken tijd, zoals het aantal dagen, maancycli of het bijhouden van hoeveelheden, bijvoorbeeld van dieren.

Een tally-systeem heeft geen concept van plaatswaarde (zoals in moderne decimale notatie), wat de weergave van grote getallen beperkt. Niettemin worden telsystemen beschouwd als het eerste soort abstracte cijfersysteem.

Het eerste bekende systeem met plaatswaarde was het Mesopotamische basis 60- systeem ( ca. 3400 voor Christus) en het vroegst bekende systeem met basis 10 dateert uit 3100 voor Christus in Egypte . [15]

Nul

Het eerste bekende gedocumenteerde gebruik van nul dateert uit 628 na Christus, en verscheen in de Brāhmasphuṭasiddhānta , het belangrijkste werk van de Indiase wiskundige Brahmagupta . Hij behandelde 0 als een nummer en besprak de operaties die ermee te maken hadden, inclusief divisie . Tegen die tijd (de 7e eeuw) had het concept Cambodja duidelijk bereikt als Khmer-cijfers , en documentatie laat zien dat het idee zich later verspreidde naar China en de islamitische wereld .

Het nummer 605 in Khmer-cijfers , van een inscriptie uit 683 na Christus. Vroeg gebruik van nul als decimaal cijfer.

Brahmagupta's Brāhmasphuṭasiddhānta is het eerste boek dat nul als een getal noemt, daarom wordt Brahmagupta gewoonlijk als de eerste beschouwd die het concept van nul formuleert. Hij gaf regels voor het gebruik van nul met negatieve en positieve getallen, zoals "nul plus een positief getal is een positief getal en een negatief getal plus nul is het negatieve getal". De Brāhmasphuṭasiddhānta is de vroegst bekende tekst die nul behandelt als een op zichzelf staand getal, in plaats van gewoon een plaatshoudercijfer om een ​​ander getal voor te stellen, zoals werd gedaan door de Babyloniërs of als een symbool voor een gebrek aan hoeveelheid, zoals werd gedaan door Ptolemaeus en de Romeinen.

Het gebruik van 0 als een nummer moet worden onderscheiden van zijn gebruik als aanduiding getal in plaats-waardesystemen . Veel oude teksten gebruikten 0. Babylonische en Egyptische teksten gebruikten het. Egyptenaren gebruikten het woord nfr om een nulsaldo aan te duiden in dubbele boekhouding . Indische teksten gebruikte een Sanskriet woord Shunye of Shunya om te verwijzen naar het concept van de leegte . In wiskundeteksten verwijst dit woord vaak naar het getal nul. [16] In dezelfde geest gebruikte Pāṇini (5e eeuw voor Christus) de nuloperator (nul) in de Ashtadhyayi , een vroeg voorbeeld van een algebraïsche grammatica.voor de Sanskriet-taal (zie ook Pingala ).

Er zijn andere toepassingen van nul vóór Brahmagupta, hoewel de documentatie niet zo volledig is als in de Brāhmasphuṭasiddhānta .

Uit gegevens blijkt dat de oude Grieken onzeker leken over de status van 0 als getal: ze vroegen zich af "hoe kan 'niets' iets zijn?" leidend tot interessante filosofische en, tegen de Middeleeuwen, religieuze argumenten over de aard en het bestaan ​​van 0 en het vacuüm . De paradoxen van Zeno van Elea hangen gedeeltelijk af van de onzekere interpretatie van 0. (De oude Grieken vroegen zich zelfs af of  1 een getal was.)

De late Olmeken in zuid-centraal Mexico begonnen in de Nieuwe Wereld een symbool voor nul te gebruiken, een schelp- glyph , mogelijk tegen de 4e eeuw voor Christus maar zeker tegen 40 voor Christus, dat een integraal onderdeel werd van de Maya-cijfers en de Maya-kalender. . Maya rekenkunde gebruikte grondtal 4 en grondtal 5 geschreven als grondtal 20. George I. Sánchez rapporteerde in 1961 een grondslag 4, grondslag 5 "vinger" abacus. [17] [ betere bron nodig ]

Tegen 130 na Christus gebruikte Ptolemaeus , onder invloed van Hipparchus en de Babyloniërs, een symbool voor 0 (een kleine cirkel met een lange bovenbalk) binnen een sexagesimaal cijfersysteem, anders gebruikte hij alfabetische Griekse cijfers . Omdat het alleen werd gebruikt, niet alleen als een tijdelijke aanduiding, was deze Hellenistische nul het eerste gedocumenteerde gebruik van een echte nul in de Oude Wereld. In latere Byzantijnse manuscripten van zijn Syntaxis Mathematica ( Almagest ) was de Hellenistische nul veranderd in de Griekse letter Omicron (anders betekent 70).

Een andere echte nul werd in tabellen gebruikt naast Romeinse cijfers door 525 (voor het eerst bekend door Dionysius Exiguus ), maar als een woord, nulla betekent niets , niet als een symbool. Toen deling 0 als rest opleverde, werd nihil , wat ook niets betekent , gebruikt. Deze middeleeuwse nullen werden gebruikt door alle toekomstige middeleeuwse computisten (rekenmachines van Pasen ). Een geïsoleerd gebruik van hun initiaal, N, werd gebruikt in een tabel met Romeinse cijfers door Bede of een collega rond 725, een echt nul-symbool.

Negatieve getallen

Het abstracte concept van negatieve getallen werd al in 100-50 v.Chr. In China erkend. De negen hoofdstukken over de wiskundige kunst bevatten methoden om de gebieden van figuren te vinden; rode staafjes werden gebruikt om positieve coëfficiënten aan te duiden , zwart voor negatief. [18] De eerste verwijzing in een westers werk was in de 3e eeuw na Christus in Griekenland . Diophantus verwees naar de vergelijking die gelijk is aan 4 x + 20 = 0 (de oplossing is negatief) in Arithmetica en zei dat de vergelijking een absurd resultaat opleverde.

Tijdens de jaren 600 waren er in India negatieve cijfers in gebruik om schulden weer te geven. Diophantus 'vorige referentie werd explicieter besproken door de Indiase wiskundige Brahmagupta , in Brāhmasphuṭasiddhānta in 628, die negatieve getallen gebruikte om de algemene kwadratische formule te produceren die nog steeds in gebruik is. Echter, in de 12e eeuw in India geeft Bhaskara negatieve wortels voor kwadratische vergelijkingen, maar zegt dat de negatieve waarde "in dit geval niet moet worden genomen, want het is ontoereikend; mensen keuren negatieve wortels niet goed".

