Pagina semi-beveiligd

Wiskunde

Van Wikipedia, de gratis encyclopedie
Spring naar navigatie Spring om te zoeken

Griekse wiskundige Euclides (met remklauwen ), 3e eeuw voor Christus, zoals voorgesteld door Raphael in dit detail van The School of Athens (1509-1511) [a]

Wiskunde (uit het Grieks : μάθημα , máthēma , 'kennis, studie, leren') omvat de studie van onderwerpen als kwantiteit ( getaltheorie ), [1] structuur ( algebra ), [2] ruimte ( geometrie ), [1] en verandering ( analyse ). [3] [4] [5] Het heeft geen algemeen aanvaarde definitie . [6] [7]

Wiskundigen zoeken en gebruiken patronen [8] [9] om nieuwe vermoedens te formuleren ; zij lossen de waarheid of onwaarheid hiervan op door wiskundig bewijs . Wanneer wiskundige structuren goede modellen zijn van echte verschijnselen, kan wiskundig redeneren worden gebruikt om inzicht te krijgen in of voorspellingen te doen over de natuur. Door het gebruik van abstractie en logica , ontwikkelde wiskunde zich door tellen , berekenen , meten en de systematische studie van de vormen en bewegingen van fysieke objecten​Praktische wiskunde is al een menselijke activiteit geweest zolang er schriftelijke verslagen bestaan. Het onderzoek dat nodig is om wiskundige problemen op te lossen, kan jaren of zelfs eeuwen van aanhoudend onderzoek vergen.

Strenge argumenten verscheen voor het eerst in de Griekse wiskunde , met name in Euclides 's Elements . [10] Sinds het pionierswerk van Giuseppe Peano (1858-1932), David Hilbert (1862-1943), en anderen op axiomatische systemen in de late 19e eeuw , het is gewoonte geworden om wiskundig onderzoek zien als waarheid vast te stellen door strenge aftrek van passend gekozen axioma's en definities . Wiskunde ontwikkelde zich in een relatief langzaam tempo tot de Renaissance , toen wiskundige innovaties in wisselwerking stonden met nieuwewetenschappelijke ontdekkingen leidden tot een snelle toename van het tempo van wiskundige ontdekkingen die tot op de dag van vandaag voortduurt. [11]

Wiskunde is essentieel op veel gebieden, waaronder natuurwetenschappen , techniek , geneeskunde , financiën en sociale wetenschappen . Toegepaste wiskunde heeft geleid tot geheel nieuwe wiskundige disciplines, zoals statistiek en speltheorie . Wiskundigen houden zich bezig met zuivere wiskunde (wiskunde op zichzelf) zonder enige toepassing in gedachten te hebben, maar praktische toepassingen voor wat begon als zuivere wiskunde, worden vaak later ontdekt. [12] [13]

Geschiedenis

De geschiedenis van de wiskunde kan worden gezien als een steeds groter wordende reeks abstracties . De eerste abstractie, die door veel dieren wordt gedeeld [14], was waarschijnlijk die van getallen: het besef dat een verzameling van twee appels en een verzameling van twee sinaasappels (bijvoorbeeld) iets gemeen hebben, namelijk het aantal leden.

Zoals blijkt uit tellingen die op botten zijn gevonden , hebben prehistorische volken niet alleen herkend hoe ze fysieke objecten moesten tellen , maar ook hoe ze abstracte hoeveelheden moesten tellen, zoals tijd - dagen, seizoenen of jaren. [15] [16]

De Babylonische wiskundige tablet Plimpton 322, gedateerd op 1800 voor Christus.

Bewijs voor complexere wiskunde verschijnt pas rond 3000 voor  Christus , toen de Babyloniërs en Egyptenaren rekenkunde , algebra en meetkunde begonnen te gebruiken voor belastingen en andere financiële berekeningen, voor bouwen en construeren, en voor astronomie . [17] De oudste wiskundige teksten uit Mesopotamië en Egypte dateren van 2000 tot 1800 voor Christus. [18] In veel vroege teksten wordt gesproken over de triples van Pythagoras en dus, bijgevolg, de stelling van Pythagoraslijkt de oudste en meest wijdverspreide wiskundige ontwikkeling te zijn na elementaire rekenkunde en meetkunde. [19] Het is in Babylonische wiskunde die elementaire rekenkundige ( toevoeging , aftrekking , vermenigvuldiging en deling ) optreden binnen het bodemarchief. De Babyloniërs bezaten ook een plaatswaardesysteem en gebruikten een sexagesimaal getallenstelsel [19] dat nog steeds wordt gebruikt voor het meten van hoeken en tijd. [20]

Archimedes gebruikte de uitputtingsmethode om de waarde van pi te benaderen .

Beginnend in de 6e eeuw voor Christus met de Pythagoreeërs , begonnen de oude Grieken met Griekse wiskunde een systematische studie van wiskunde als een vak op zich. [21] Rond 300 voor Christus introduceerde Euclides de axiomatische methode die nog steeds in de wiskunde wordt gebruikt, bestaande uit definitie, axioma, stelling en bewijs. Zijn boek Elements wordt algemeen beschouwd als het meest succesvolle en invloedrijke leerboek aller tijden. [22] De grootste wiskundige uit de oudheid wordt vaak beschouwd als Archimedes (ca. 287-212 v.Chr.) Van Syracuse . [23]Hij ontwikkelde formules voor het berekenen van het oppervlak en het volume van omwentelingslichamen en gebruikte de uitputtingsmethode om het gebied onder de boog van een parabool te berekenen met de optelling van een oneindige reeks , op een manier die niet al te veel verschilt van de moderne calculus. [24] Andere opmerkelijke verworvenheden van de Griekse wiskunde zijn kegelsneden ( Apollonius van Perga , 3e eeuw voor Christus), [25] trigonometrie ( Hipparchus van Nicaea , 2e eeuw voor Christus), [26] en het begin van de algebra ( Diophantus , 3e eeuw na Christus) ). [27]

De cijfers die worden gebruikt in het Bakhshali-manuscript , dateren tussen de 2e eeuw voor Christus en de 2e eeuw na Christus.

Het hindoe-Arabische cijfersysteem en de regels voor het gebruik van de bewerkingen, die tegenwoordig over de hele wereld worden gebruikt, evolueerden in de loop van het eerste millennium na Christus in India en werden via islamitische wiskunde naar de westerse wereld overgebracht . [28] Andere opmerkelijke ontwikkelingen in de Indiase wiskunde zijn de moderne definitie en benadering van sinus en cosinus , [28] en een vroege vorm van oneindige reeksen .

Een pagina uit al-Khwārizmī's Algebra

Tijdens de Gouden Eeuw van de islam , vooral tijdens de 9e en 10e eeuw, zag de wiskunde veel belangrijke innovaties die voortbouwen op de Griekse wiskunde. De meest opvallende prestatie van islamitische wiskunde was de ontwikkeling van algebra . Andere prestaties van de islamitische periode zijn onder meer vooruitgang in sferische trigonometrie en de toevoeging van de komma aan het Arabische cijfersysteem. [29] [30] Veel opmerkelijke wiskundigen uit deze periode waren Perzisch, zoals Al-Khwarismi , Omar Khayyam en Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī .

Tijdens de vroegmoderne tijd begon de wiskunde zich in West-Europa in een versneld tempo te ontwikkelen . De ontwikkeling van calculus door Newton en Leibniz in de 17e eeuw bracht een revolutie teweeg in de wiskunde. [31] Leonhard Euler was de meest opmerkelijke wiskundige van de 18e eeuw en droeg talloze stellingen en ontdekkingen bij. [32] Misschien was de belangrijkste wiskundige van de 19e eeuw de Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss , [33] die talrijke bijdragen leverde op gebieden als algebra , analyse , differentiaalmeetkunde , matrixtheorie ,getaltheorie en statistiek . In het begin van de 20e eeuw transformeerde Kurt Gödel de wiskunde door zijn onvolledigheidsstellingen te publiceren , die gedeeltelijk aantonen dat elk consistent axiomatisch systeem - als het krachtig genoeg is om rekenkunde te beschrijven - ware proposities zal bevatten die niet kunnen worden bewezen. [34]

De wiskunde is sindsdien enorm uitgebreid en er is een vruchtbare wisselwerking geweest tussen wiskunde en wetenschap, in het voordeel van beide. Er worden nog steeds wiskundige ontdekkingen gedaan. Volgens Mikhail B. Sevryuk, in de uitgave van januari 2006 van het Bulletin of the American Mathematical Society , "is het aantal artikelen en boeken dat sinds 1940 (het eerste jaar waarin MR actief was) in de Mathematical Reviews- database zijn opgenomen meer dan 1,9 miljoen, en meer dan 75 duizend items worden elk jaar aan de database toegevoegd. De overgrote meerderheid van de werken in deze oceaan bevat nieuwe wiskundige stellingen en hun bewijzen . " [35]

Etymologie

Het woord wiskunde komt van het oude Griekse máthēma ( μάθημα ), wat betekent "dat wat wordt geleerd", [36] "wat men leert te weten", vandaar ook "studie" en "wetenschap". Het woord voor "wiskunde" kreeg zelfs in de klassieke tijd een smallere en meer technische betekenis "wiskundige studie". [37] Het bijvoeglijk naamwoord is mathēmatikós ( μαθηματικός ), wat 'verwant aan leren' of 'leergierig' betekent, wat eveneens 'wiskundig' ging betekenen. In het bijzonder mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ; Latijn :ars mathematica) betekende "de wiskundige kunst."