Europese wiskundigen verzetten zich voor het grootste deel tegen het concept van negatieve getallen tot de 17e eeuw, hoewel Fibonacci negatieve oplossingen toestond in financiële problemen waar ze konden worden geïnterpreteerd als schulden (hoofdstuk 13 van Liber Abaci , 1202) en later als verliezen (in Flos ). Tegelijkertijd gaven de Chinezen negatieve getallen aan door een diagonale streep door het meest rechtse niet-nulcijfer van het overeenkomstige positieve cijfer te trekken. [19] Het eerste gebruik van negatieve getallen in een Europees werk was door Nicolas Chuquet in de 15e eeuw. Hij gebruikte ze als exponenten , maar noemde ze "absurde getallen".

Nog in de 18e eeuw was het gebruikelijk om negatieve resultaten die door vergelijkingen werden geretourneerd, te negeren in de veronderstelling dat ze zinloos waren, net zoals René Descartes deed met negatieve oplossingen in een Cartesiaans coördinatensysteem .

Rationele nummers

Het is waarschijnlijk dat het concept van fractionele getallen dateert uit de prehistorie . De oude Egyptenaren gebruikten hun Egyptische breuknotatie voor rationale getallen in wiskundige teksten zoals de Rhind Mathematical Papyrus en de Kahun Papyrus . Klassieke Griekse en Indiase wiskundigen hebben de theorie van rationale getallen bestudeerd, als onderdeel van de algemene studie van de getaltheorie . [ nodig citaat ] De bekendste hiervan zijn de Elementen van Euclides , die dateren uit ongeveer 300 voor Christus. Van de Indiase teksten is de Sthananga Sutra de meest relevante, die ook de getaltheorie omvat als onderdeel van een algemene studie van de wiskunde.

Het concept van decimale breuken is nauw verbonden met de decimale plaatswaarde-notatie; de twee lijken zich samen te hebben ontwikkeld. Het is bijvoorbeeld gebruikelijk dat de jain-wiskundige sutra berekeningen bevat van benaderingen van decimale breuken naar pi of de vierkantswortel van 2 . [ nodig citaat ] Evenzo gebruikten Babylonische wiskundeteksten sexagesimale (basis 60) breuken met grote frequentie.

Irrationele nummers

Het vroegst bekende gebruik van irrationele getallen was in de Indiase Sulba Sutra's, samengesteld tussen 800 en 500 voor Christus. [20] [ betere bron nodig ] De eerste bestaansbewijzen van irrationele getallen worden meestal toegeschreven aan Pythagoras , meer specifiek aan de Pythagorische Hippasus van Metapontum , die een (waarschijnlijk geometrisch) bewijs produceerde van de irrationaliteit van de vierkantswortel van 2. Het verhaal gaat dat Hippasus irrationele getallen ontdekte toen hij probeerde de vierkantswortel van 2 als een breuk weer te geven. Pythagoras geloofde echter in de absoluutheid van getallen en kon het bestaan ​​van irrationele getallen niet accepteren. Hij kon hun bestaan ​​niet door middel van logica weerleggen, maar hij kon geen irrationele getallen accepteren, en daarom veroordeelde hij, naar verluidt en vaak gerapporteerd, Hippasus tot de dood door verdrinking, om de verspreiding van dit verontrustende nieuws te belemmeren. [21] [ betere bron nodig ]

De 16e eeuw bracht de laatste Europese acceptatie van negatieve integraal- en fractionele getallen. Tegen de 17e eeuw gebruikten wiskundigen over het algemeen decimale breuken met moderne notatie. Het duurde echter tot de 19e eeuw voordat wiskundigen irrationals in algebraïsche en transcendentale delen scheiden, en opnieuw de wetenschappelijke studie van irrationals ondernamen. Het was sinds Euclides bijna inactief gebleven . In 1872 kwam de publicatie van de theorieën van Karl Weierstrass (door zijn leerling E. Kossak), Eduard Heine , [22] Georg Cantor , [23] en Richard Dedekind [24] tot stand. In 1869,Charles Méray had hetzelfde uitgangspunt genomen als Heine, maar de theorie wordt over het algemeen verwezen naar het jaar 1872. De methode van Weierstrass werd volledig uiteengezet door Salvatore Pincherle (1880), en die van Dedekind kreeg extra bekendheid door het latere werk van de auteur (1888). en goedkeuring door Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor en Heine baseren hun theorieën op oneindige reeksen, terwijl Dedekind de zijne baseert op het idee van een snee (Schnitt) in het systeem van reële getallen , waarbij alle rationale getallen worden gescheiden in twee groepen met bepaalde karakteristieke eigenschappen. Het onderwerp heeft latere bijdragen gekregen van Weierstrass, Kronecker , [25] en Méray.

De zoektocht naar wortels van vergelijkingen van kwintica en hogere graad was een belangrijke ontwikkeling, de stelling van Abel-Ruffini ( Ruffini 1799, Abel 1824) toonde aan dat ze niet konden worden opgelost door radicalen (formules die alleen rekenkundige bewerkingen en wortels omvatten). Daarom was het nodig om de bredere reeks algebraïsche getallen (alle oplossingen voor polynoomvergelijkingen) in overweging te nemen . Galois (1832) koppelde polynoomvergelijkingen aan de groepstheorie en zo ontstond het veld van de Galoistheorie .

Aanhoudende breuken , nauw verwant aan irrationele getallen (en vanwege Cataldi, 1613), kregen aandacht van Euler , [26] en werden bij het begin van de 19e eeuw op de voorgrond geplaatst door de geschriften van Joseph Louis Lagrange . Andere opmerkelijke bijdragen zijn geleverd door Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870) en Günther (1872). Ramus [27] bracht het onderwerp voor het eerst in verband met determinanten , resulterend, met de daaropvolgende bijdragen van Heine, [28] Möbius en Günther, [29] in de theorie van Kettenbruchdeterminanten .

Transcendentale getallen en reële getallen

Het bestaan ​​van transcendentale getallen [30] werd voor het eerst vastgesteld door Liouville (1844, 1851). Hermite bewees in 1873 dat e transcendentaal is en Lindemann bewees in 1882 dat π transcendentaal is. Tenslotte Cantor toonde aan dat de verzameling van alle reële getallen is ontelbaar oneindig , maar de verzameling van alle algebraïsche getallen is aftelbaar oneindig , dus er is een ontelbaar oneindig aantal transcendent getal.