Evenzo stond een van de twee belangrijkste stromingen in het pythagoreanisme bekend als de mathēmatikoi (μαθηματικοί) - wat destijds 'leerlingen' betekende in plaats van 'wiskundigen' in de moderne zin. [38]

In het Latijn, en in het Engels tot rond 1700, betekende de term wiskunde vaker ' astrologie ' (of soms ' astronomie ') dan 'wiskunde'; de betekenis veranderde geleidelijk in de huidige betekenis van ongeveer 1500 tot 1800. Dit heeft geresulteerd in verschillende verkeerde vertalingen. De waarschuwing van Sint Augustinus bijvoorbeeld dat christenen op hun hoede moeten zijn voor mathematici , wat astrologen betekent, wordt soms verkeerd vertaald als een veroordeling van wiskundigen. [39]

De schijnbare meervoud vorm in het Engels, net als de Franse meervoudsvorm les mathématiques (en de minder gebruikelijke enkelvoud afgeleide la mathématique ), gaat terug naar de Latijnse onzijdig meervoud mathematica ( Cicero ), gebaseerd op de Griekse meervoud ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ), gebruikt door Aristoteles (384-322 v.Chr.), en betekent ruwweg 'alle dingen wiskundig', hoewel het aannemelijk is dat het Engels alleen het adjectief mathematisch (al) leende en het zelfstandig naamwoord wiskunde opnieuw vormde , naar het patroon van de natuurkunde en metafysica, die werden geërfd van het Grieks. [40] In het Engels neemt het zelfstandig naamwoord wiskunde een enkelvoudig werkwoord aan. Het wordt vaak afgekort tot wiskunde of, in Noord-Amerika, wiskunde . [41]

Definities van wiskunde

Leonardo Fibonacci , de Italiaanse wiskundige die het hindoe-Arabische cijfersysteem, uitgevonden tussen de 1ste en 4de eeuw door Indiase wiskundigen, in de westerse wereld introduceerde .

Wiskunde heeft geen algemeen aanvaarde definitie. [6] [7] Aristoteles definieerde wiskunde als "de wetenschap van kwantiteit" en deze definitie gold tot de 18e eeuw. Aristoteles merkte echter ook op dat een focus op kwantiteit alleen geen onderscheid maakt tussen wiskunde en wetenschappen zoals natuurkunde; volgens hem onderscheiden abstractie en het bestuderen van kwantiteit als een eigenschap die 'in het denken te scheiden' is van de werkelijke gevallen de wiskunde. [42]

In de 19e eeuw, toen de studie van de wiskunde steeds strenger werd en abstracte onderwerpen begon te behandelen zoals groepstheorie en projectieve meetkunde , die geen duidelijk verband hebben met kwantiteit en meting, begonnen wiskundigen en filosofen een verscheidenheid aan nieuwe definities voor te stellen. . [43]

Een groot aantal professionele wiskundigen is niet geïnteresseerd in een definitie van wiskunde, of beschouwen het als ondefinieerbaar. [6] Er is zelfs geen consensus over de vraag of wiskunde een kunst of een wetenschap is. [7] Sommigen zeggen gewoon: "Wiskunde is wat wiskundigen doen." [6]

Drie hoofdtypen

Drie belangrijke soorten definities van wiskunde worden tegenwoordig logicist , intuïtionist en formalist genoemd , die elk een andere filosofische school weerspiegelen. [44] Ze hebben allemaal ernstige tekortkomingen, geen enkele wordt algemeen aanvaard, en verzoening lijkt niet mogelijk. [44]

Logicus definities

Een vroege definitie van wiskunde in termen van logica was die van Benjamin Peirce (1870): "de wetenschap die de nodige conclusies trekt". [45] In de Principia Mathematica ontwikkelden Bertrand Russell en Alfred North Whitehead het filosofische programma dat bekend staat als logicisme , en probeerden ze te bewijzen dat alle wiskundige concepten, uitspraken en principes volledig kunnen worden gedefinieerd en bewezen in termen van symbolische logica . Een logicistische definitie van wiskunde is Russell's (1903) "Alle wiskunde is symbolische logica." [46]

Intuïtionistische definities

Intuïtionistische definities, die voortkomen uit de filosofie van wiskundige LEJ Brouwer , identificeren wiskunde met bepaalde mentale verschijnselen. Een voorbeeld van een intuïtionistische definitie is "Wiskunde is de mentale activiteit die bestaat uit het achter elkaar uitvoeren van constructies." [44] Een bijzonderheid van intuïtionisme is dat het sommige wiskundige ideeën verwerpt die volgens andere definities als geldig worden beschouwd. In het bijzonder, terwijl andere filosofieën van de wiskunde objecten toestaan ​​waarvan kan worden bewezen dat ze bestaan, ook al kunnen ze niet worden geconstrueerd, staat het intuïtionisme alleen wiskundige objecten toe die men daadwerkelijk kan construeren. Intuïtionisten verwerpen ook de wet van uitgesloten midden (dwz,Hoewel deze houding doet hen te dwingen om een gemeenschappelijke versie van verwerpen bewijs uit het ongerijmde als een levensvatbare proof methode, namelijk de gevolgtrekking van uit , ze zijn nog steeds in staat zijn af te leiden uit . Voor hen is een strikt zwakkere uitspraak dan . [47]

Formalistische definities

Formalistische definities identificeren wiskunde met zijn symbolen en de regels om ermee te werken. Haskell Curry definieerde wiskunde eenvoudig als "de wetenschap van formele systemen". [48] Een formeel systeem is een set symbolen, of tokens , en enkele regels over hoe de tokens tot formules moeten worden gecombineerd . In formele systemen heeft het woord axioma een speciale betekenis die verschilt van de gewone betekenis van 'een vanzelfsprekende waarheid' en wordt het gebruikt om te verwijzen naar een combinatie van tokens die in een bepaald formeel systeem is opgenomen zonder dat het hoeft te worden afgeleid met de regels van het systeem.

Wiskunde als wetenschap

Carl Friedrich Gauss , bekend als de prins van wiskundigen

De Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss verwees naar wiskunde als "de koningin van de wetenschappen". [49] Meer recent heeft Marcus du Sautoy wiskunde "de koningin van de wetenschap ... de belangrijkste drijvende kracht achter wetenschappelijke ontdekkingen" genoemd. [50] De filosoof Karl Popper merkte op dat 'de meeste wiskundige theorieën, net als die van de natuurkunde en biologie , hypothetisch - deductief zijn : zuivere wiskunde blijkt daarom veel dichter bij de natuurwetenschappen, waarvan de hypothesen vermoedens zijn, dan het zelfs recent leek. " [51]Popper merkte ook op: "Ik zal zeker toegeven dat een systeem alleen empirisch of wetenschappelijk is als het door ervaring kan worden getest." [52]

Verschillende auteurs zijn van mening dat wiskunde geen wetenschap is omdat het niet berust op empirisch bewijs . [53] [54] [55] [56]

Wiskunde heeft veel gemeen met veel velden in de natuurwetenschappen, met name het onderzoek naar de logische consequenties van aannames. Intuïtie en experiment spelen ook een rol bij het formuleren van vermoedens in zowel de wiskunde als de (andere) wetenschappen. Experimentele wiskunde wordt steeds belangrijker binnen de wiskunde, en rekenen en simulatie spelen een steeds grotere rol in zowel de wetenschappen als de wiskunde.

De meningen van wiskundigen over deze kwestie lopen uiteen. Veel wiskundigen [57] zijn van mening dat door hun gebied een wetenschap te noemen, het belang van de esthetische kant en de geschiedenis ervan in de traditionele zeven vrije kunsten bagatelliseert ; Anderen zijn van mening dat het negeren van de connectie met de wetenschappen een oogje dichtknijpt voor het feit dat de interface tussen wiskunde en haar toepassingen in wetenschap en techniek tot veel ontwikkeling in de wiskunde heeft geleid. [58] Een van de manieren waarop dit verschil in gezichtspunt zich afspeelt, is in het filosofische debat over de vraag of wiskunde wordt gecreëerd (zoals in de kunst) of ontdekt.(zoals in de wetenschap). In de praktijk worden wiskundigen meestal gegroepeerd met wetenschappers op het grove niveau, maar gescheiden op fijnere niveaus. Dit is een van de vele kwesties die in de filosofie van de wiskunde worden overwogen . [59]

Inspiratie, pure en toegepaste wiskunde en esthetiek

Isaac Newton (links) en Gottfried Wilhelm Leibniz ontwikkelden een infinitesimale calculus.

Wiskunde komt voort uit veel verschillende soorten problemen. Aanvankelijk werden deze gevonden in de handel, landmeting , architectuur en later astronomie ; Tegenwoordig suggereren alle wetenschappen problemen die door wiskundigen zijn bestudeerd, en veel problemen doen zich voor binnen de wiskunde zelf. De natuurkundige Richard Feynman vond bijvoorbeeld de padintegraalformulering van de kwantummechanica uit met behulp van een combinatie van wiskundig redeneren en fysiek inzicht, en de snaartheorie van vandaag , een nog steeds ontwikkelende wetenschappelijke theorie die probeert de vier fundamentele natuurkrachten te verenigen , blijft inspireren. nieuwe wiskunde. [60]

Sommige wiskunde is alleen relevant in het gebied dat het heeft geïnspireerd, en wordt toegepast om verdere problemen op dat gebied op te lossen. Maar vaak blijkt wiskunde die op één gebied is geïnspireerd, op veel gebieden nuttig te zijn en vormt het een aanvulling op de algemene voorraad wiskundige concepten. Er wordt vaak een onderscheid gemaakt tussen zuivere wiskunde en toegepaste wiskunde . Pure wiskundige onderwerpen blijken echter vaak toepassingen te hebben, bijvoorbeeld getaltheorie in cryptografie .