Oneindigheid en oneindig kleine

De vroegst bekende opvatting van wiskundige oneindigheid komt voor in de Yajur Veda , een oud Indiaas schrift, dat op een gegeven moment zegt: "Als je een deel van de oneindigheid verwijdert of een deel van de oneindigheid toevoegt, blijft het oneindige over." Oneindigheid was een populair onderwerp van filosofische studie onder de jain- wiskundigen c. 400 voor Christus. Ze maakten onderscheid tussen vijf soorten oneindigheid: oneindig in één en twee richtingen, oneindig in oppervlakte, oneindig overal en oneindig oneindig. Het symbool wordt vaak gebruikt om een ​​oneindige hoeveelheid weer te geven.

Aristoteles definieerde de traditionele westerse notie van wiskundige oneindigheid. Hij maakte onderscheid tussen werkelijke oneindigheid en potentiële oneindigheid - de algemene consensus was dat alleen de laatste werkelijke waarde had. Galileo Galilei 's Two New Sciences besprak het idee van één-op-één overeenkomsten tussen oneindige verzamelingen. Maar de volgende belangrijke stap in de theorie werd gemaakt door Georg Cantor ; in 1895 publiceerde hij een boek over zijn nieuwe verzamelingenleer , waarin hij onder meer transfiniete getallen introduceerde en de continuümhypothese formuleerde .

In de jaren zestig liet Abraham Robinson zien hoe oneindig grote en oneindig kleine getallen nauwkeurig kunnen worden gedefinieerd en gebruikt om het gebied van niet-standaardanalyse te ontwikkelen. Het systeem van hyperreële getallen vertegenwoordigt een rigoureuze methode om de ideeën over oneindige en oneindig kleine getallen te behandelen die terloops werden gebruikt door wiskundigen, wetenschappers en ingenieurs sinds de uitvinding van de oneindig kleine calculus door Newton en Leibniz .

Een moderne geometrische versie van oneindigheid wordt gegeven door projectieve geometrie , die "ideale punten op oneindig" introduceert, één voor elke ruimtelijke richting. Elke familie van parallelle lijnen in een bepaalde richting wordt verondersteld te convergeren naar het corresponderende ideale punt. Dit hangt nauw samen met het idee van verdwijnpunten in perspectieftekening .

Complexe getallen

De vroegste vluchtige verwijzing naar de wortels van negatieve getallen deed zich voor in het werk van de wiskundige en uitvinder Heron van Alexandrië in de 1e eeuw na Christus , toen hij het volume van een onmogelijke beschouwd afgeknotte van een piramide . Ze werden prominenter toen in de 16e eeuw gesloten formules voor de wortels van derde- en vierde graads veeltermen werden ontdekt door Italiaanse wiskundigen zoals Niccolò Fontana Tartaglia en Gerolamo Cardano . Al snel realiseerde men zich dat deze formules, zelfs als men alleen geïnteresseerd was in echte oplossingen, soms de manipulatie van vierkantswortels van negatieve getallen vereisten.

Dit was dubbel verontrustend omdat ze op dat moment niet eens van mening waren dat negatieve cijfers een vaste waarde hadden. Toen René Descartes in 1637 de term "imaginair" bedacht voor deze hoeveelheden, bedoelde hij het als denigrerend. (Zie denkbeeldig getal voor een bespreking van de 'realiteit' van complexe getallen.) Een andere bron van verwarring was dat de vergelijking

leek grillig in strijd met de algebraïsche identiteit

wat geldig is voor positieve reële getallen a en b , en werd ook gebruikt in berekeningen met complexe getallen met een van a , b positief en de andere negatief. Het onjuist gebruiken van deze identiteit, en de daarbij behorende identiteit

in het geval dat zowel a als b negatief zijn, zelfs bedwende Euler . Deze moeilijkheid leidde hem uiteindelijk tot de conventie om het speciale symbool i te gebruiken in plaats van te waken voor deze fout.

De 18e eeuw zag het werk van Abraham de Moivre en Leonhard Euler . De formule van De Moivre (1730) luidt als volgt:

terwijl de formule van complexe analyse van Euler (1748) ons gaf:

Het bestaan ​​van complexe getallen werd pas volledig geaccepteerd toen Caspar Wessel de geometrische interpretatie in 1799 beschreef. Carl Friedrich Gauss herontdekte en populariseerde het enkele jaren later, en als resultaat kreeg de theorie van complexe getallen een opmerkelijke uitbreiding. Het idee van de grafische weergave van complexe getallen was echter al in 1685 verschenen in Wallis ' De algebra tractatus .

Ook in 1799 leverde Gauss het eerste algemeen aanvaarde bewijs van de fundamentele stelling van de algebra , wat aantoont dat elke polynoom over de complexe getallen een volledige reeks oplossingen in dat rijk heeft. De algemene aanvaarding van de theorie van complexe getallen is te danken aan het werk van Augustin Louis Cauchy en Niels Henrik Abel , en vooral de laatste, die de eerste was die brutaal complexe getallen gebruikte met een algemeen bekend succes. [ pauwterm ]

Gauss bestudeerde complexe getallen in de vorm a + bi , waarbij a en b integraal zijn, of rationeel (en i is een van de twee wortels van x 2 + 1 = 0 ). Zijn student, Gotthold Eisenstein , bestudeerde het type a + , waarbij ω een complexe wortel is van x 3 - 1 = 0. Andere dergelijke klassen ( cyclotomische velden genoemd ) van complexe getallen zijn afgeleid van de eenheidswortels x k - 1 = 0 voor hogere waarden van k. Deze generalisatie is grotendeels te danken aan Ernst Kummer , die ook ideale getallen heeft uitgevonden , die door Felix Klein in 1893 als geometrische entiteiten werden uitgedrukt .

In 1850 nam Victor Alexandre Puiseux de belangrijkste stap om onderscheid te maken tussen palen en aftakpunten, en introduceerde hij het concept van essentiële singuliere punten . [ verduidelijking nodig ] Dit leidde uiteindelijk tot het concept van het uitgebreide complexe vlak .

priemgetallen

Priemgetallen zijn in de hele geschiedenis bestudeerd. [ nodig citaat ] Euclid wijdde één boek van de Elementen aan de theorie van priemgetallen; daarin bewees hij de oneindigheid van de priemgetallen en de fundamentele stelling van de rekenkunde , en presenteerde hij het Euclidische algoritme voor het vinden van de grootste gemene deler van twee getallen.