Dit opmerkelijke feit, dat zelfs de "zuiverste" wiskunde vaak praktische toepassingen blijkt te hebben, is wat de natuurkundige Eugene Wigner " de onredelijke doeltreffendheid van wiskunde " heeft genoemd . [13] De wiskundefilosoof Mark Steiner heeft uitgebreid over deze kwestie geschreven en erkent dat de toepasbaarheid van wiskunde "een uitdaging voor het naturalisme" is. [61] Voor de wiskundefilosoof Mary Leng is het feit dat de fysieke wereld handelt in overeenstemming met de voorschriften van niet-causale wiskundige entiteiten die buiten het universum bestaan ​​"een gelukkig toeval". [62] Aan de andere kant voor sommige antirealisten, verbindingen die zijn verworven tussen wiskundige dingen, weerspiegelen gewoon de verbindingen die worden verworven tussen objecten in het universum, zodat er geen "gelukkig toeval" is. [62]

Zoals in de meeste studiegebieden, heeft de explosie van kennis in het wetenschappelijke tijdperk geleid tot specialisatie: er zijn nu honderden gespecialiseerde gebieden in de wiskunde en de nieuwste Mathematics Subject Classification beslaat 46 pagina's. [63] Verschillende gebieden van toegepaste wiskunde zijn samengevoegd met verwante tradities buiten de wiskunde en zijn op zichzelf staande disciplines geworden, waaronder statistiek, operationeel onderzoek en informatica .

Voor degenen die wiskundig geneigd zijn, heeft veel van de wiskunde vaak een duidelijk esthetisch aspect. Veel wiskundigen praten over de elegantie van wiskunde, haar intrinsieke esthetiek en innerlijke schoonheid. Eenvoud en algemeenheid worden gewaardeerd. Er zit schoonheid in een eenvoudig en elegant bewijs , zoals het bewijs van Euclides dat er oneindig veel priemgetallen zijn , en in een elegante numerieke methode die de berekening versnelt, zoals de snelle Fourier-transformatie . GH Hardy in de verontschuldiging van een wiskundigesprak de overtuiging uit dat deze esthetische overwegingen op zichzelf voldoende zijn om de studie van zuivere wiskunde te rechtvaardigen. Hij identificeerde criteria als significantie, onverwachte, onvermijdelijkheid en economie als factoren die bijdragen aan een wiskundige esthetiek. [64] Bij wiskundig onderzoek wordt vaak gezocht naar kritische kenmerken van een wiskundig object. Een stelling uitgedrukt als een karakterisering van het object door deze kenmerken is de prijs. Voorbeelden van bijzonder beknopte en onthullende wiskundige argumenten zijn gepubliceerd in Proofs from THE BOOK .

De populariteit van recreatieve wiskunde is een ander teken van het plezier dat velen vinden in het oplossen van wiskundige vragen. En aan het andere sociale uiterste blijven filosofen problemen vinden in de filosofie van de wiskunde , zoals de aard van wiskundig bewijs . [65]

Notatie, taal en nauwkeurigheid

Leonhard Euler creëerde en populariseerde veel van de wiskundige notatie die tegenwoordig wordt gebruikt.

Het merendeel van de wiskundige notatie die tegenwoordig wordt gebruikt, werd pas in de 16e eeuw uitgevonden. [66] Voordien werd wiskunde in woorden uitgeschreven, waardoor wiskundige ontdekkingen werden beperkt. [67] Euler (1707-1783) was verantwoordelijk voor veel van de huidige notaties. Moderne notatie maakt wiskunde veel gemakkelijker voor de professional, maar beginners vinden het vaak ontmoedigend. Volgens Barbara Oakley kan dit worden toegeschreven aan het feit dat wiskundige ideeën zowel abstracter als meer gecodeerd zijn dan die van natuurlijke taal. [68] In tegenstelling tot natuurlijke taal, waar mensen vaak een woord kunnen gelijkstellen (zoals koe) met het fysieke object waarmee het overeenkomt, zijn wiskundige symbolen abstract, zonder enige fysieke analoog. [69] Wiskundige symbolen zijn ook beter gecodeerd dan gewone woorden, wat betekent dat een enkel symbool een aantal verschillende bewerkingen of ideeën kan coderen. [70]

Wiskundige taal kan moeilijk te begrijpen zijn voor beginners, omdat zelfs veelgebruikte termen, zoals of en alleen , een preciezere betekenis hebben dan in alledaagse spraak, en andere termen zoals open en veld verwijzen naar specifieke wiskundige ideeën die niet onder hun betekenissen van leken. Wiskundige taal omvat ook veel technische termen, zoals homeomorfisme en integreerbaar, die buiten de wiskunde geen betekenis hebben. Bovendien behoren steno-uitdrukkingen zoals iff voor " als en alleen als " tot wiskundig jargonEr is een reden voor speciale notatie en technische woordenschat: wiskunde vereist meer precisie dan alledaagse spraak. Wiskundigen noemen deze precisie van taal en logica "strengheid".