In 240 voor Christus gebruikte Eratosthenes de Zeef van Eratosthenes om priemgetallen snel te isoleren. Maar de meeste verdere ontwikkeling van de theorie van priemgetallen in Europa dateert uit de Renaissance en latere tijdperken. [ nodig citaat ]

In 1796 vermoedde Adrien-Marie Legendre de priemgetalstelling , die de asymptotische verdeling van priemgetallen beschrijft. Andere resultaten met betrekking tot de verdeling van de priemgetallen omvatten het bewijs van Euler dat de som van de reciproque van de priemgetallen divergeert, en het Goldbach-vermoeden , dat beweert dat elk voldoende groot even getal de som is van twee priemgetallen. Nog een ander vermoeden met betrekking tot de verdeling van priemgetallen is de Riemann-hypothese , geformuleerd door Bernhard Riemann in 1859. De priemgetalstelling werd uiteindelijk bewezen door Jacques Hadamard en Charles de la Vallée-Poussin in 1896. De vermoedens van Goldbach en Riemann blijven onbewezen en onweerlegbaar.

Hoofdclassificatie

Getallen kunnen worden ingedeeld in sets , de zogenaamde aantal systemen , zoals de natuurlijke getallen en de reële getallen . [31] De belangrijkste categorieën nummers zijn als volgt:

Hoofdnummersystemen
Natuurlijk0, 1, 2, 3, 4, 5, ... of 1, 2, 3, 4, 5, ...

of worden soms gebruikt.

Geheel getal..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Rationeeleen/bwaarbij a en b gehele getallen zijn en b niet 0 is
EchtDe limiet van een convergente reeks rationale getallen
Complexa + bi waarbij a en b reële getallen zijn en i een formele vierkantswortel van −1

Het is over het algemeen geen probleem om elk getallensysteem te identificeren met een juiste subset van de volgende (door misbruik van notatie ), omdat elk van deze getalsystemen canoniek isomorf is met een juiste subset van de volgende. [ nodig citaat ] De resulterende hiërarchie maakt het bijvoorbeeld mogelijk om formeel correct te praten over reële getallen die rationale getallen zijn, en wordt symbolisch uitgedrukt door te schrijven

.

Natuurlijke cijfers

De natuurlijke getallen, beginnend met 1

De bekendste getallen zijn de natuurlijke getallen (soms hele getallen of telgetallen genoemd): 1, 2, 3, enzovoort. Traditioneel begon de reeks natuurlijke getallen met 1 (0 werd voor de oude Grieken niet eens als een getal beschouwd ). In de 19e eeuw begonnen verzameltheoretici en andere wiskundigen echter 0 toe te voegen ( kardinaliteit van de lege verzameling , dwz 0 elementen, waarbij 0 dus het kleinste hoofdtelwoord is ) in de verzameling natuurlijke getallen. [32] [33] Tegenwoordig gebruiken verschillende wiskundigen de term om beide sets te beschrijven, inclusief 0 of niet. Het wiskundige symbool voor de verzameling van alle natuurlijke getallen isN , ook geschreven , en soms of wanneer het nodig is om aan te geven of de set moet beginnen met respectievelijk 0 of 1.

In het cijfersysteem met basis 10 , dat tegenwoordig bijna universeel wordt gebruikt voor wiskundige bewerkingen, worden de symbolen voor natuurlijke getallen geschreven met tien cijfers : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. De radix of basis is het aantal unieke numerieke cijfers, inclusief nul, dat een cijfersysteem gebruikt om getallen weer te geven (voor het decimale systeem is de radix 10). In dit grondtal 10-systeem heeft het meest rechtse cijfer van een natuurlijk getal een plaatswaarde van 1, en elk ander cijfer heeft een plaatswaarde die tien keer zo groot is als de plaatswaarde van het cijfer rechts ervan.

In de verzamelingenleer , die kan fungeren als een axiomatische basis voor de moderne wiskunde [34], kunnen natuurlijke getallen worden weergegeven door klassen van gelijkwaardige verzamelingen. Het getal 3 kan bijvoorbeeld worden weergegeven als de klasse van alle sets die precies drie elementen hebben. Als alternatief wordt in Peano Arithmetic het getal 3 weergegeven als sss0, waarbij s de functie "opvolger" is (dwz 3 is de derde opvolger van 0). Er zijn veel verschillende voorstellingen mogelijk; het enige dat nodig is om 3 formeel weer te geven, is om een ​​bepaald symbool of patroon van symbolen drie keer in te schrijven.

Gehele getallen

Het negatief van een positief geheel getal wordt gedefinieerd als een getal dat 0 oplevert wanneer het wordt opgeteld bij het overeenkomstige positieve gehele getal. Negatieve getallen worden meestal geschreven met een minteken (een minteken ). Als voorbeeld wordt het negatief van 7 geschreven als −7 en 7 + (−7) = 0 . Wanneer de set negatieve getallen wordt gecombineerd met de set natuurlijke getallen (inclusief 0), wordt het resultaat gedefinieerd als de set gehele getallen , waarbij ook Z wordt geschreven . Hier komt de letter Z van het Duitse Zahl  'nummer'. De set van gehele getallen vormt een ring met de bewerkingen optellen en vermenigvuldigen. [35] Z {\displaystyle \mathbb {Z} }

De natuurlijke getallen vormen een subset van de gehele getallen. Omdat er geen gemeenschappelijke standaard is voor het al dan niet opnemen van nul in de natuurlijke getallen, worden de natuurlijke getallen zonder nul gewoonlijk positieve gehele getallen genoemd en worden de natuurlijke getallen met nul niet-negatieve gehele getallen genoemd .

Rationele nummers

Een rationaal getal is een getal dat kan worden uitgedrukt als een breuk met een gehele teller en een positieve gehele noemer. Negatieve noemers zijn toegestaan, maar worden doorgaans vermeden, aangezien elk rationaal getal gelijk is aan een breuk met een positieve noemer. Breuken worden geschreven als twee gehele getallen, de teller en de noemer, met een scheidingsbalk ertussen. De breukm/nvertegenwoordigt m delen van een geheel verdeeld in n gelijke delen. Twee verschillende breuken kunnen overeenkomen met hetzelfde rationale getal; bijvoorbeeld1/2 en 2/4 gelijk zijn, dat wil zeggen:

Over het algemeen,

als en alleen als

Als de absolute waarde van m groter is dan n (verondersteld positief te zijn), dan is de absolute waarde van de breuk groter dan 1. Breuken kunnen groter zijn dan, kleiner dan of gelijk aan 1 en kunnen ook positief, negatief zijn, of 0. De verzameling van alle rationale getallen omvat de gehele getallen, aangezien elk geheel getal kan worden geschreven als een breuk met noemer 1. Bijvoorbeeld −7 kan worden geschreven -7/1. Het symbool voor de rationale getallen is Q (voor quotiënt ), ook geschreven . Q {\displaystyle \mathbb {Q} }

Echte getallen

Het symbool voor de reële getallen is R , ook geschreven als Ze bevatten alle meetnummers. Elk reëel getal komt overeen met een punt op de getallenlijn . De volgende paragraaf zal voornamelijk gericht zijn op positieve reële getallen. De behandeling van negatieve reële getallen is in overeenstemming met de algemene rekenkundige regels en hun aanduiding is simpelweg het voorvoegsel van het corresponderende positieve cijfer door een minteken , bijv. −123.456.