Wiskundig bewijs is in wezen een kwestie van nauwkeurigheid . Wiskundigen willen dat hun stellingen voortkomen uit axioma's door middel van systematisch redeneren. Dit is om verkeerde " stellingen " te vermijden , gebaseerd op feilbare intuïties, waarvan vele voorbeelden zijn opgetreden in de geschiedenis van het onderwerp. [b] Het niveau van nauwkeurigheid dat in de wiskunde wordt verwacht, is in de loop van de tijd gevarieerd: de Grieken verwachtten gedetailleerde argumenten, maar in de tijd van Isaac Newtonde toegepaste methoden waren minder rigoureus. Problemen die inherent zijn aan de door Newton gebruikte definities zouden leiden tot een heropleving van zorgvuldige analyse en formeel bewijs in de 19e eeuw. Het verkeerd begrijpen van de strengheid is een oorzaak van enkele veelvoorkomende misvattingen over wiskunde. Tegenwoordig blijven wiskundigen onderling discussiëren over computerondersteunde bewijzen . Aangezien grote berekeningen moeilijk te verifiëren zijn, kunnen dergelijke bewijzen onjuist zijn als het gebruikte computerprogramma onjuist is. [c] [71] Anderzijds, bewijs assistenten kunnen verifiëren details die niet kunnen worden gegeven in een handgeschreven proof en zekerheid bieden van de juistheid van lange bewijzen als die van de Feit-Thompson stelling . [d]

Axioma's in het traditionele denken waren "vanzelfsprekende waarheden", maar die opvatting is problematisch. [72] Op formeel niveau is een axioma slechts een reeks symbolen, die alleen een intrinsieke betekenis heeft in de context van alle afleidbare formules van een axiomatisch systeem . Het was het doel van Hilberts programma om alle wiskunde op een stevige axiomatische basis te plaatsen, maar volgens Gödels onvolledigheidsstelling heeft elk (voldoende krachtig) axiomatisch systeem onbeslisbare formules; en dus is een definitieve axiomatisering van de wiskunde onmogelijk. Desalniettemin wordt vaak gedacht dat wiskunde (wat de formele inhoud betreft) niets anders is dan verzamelingenleerin de een of andere axiomatisering, in de zin dat elke wiskundige bewering of bewijs binnen de verzamelingenleer in formules kan worden gegoten. [73]

Velden van wiskunde

Het telraam is een eenvoudig rekeninstrument dat al sinds de oudheid wordt gebruikt.

Wiskunde kan in grote lijnen worden onderverdeeld in de studie van kwantiteit, structuur, ruimte en verandering (dwz rekenkunde , algebra , meetkunde en analyse ). Naast deze hoofdpunten zijn er ook onderverdelingen die zich toeleggen op het verkennen van verbanden vanuit het hart van de wiskunde naar andere velden: naar logica , naar verzamelingenleer ( grondslagen ), naar de empirische wiskunde van de verschillende wetenschappen ( toegepaste wiskunde ), en meer recentelijk aan de rigoureuze studie van onzekerheid . Hoewel sommige gebieden misschien niets met elkaar te maken hebben, lijkt het Langlands-programmaheeft verbanden gevonden tussen gebieden die voorheen niet met elkaar verbonden waren, zoals Galois-groepen , Riemann-oppervlakken en getaltheorie .

Discrete wiskunde groepeert conventioneel de velden van de wiskunde die wiskundige structuren bestuderen die fundamenteel discreet zijn in plaats van continu.

Fundamenten en filosofie

Om de grondslagen van de wiskunde te verduidelijken , werden de velden van wiskundige logica en verzamelingenleer ontwikkeld. Wiskundige logica omvat de wiskundige studie van logica en de toepassingen van formele logica op andere gebieden van de wiskunde; set theorie is de tak van de wiskunde die studies sets of verzamelingen van objecten. De uitdrukking "crisis van de grondslagen" beschrijft de zoektocht naar een rigoureuze basis voor wiskunde die plaatsvond van ongeveer 1900 tot 1930. [74] Er bestaat nog steeds enige onenigheid over de grondslagen van de wiskunde. De crisis van de stichtingen werd destijds aangewakkerd door een aantal controverses, waaronder decontroverse over de verzamelingenleer van Cantor en de controverse tussen Brouwer en Hilbert .