De meeste reële getallen kunnen alleen worden benaderd door decimale cijfers, waarbij een decimale punt rechts van het cijfer met plaatswaarde 1 wordt geplaatst. Elk cijfer rechts van de komma heeft een plaatswaarde die een tiende is van de plaatswaarde van het cijfer links daarvan. 123.456 vertegenwoordigt bijvoorbeeld123456/1000, of, in woorden, honderd, twee tienen, drie, vier tienden, vijf honderdsten en zes duizendsten. Een reëel getal kan alleen worden uitgedrukt door een eindig aantal decimale cijfers als het rationeel is en het fractionele deel een noemer heeft waarvan de priemfactoren 2 of 5 of beide zijn, omdat dit de priemfactoren zijn van 10, de basis van het decimale stelsel . Zo is bijvoorbeeld de ene helft 0,5, een vijfde is 0,2, een tiende is 0,1 en een vijftigste is 0,02. Om andere reële getallen als decimalen weer te geven, zou een oneindige reeks cijfers rechts van de komma nodig zijn. Als deze oneindige reeks cijfers een patroon volgt, kan deze worden geschreven met een ellips of een andere notatie die het herhalende patroon aangeeft. Zo'n decimaal wordt een herhalend decimaal genoemd . Dus1/3kan worden geschreven als 0,333 ..., met een weglatingsteken om aan te geven dat het patroon doorgaat. Voor altijd herhalende 3s worden ook geschreven als 0. 3 . [36]

Het blijkt dat deze zich herhalende decimalen (inclusief de herhaling van nullen ) precies de rationale getallen aanduiden, dwz alle rationale getallen zijn ook reële getallen, maar het is niet zo dat elk reëel getal rationeel is. Een reëel getal dat niet rationeel is, wordt irrationeel genoemd . Een beroemd irrationeel reëel getal is het getal π , de verhouding van de omtrek van een cirkel tot zijn diameter . Wanneer pi wordt geschreven als

zoals het soms is, betekent het weglatingsteken niet dat de decimalen zich herhalen (dat doen ze niet), maar eerder dat er geen einde aan komt. Het is bewezen dat π irrationeel is . Een ander bekend getal, waarvan is bewezen dat het een irrationeel reëel getal is, is

de vierkantswortel van 2 , dat wil zeggen het unieke positieve reële getal waarvan het kwadraat 2 is. Beide getallen zijn benaderd (door de computer) tot triljoenen (1 triljoen = 10 12 = 1.000.000.000.000) cijfers.

Niet alleen deze prominente voorbeelden, maar bijna alle reële getallen zijn irrationeel en hebben daarom geen herhalende patronen en dus ook geen bijbehorend decimaal getal. Ze kunnen alleen worden benaderd door decimale cijfers, waarmee afgeronde of afgekorte reële getallen worden aangeduid . Elk afgerond of afgekapt getal is noodzakelijkerwijs een rationaal getal, waarvan er slechts aftelbaar veel zijn . Alle metingen zijn van nature benaderingen en hebben altijd een foutmarge . Dus 123.456 wordt beschouwd als een benadering van elk reëel getal groter of gelijk aan1234555/10000 en strikt minder dan 1234565/10000 (afgerond op 3 decimalen), of een reëel getal groter of gelijk aan 123456/1000 en strikt minder dan 123457/1000(afkapping na het 3. decimaal). Cijfers die een grotere nauwkeurigheid suggereren dan de meting zelf, moeten worden verwijderd. De overige cijfers worden dan significante cijfers genoemd . Metingen met een liniaal kunnen bijvoorbeeld zelden worden uitgevoerd zonder een foutmarge van minimaal 0,001 m . Als de zijden van een rechthoek worden gemeten als 1,23 m en 4,56 m, dan geeft vermenigvuldiging een oppervlakte voor de rechthoek tussen 5,614591 m 2 en 5,603011 m 2 . Omdat zelfs het tweede cijfer achter de komma niet behouden blijft, zijn de volgende cijfers niet significant . Daarom wordt het resultaat meestal afgerond op 5,61.

Net zoals dezelfde breuk op meer dan één manier kan worden geschreven, kan hetzelfde reële getal meer dan één decimale representatie hebben. Bijvoorbeeld 0.999 ..., 1.0, 1.00, 1.000, ..., ze vertegenwoordigen allemaal het natuurlijke getal 1. Een gegeven reëel getal heeft alleen de volgende decimale weergaven: een benadering van een bepaald eindig aantal decimalen, een benadering waarin een patroon wordt vastgesteld dat doorgaat voor een onbeperkt aantal decimalen of een exacte waarde met slechts een eindig aantal decimalen. In dit laatste geval kan het laatste niet-nul cijfer worden vervangen door het cijfer één kleiner gevolgd door een onbeperkt aantal 9-en, of het laatste niet-nul cijfer kan worden gevolgd door een onbeperkt aantal nullen. Dus het exacte reële getal 3,74 kan ook worden geschreven als 3,7399999999 ... en 3,74000000000 ... Evenzo kan een decimaal getal met een onbeperkt aantal nullen worden herschreven door de nullen rechts van de decimaal te laten vallen, en een decimaal getal met een onbeperkt aantal 9 's kunnen worden herschreven door het meest rechtse cijfer -9 met één te verhogen, en alle nullen rechts van dat cijfer te veranderen in nullen. Ten slotte kan een onbeperkte reeks nullen rechts van de komma worden weggelaten. Bijvoorbeeld 6.849999999999 ... = 6.85 en 6.850000000000 ... = 6.85. Ten slotte, als alle cijfers in een cijfer 0 zijn, is het nummer 0, en als alle cijfers in een cijfer een oneindige reeks van 9 zijn, kun je de negens rechts van de komma laten vallen en er een toevoegen naar de reeks 9s links van de komma. Bijvoorbeeld 99.999 ... = 100.Ten slotte, als alle cijfers in een cijfer 0 zijn, is het nummer 0, en als alle cijfers in een cijfer een oneindige reeks van 9 zijn, kun je de negens rechts van de komma laten vallen en er een toevoegen naar de reeks 9s links van de komma. Bijvoorbeeld 99.999 ... = 100.Ten slotte, als alle cijfers in een cijfer 0 zijn, is het nummer 0, en als alle cijfers in een cijfer een oneindige reeks van 9 zijn, kun je de negens rechts van de komma laten vallen en er een toevoegen naar de reeks 9s links van de komma. Bijvoorbeeld 99.999 ... = 100.