Wiskundige logica houdt zich bezig met het plaatsen van wiskunde binnen een strikt axiomatisch raamwerk en het bestuderen van de implicaties van een dergelijk raamwerk. Als zodanig is het de thuisbasis van Gödels onvolledigheidsstellingen die (informeel) impliceren dat elk effectief formeel systeem dat elementaire rekenkunde bevat, indien correct (wat betekent dat alle stellingen waarvan bewezen kan worden dat ze waar zijn), noodzakelijkerwijs onvolledig is (wat betekent dat er echte stellingen zijn). wat in dat systeem niet kan worden bewezen​Welke eindige verzameling getaltheoretische axioma's ook als basis wordt genomen, Gödel liet zien hoe een formele verklaring kon worden geconstrueerd die een echt getaltheoretisch feit is, maar die niet uit die axioma's volgt. Daarom is geen enkel formeel systeem een ​​volledige axiomatisering van de volledige getaltheorie. De moderne logica is verdeeld in recursietheorie , model theorie en bewijstheorie , en is nauw verbonden met de theoretische informatica , [75] evenals categorie theorie . In de context van de recursietheorie kan de onmogelijkheid van een volledige axiomatisering van de getaltheorie ook formeel worden aangetoond als gevolg van de MRDP-stelling .

Theoretische informatica omvat berekenbaarheidstheorie , computationele complexiteitstheorie en informatietheorie . Computability theory onderzoekt de beperkingen van verschillende theoretische modellen van de computer, waaronder het meest bekende model - de Turing-machine . Complexiteitstheorie is de studie van traceerbaarheid per computer; sommige problemen zijn, hoewel ze theoretisch met de computer kunnen worden opgelost, zo duur in termen van tijd of ruimte dat het praktisch niet haalbaar zal blijven om ze op te lossen, zelfs met de snelle vooruitgang van computerhardware. Een bekend probleem is het " P = NP ? " -Probleem, een van de millenniumprijsproblemen .[76] Ten slotte houdt de informatietheorie zich bezig met de hoeveelheid gegevens die op een bepaald medium kan worden opgeslagen, en dus met concepten als compressie en entropie .

Wiskundige logicaSet theorieCategorie theorieTheorie van berekening

Pure wiskunde

Nummerstelsels en getaltheorie

De studie van kwantiteit begint met getallen, eerst de bekende natuurlijke getallen en gehele getallen ("gehele getallen") en rekenkundige bewerkingen daarop, die in rekenkunde worden gekarakteriseerd . De diepere eigenschappen van gehele getallen worden bestudeerd in de getaltheorie , waaruit populaire resultaten komen als de laatste stelling van Fermat . Het tweelingprime vermoeden en het vermoeden van Goldbach zijn twee onopgeloste problemen in de getaltheorie.

Naarmate het getallensysteem verder wordt ontwikkeld, worden de gehele getallen herkend als een subset van de rationale getallen (" breuken "). Deze zijn op hun beurt vervat in de reële getallen , die worden gebruikt om limieten van reeksen van rationale getallen en continue hoeveelheden weer te geven. Reële getallen worden gegeneraliseerd naar de complexe getallen . Volgens de hoofdstelling van de algebra , alle polynome vergelijkingen in één onbekende complexe coëfficiënten een oplossing in de complexe getallen, ongeacht de graad van de polynoom. en zijn de eerste stappen van een hiërarchie van getallen die vervolgens wordt opgenomenquaternions en octonions . Beschouwing van de natuurlijke getallen leidt ook tot de transfiniete getallen , die het concept van " oneindigheid " formaliseren . Een ander studiegebied is de grootte van sets, die wordt beschreven met de hoofdtelwoorden . Deze omvatten de aleph-nummers , die een zinvolle vergelijking van de grootte van oneindig grote sets mogelijk maken.

Natuurlijke cijfersGehele getallenRationele nummersEchte getallenComplexe getallenOneindige kardinalen

Structuur

Veel wiskundige objecten, zoals sets met getallen en functies , vertonen een interne structuur als gevolg van bewerkingen of relaties die op de set zijn gedefinieerd. Wiskunde bestudeert vervolgens eigenschappen van die verzamelingen die kunnen worden uitgedrukt in termen van die structuur; de getaltheorie bestudeert bijvoorbeeld eigenschappen van de verzameling gehele getallen die kunnen worden uitgedrukt in termen van rekenkundige bewerkingen. Bovendien komt het regelmatig voor dat dergelijke verschillende gestructureerde sets (of structuren ) vertonen vergelijkbare eigenschappen, die het mogelijk maakt, door een verdere stap van abstractie , state axiomavoor een klasse van structuren, en bestudeer dan onmiddellijk de hele klasse van structuren die aan deze axioma's voldoen. Zo kan men groepen , ringen , velden en andere abstracte systemen bestuderen ; samen vormen dergelijke studies (voor structuren gedefinieerd door algebraïsche operaties) het domein van abstracte algebra .