De reële getallen hebben ook een belangrijke maar zeer technische eigenschap, de eigenschap van de minst bovengrens .

Er kan worden aangetoond dat elk geordend veld , dat ook compleet is, isomorf is met de reële getallen. De reële getallen zijn echter geen algebraïsch gesloten veld , omdat ze geen oplossing bevatten (vaak een vierkantswortel van min één genoemd ) voor de algebraïsche vergelijking .

Complexe getallen

Als we naar een hoger abstractieniveau gaan, kunnen de reële getallen worden uitgebreid tot de complexe getallen . Deze reeks getallen is historisch ontstaan ​​uit het zoeken naar gesloten formules voor de wortels van kubieke en kwadratische veeltermen. Dit leidde tot uitdrukkingen met de vierkantswortels van negatieve getallen, en uiteindelijk tot de definitie van een nieuw getal: een vierkantswortel van -1, aangeduid met i , een symbool toegewezen door Leonhard Euler , en de imaginaire eenheid genoemd . De complexe getallen bestaan ​​uit alle getallen van het formulier

waarbij a en b reële getallen zijn. Hierdoor komen complexe getallen overeen met punten op het complexe vlak , een vectorruimte van twee reële dimensies . In de uitdrukking a + bi wordt het reële getal a het reële deel genoemd en b het imaginaire deel . Als het reële deel van een complex getal 0 is, wordt het getal een imaginair getal genoemd of wordt er naar verwezen als puur imaginair ; als het imaginaire deel 0 is, dan is het getal een reëel getal. De reële getallen zijn dus een subsetvan de complexe getallen. Als de reële en imaginaire delen van een complex getal beide gehele getallen zijn, wordt het getal een Gauss-geheel getal genoemd . Het symbool voor de complexe getallen is C of .

De fundamentele stelling van de algebra stelt dat de complexe getallen een algebraïsch gesloten veld vormen , wat betekent dat elke polynoom met complexe coëfficiënten een wortel heeft in de complexe getallen. Net als de reële getallen vormen de complexe getallen een veld dat compleet is , maar in tegenstelling tot de reële getallen is het niet geordend . Dat wil zeggen dat er geen consistente betekenis is om te zeggen dat I groter is dan 1, noch is er enige betekenis om te zeggen dat I kleiner is dan 1. In technische termen missen de complexe getallen een totale volgorde die compatibel is met veldoperaties .

Subklassen van de gehele getallen

Even en oneven nummers

Een even getal is een geheel getal dat "even deelbaar" is door twee, dat wil zeggen deelbaar door twee zonder rest ; een oneven getal is een geheel getal dat niet even is. (De ouderwetse term "even deelbaar" wordt nu bijna altijd afgekort tot " deelbaar ".) Elk oneven getal n kan worden geconstrueerd met de formule n = 2 k + 1, voor een geschikt geheel getal k . Beginnend met k = 0, zijn de eerste niet-negatieve oneven getallen {1, 3, 5, 7, ...}. Elk even getal m heeft de vorm m = 2 k waar k weer een isgeheel getal . Evenzo zijn de eerste niet-negatieve even getallen {0, 2, 4, 6, ...}.

priemgetallen

Een priemgetal , vaak afgekort tot alleen een priemgetal , is een geheel getal groter dan 1 dat niet het product is van twee kleinere positieve gehele getallen. De eerste paar priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7 en 11. Er is niet zo'n eenvoudige formule als voor oneven en even getallen om de priemgetallen te genereren. De priemgetallen zijn al meer dan 2000 jaar uitgebreid bestudeerd en hebben tot veel vragen geleid, waarvan er slechts enkele zijn beantwoord. De studie van deze vragen behoort tot de getaltheorie . Goldbachs vermoeden is een voorbeeld van een nog onbeantwoorde vraag: 'Is elk even getal de som van twee priemgetallen?'

Eén beantwoorde vraag, of elk geheel getal groter dan één slechts op één manier een product is van priemgetallen, met uitzondering van een herschikking van de priemgetallen, werd bevestigd; deze bewezen bewering wordt de fundamentele stelling van de rekenkunde genoemd . Een bewijs verschijnt in Euclides Elements .

Andere klassen van gehele getallen

Veel subsets van de natuurlijke getallen zijn het onderwerp geweest van specifieke studies en zijn genoemd, vaak naar de eerste wiskundige die ze heeft bestudeerd. Voorbeelden van dergelijke sets van gehele getallen zijn Fibonacci-getallen en perfecte getallen . Zie Reeks gehele getallen voor meer voorbeelden .

Subklassen van de complexe getallen

Algebraïsche, irrationele en transcendentale getallen

Algebraïsche getallen zijn getallen die een oplossing zijn voor een polynoomvergelijking met coëfficiënten van gehele getallen. Reële getallen die geen rationale getallen zijn, worden irrationele getallen genoemd . Complexe getallen die niet algebraïsch zijn, worden transcendentale getallen genoemd . De algebraïsche getallen die oplossingen zijn van een monische polynoomvergelijking met integercoëfficiënten worden algebraïsche gehele getallen genoemd .

Constructeerbare nummers

Gemotiveerd door de klassieke problemen van constructies met passer en passer , zijn de constructeerbare getallen die complexe getallen waarvan de reële en imaginaire delen kunnen worden geconstrueerd met behulp van passer en passer, uitgaande van een bepaald segment van eenheidslengte, in een eindig aantal stappen.

Berekenbare nummers

Een berekenbaar getal , ook wel recursief getal genoemd , is een reëel getal zodat er een algoritme bestaat dat, gegeven een positief getal n als invoer, de eerste n cijfers produceert van de decimale weergave van het berekenbare getal. Equivalente definities kunnen worden gegeven met behulp van μ-recursieve functies , Turing-machines of λ-calculus . De berekenbare getallen zijn stabiel voor alle gebruikelijke rekenkundige bewerkingen, inclusief de berekening van de wortels van een polynoom , en vormen dus een echt gesloten veld dat de reële algebraïsche getallen bevat .

De berekenbare getallen kunnen worden gezien als de reële getallen die exact in een computer kunnen worden weergegeven: een berekenbaar getal wordt exact weergegeven door de eerste cijfers en een programma voor het berekenen van verdere cijfers. De berekenbare getallen worden in de praktijk echter zelden gebruikt. Een reden is dat er geen algoritme is om de gelijkheid van twee berekenbare getallen te testen. Om precies te zijn, er kan geen algoritme bestaan ​​dat een berekenbaar getal als invoer aanneemt en in elk geval beslist of dit getal gelijk is aan nul of niet.

De reeks berekenbare getallen heeft dezelfde kardinaliteit als de natuurlijke getallen. Daarom zijn bijna alle reële getallen niet berekenbaar. Het is echter erg moeilijk om expliciet een reëel getal te produceren dat niet berekenbaar is.

Uitbreidingen van het concept

p -adic nummers

De p -adische getallen kunnen oneindig lange uitbreidingen links van de komma hebben, net zoals reële getallen oneindig lange uitbreidingen naar rechts kunnen hebben. Het getallensysteem dat resulteert, hangt af van het grondtal dat voor de cijfers wordt gebruikt: elk grondtal is mogelijk, maar een priemgetalbasis biedt de beste wiskundige eigenschappen. De verzameling p -adische getallen bevat de rationale getallen, maar is niet opgenomen in de complexe getallen.

De elementen van een algebraïsch functieveld over een eindig veld en algebraïsche getallen hebben veel vergelijkbare eigenschappen (zie Functieveld analogie ). Daarom worden ze door getaltheoretici vaak als getallen beschouwd. De p -adische getallen spelen een belangrijke rol in deze analogie.

Hypercomplexe nummers

Sommige nummerstelsels die niet zijn opgenomen in de complexe getallen, kunnen worden geconstrueerd uit de reële getallen op een manier die de constructie van de complexe getallen generaliseert. Ze worden soms hypercomplexe getallen genoemd . Ze omvatten de quaternions H , geïntroduceerd door Sir William Rowan Hamilton , waarin vermenigvuldiging niet commutatief is , de octonions , waarin vermenigvuldiging niet associatief is naast niet commutatief, en de sedenions , waarin vermenigvuldiging niet alternatief is , noch associatief noch commutatief.

Transfinite nummers

Voor het omgaan met oneindige verzamelingen zijn de natuurlijke getallen gegeneraliseerd naar de rangtelwoorden en naar de hoofdtelwoorden . De eerste geeft de volgorde van de set aan, terwijl de laatste de grootte aangeeft. Voor eindige verzamelingen worden zowel rangtelwoorden als hoofdtelwoorden geïdentificeerd met de natuurlijke getallen. In het oneindige geval komen veel rangtelwoorden overeen met hetzelfde hoofdtelwoord.

Niet-standaard nummers

Hyperreële getallen worden gebruikt in niet-standaardanalyses . De hyperreals, of niet-standaard reals (meestal aangeduid als * R ), duiden een geordend veld aan dat een goede uitbreiding is van het geordende veld van reële getallen R en voldoet aan het overdrachtsprincipe . Dit principe maakt het mogelijk ware eerste-orde uitspraken over R te worden geïnterpreteerd als echte eerste-orde uitspraken over * R .

Superreële en surreële getallen breiden de reële getallen uit door oneindig kleine getallen en oneindig grote getallen toe te voegen, maar vormen nog steeds velden .

Zie ook

  • Concreet nummer
  • Lijst met nummers
  • Lijst met nummers in verschillende talen
  • Lijst met soorten nummers
  • Wiskundige constante  - Vast getal dat een naam heeft gekregen
  • Complexe getallen
  • Numerieke cognitie
  • Ordes van grootte
  • Fysieke constante  - Universele en onveranderlijke fysieke hoeveelheid
  • Pi  - Verhouding van de omtrek van een cirkel tot zijn diameter
  • Positionele notatie  - Methode voor het weergeven of coderen van getallen
  • Priemgetal  - Positief geheel getal met precies twee delers, 1 en zichzelf
  • Scalair (wiskunde)  - Elementen van een veld, bijv. Reële getallen, in de context van lineaire algebra
  • Subitiseren en tellen

Opmerkingen

  1. ^ "nummer, n." OED online . Oxford Universiteit krant. Gearchiveerd van het origineel op 2018/10/04 . Ontvangen 2017/05/16 .
  2. ^ "cijfer, adj. en n." OED online . Oxford Universiteit krant.
  3. ^ In de taalkunde kan een cijfer verwijzen naar een symbool zoals 5, maar ook naar een woord of een zin die een nummer noemt, zoals "vijfhonderd"; cijfers omvatten ook andere woorden die getallen vertegenwoordigen, zoals "dozijn".
  4. ^ Matson, John. "De oorsprong van nul" . Scientific American . Gearchiveerd van het origineel op 26/08/2017 . Ontvangen 2017/05/16 .
  5. ^ a b Hodgkin, Luke (2005-06-02). A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity . OUP Oxford. pp. 85-88. ISBN 978-0-19-152383-0. Gearchiveerd van het origineel op 4 februari 2019 . Ontvangen 2017/05/16 .
  6. ^ TK Puttaswamy (2000), Selin, Helaine ; D'Ambrosio, Ubiratan (red.), [The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics ] Check value ( help ) , Springer , pp. 410-11, ISBN|url= 1-4020-0260-2.
  7. ^ Descartes, René (1954) [1637], La Géométrie | The Geometry of René Descartes met een facsimile van de eerste editie , Dover Publications , ISBN 0-486-60068-8, teruggehaald 20 april 2011
  8. ^ a b Gilsdorf, Thomas E.Inleiding tot culturele wiskunde: met casestudy's in de Otomies en Inca's , John Wiley & Sons, 24 februari 2012.
  9. ^ Restivo, S. Mathematics in Society and History , Springer Science & Business Media, 30 november 1992.
  10. ^ a b Erts, Oystein. Getaltheorie en zijn geschiedenis , Courier Dover Publications.
  11. ^ Gouvea, Fernando Q. The Princeton Companion to Mathematics , Hoofdstuk II.1, ‘De oorsprong van de moderne wiskunde’ , p. 82. Princeton University Press, 28 september 2008. ISBN 978-0-691-11880-2 . 
  12. ^ Chrisomalis, Stephen (2003-09-01). "De Egyptische oorsprong van de Griekse alfabetische cijfers". Oudheid . 77 (297): 485-96. doi : 10.1017 / S0003598X00092541 . ISSN 0003-598X . 
  13. ^ a b Bulliet, Richard; Crossley, Pamela; Headrick, Daniel; Hirsch, Steven; Johnson, Lyman (2010). De aarde en haar volkeren: A Global History, deel 1 . Cengage leren. p. 192. ISBN 978-1-4390-8474-8. Gearchiveerd van het origineel op 28/01/2017 . Ontvangen 2017/05/16 . Indiase wiskundigen hebben het concept van nul uitgevonden en de 'Arabische' cijfers en het systeem van plaatswaarde-notatie ontwikkeld dat tegenwoordig in de meeste delen van de wereld wordt gebruikt[ betere bron nodig ]
  14. ^ Marshak, A., The Roots of Civilization; Cognitive Beginnings of Man's First Art, Symbol and Notation , (Weidenfeld & Nicolson, London: 1972), 81 ev.
  15. ^ ‘Egyptische Wiskundige Papyri - Wiskundigen van de Afrikaanse Diaspora’ . Math.buffalo.edu. Gearchiveerd van het origineel op 2015/04/07 . Ontvangen 2012-01-30 .
  16. ^ "Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] The Zero Story: a question" . Sunsite.utk.edu. 1999-04-26. Gearchiveerd van het origineel op 12-01-2012 . Ontvangen 2012-01-30 .
  17. ^ Sánchez, George I. (1961). Rekenen in Maya . Austin, Texas: in eigen beheer uitgegeven.
  18. ^ Staszkow, Ronald; Robert Bradshaw (2004). The Mathematical Palette (3e ed.) . Brooks Cole. p. 41. ISBN 0-534-40365-4.
  19. ^ Smith, David Eugene (1958). Geschiedenis van de moderne wiskunde . Dover Publications. p. 259. ISBN 0-486-20429-4.
  20. ^ Selin, Helaine , uitg. (2000). Wiskunde tussen culturen: de geschiedenis van niet-westerse wiskunde . Kluwer Academic Publishers. p. 451. ISBN 0-7923-6481-3.
  21. ^ Bernard Frischer (1984). "Horace en de monumenten: een nieuwe interpretatie van de Archytas Ode ". In DR Shackleton Bailey (red.). Harvard Studies in klassieke filologie . Harvard University Press. p. 83. ISBN 0-674-37935-7.
  22. ^ Eduard Heine, "Die Elemente der Functionenlehre" , [Crelle's] Journal für die reine und angewandte Mathematik , № 74 (1872): 172-188.
  23. ^ Georg Cantor, "Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten", pt. 5 , Mathematische Annalen , 21, 4 (1883‑12): 545–591.
  24. ^ Richard Dedekind, Stetigkeit & irrationale Zahlen (Braunschweig: Friedrich Vieweg & Sohn, 1872). Vervolgens gepubliceerd in: ———, Gesammelte mathematische Werke , ed. Robert Fricke, Emmy Noether & Öystein Ore (Braunschweig: Friedrich Vieweg & Sohn, 1932), vol. 3, blz. 315-334.
  25. ^ L. Kronecker, "Ueber den Zahlbegriff" , [Crelle's] Journal für die reine und angewandte Mathematik , № 101 (1887): 337-355.
  26. ^ Leonhard Euler, ‘Conjectura circa naturam aeris, pro explicandis phaenomenis in atmosphaera observatis’, Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae , 1779, 1 (1779): 162-187.
  27. ^ Ramus, "Determinanternes Anvendelse til at bes temme Loven for de convergerende Bröker", in: Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs naturvidenskabelige og mathematiske Afhandlinger (Kjoebenhavn: 1855), p. 106.
  28. ^ Eduard Heine, "Einige Eigenschaften der Lamé schen Funktionen" , [Crelle's] Journal für die reine und angewandte Mathematik , № 56 (jan. 1859): 87-99 op 97.
  29. ^ Siegmund Günther, Darstellung der Näherungswerthe von Kettenbrüchen in onafhankelijke vorm (Erlangen: Eduard Besold, 1873); ———, "Kettenbruchdeterminanten", in: Lehrbuch der Determinanten-Theorie: Für Studirende (Erlangen: Eduard Besold, 1875), ca. 6, blz. 156-186.
  30. ^ Bogomolny, A. "Wat is een nummer?" . Interactief wiskundeoverzicht en puzzels . Gearchiveerd van het origineel op 23 september 2010 . Ontvangen 11 juli 2010 .
  31. ^ "Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung of unseres Denkens - welche Elemente der Menge genannt werden - zu einem Ganzen." [https://web.archive.org/web/20110610133240/http://brinkmann-du.de/mathe/fos/fos01_03.htm Gearchiveerd 2011-06-10 op de Wayback Machine. [1]]
  32. ^ Weisstein, Eric W. "Natuurlijk aantal" . MathWorld .
  33. ^ "natuurlijk nummer" , Merriam-Webster.com , Merriam-Webster , gearchiveerd met behulp van het origineel op 13 december 2019 , teruggehaald 4 oktober 2014
  34. ^ Suppes, Patrick (1972). Axiomatic Set Theory . Koerier Dover Publications. p. 1 . ISBN 0-486-61630-4.
  35. ^ Weisstein, Eric W. "Integer" . MathWorld .
  36. ^ Weisstein, Eric W. "Decimaal herhalen" . mathworld.wolfram.com . Ontvangen 2020/07/23 .

Referenties

  • Tobias Dantzig , Number, de taal van de wetenschap; een kritische enquête geschreven voor de beschaafde niet-wiskundige , New York, The Macmillan Company, 1930. [ ISBN ontbreekt ]
  • Erich Friedman, wat is er speciaal aan dit nummer?
  • Steven Galovich, Inleiding tot wiskundige structuren , Harcourt Brace Javanovich, 1989, ISBN 0-15-543468-3 . 
  • Paul Halmos , Naive Set Theory , Springer, 1974, ISBN 0-387-90092-6 . 
  • Morris Kline , Mathematical Thought from Ancient to Modern Times , Oxford University Press, 1990. ISBN 978-0195061352 
  • Alfred North Whitehead en Bertrand Russell , Principia Mathematica tot * 56, Cambridge University Press, 1910. [ ISBN ontbreekt ]
  • Leo Cory, A Brief History of Numbers , Oxford University Press, 2015, ISBN 978-0-19-870259-7 . 

Externe links

  • Nechaev, VI (2001) [1994], "Number" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
  • Tallant, Jonathan. "Bestaan ​​er nummers?" . Nummerfile . Brady Haran . Gearchiveerd van het origineel op 2016/03/08 . Ontvangen 2013/04/06 .
  • BBC Radio 4, In Our Time: Negative Cijfers
  • '4000 Years of Numbers' , lezing door Robin Wilson, 07/11/07, Gresham College (beschikbaar om te downloaden als MP3 of MP4, en als tekstbestand).
  • "Wat is 's werelds favoriete nummer?" . 2011-06-22 . Ontvangen 2011-09-17 .; "Knuffelen met 9, knuffelen met 8, knipogen om 7" . 2011-08-11 . Ontvangen 2011-09-17 .
  • On-Line Encyclopedia of Integer Sequences