Door zijn grote algemeenheid kan abstracte algebra vaak worden toegepast op schijnbaar ongerelateerde problemen; Zo werden een aantal oude problemen met betrekking tot passer- en passerconstructies uiteindelijk opgelost met behulp van de Galois-theorie , die veldtheorie en groepentheorie omvat. Een ander voorbeeld van een algebraïsche theorie is lineaire algebra , de algemene studie van vectorruimten , waarvan de elementen die vectoren worden genoemd zowel kwantiteit als richting hebben, en kunnen worden gebruikt om (relaties tussen) punten in de ruimte te modelleren. Dit is een voorbeeld van het fenomeen dat de oorspronkelijk niet-gerelateerde gebieden van meetkunde en algebra zeer sterke interacties hebben in de moderne wiskunde.Combinatoriek bestudeert manieren om het aantal objecten op te sommen dat in een bepaalde structuur past.

CombinatoriekNummer theorieGroepstheorieGrafiek theorieBestel theorieAlgebra

Ruimte

De studie van de ruimte vindt zijn oorsprong in de meetkunde - in het bijzonder de Euclidische meetkunde , die ruimte en getallen combineert, en de bekende stelling van Pythagoras omvat . Goniometrie is de tak van de wiskunde die zich bezighoudt met relaties tussen de zijden en de hoeken van driehoeken en met de goniometrische functies. De moderne studie van de ruimte generaliseert deze ideeën om hoger-dimensionale meetkunde, niet-Euclidische meetkunde (die een centrale rol spelen in de algemene relativiteitstheorie ) en topologie te omvatten . Hoeveelheid en ruimte spelen beide een rol in analytische geometrie , differentiële geometrie enalgebraïsche meetkunde . Convexe en discrete geometrie zijn ontwikkeld om problemen in de getaltheorie en functionele analyse op te lossen, maar worden nu nagestreefd met het oog op toepassingen in optimalisatie en informatica . Binnen differentiële geometrie vallen de concepten van vezelbundels en calculus op spruitstukken , in het bijzonder vector- en tensorcalculus . Binnen de algebraïsche meetkunde is de beschrijving van geometrische objecten als oplossingsreeksen van polynoomvergelijkingen , waarbij de begrippen kwantiteit en ruimte worden gecombineerd, en ook de studie vantopologische groepen , die structuur en ruimte combineren. Leugroepen worden gebruikt om ruimte, structuur en verandering te bestuderen. Topologie in al zijn vele vertakkingen was misschien wel het grootste groeigebied in de wiskunde van de 20e eeuw; het omvat point-set topologie , set-theoretische topologie , algebraïsche topologie en differentiële topologie . Voorbeelden van moderne topologie zijn de metriseerbaarheidstheorie , axiomatische verzamelingenleer , homotopietheorie en morse-theorie . Topologie omvat ook het nu opgeloste vermoeden van Poincaré, en de nog onopgeloste gebieden van het vermoeden van Hodge . Andere resultaten in geometrie en topologie, waaronder de vierkleurenstelling en het vermoeden van Kepler , zijn alleen bewezen met behulp van computers.

GeometrieTrigonometrieDifferentiële geometrieTopologieFractale geometrieMeet theorie

Verandering

Het begrijpen en beschrijven van verandering is een veel voorkomend thema in de natuurwetenschappen , en calculus is ontwikkeld als hulpmiddel om deze te onderzoeken. Functies ontstaan ​​hier als een centraal concept dat een veranderende grootheid beschrijft. De rigoureuze studie van reële getallen en functies van een reële variabele staat bekend als reële analyse , met complexe analyse het equivalente veld voor de complexe getallen . Functionele analyse vestigt de aandacht op (typisch oneindig dimensionale) ruimtes van functies. Een van de vele toepassingen van functionele analyse is de kwantummechanicaVeel problemen leiden op natuurlijke wijze tot relaties tussen een grootheid en de mate van verandering, en deze worden bestudeerd als differentiaalvergelijkingen . Veel natuurverschijnselen kunnen worden beschreven door dynamische systemen ; chaostheorie maakt nauwkeurig de manieren waarop veel van deze systemen onvoorspelbaar maar nog steeds deterministisch gedrag vertonen.

CalculusVector calculusDifferentiaalvergelijkingenDynamische systemenChaos theorieComplexe analyse

Toegepaste wiskunde

Toegepaste wiskunde houdt zich bezig met wiskundige methoden die doorgaans worden gebruikt in de wetenschap , techniek , het bedrijfsleven en de industrie . Dus "toegepaste wiskunde" is een wiskundige wetenschap met gespecialiseerde kennis . De term toegepaste wiskunde beschrijft ook het vakgebied waarin wiskundigen aan praktische problemen werken; Als beroep gericht op praktische problemen, concentreert toegepaste wiskunde zich op het "formuleren, bestuderen en gebruiken van wiskundige modellen" in wetenschap, techniek en andere gebieden van de wiskundige praktijk.

In het verleden hebben praktische toepassingen de ontwikkeling van wiskundige theorieën gemotiveerd, die vervolgens het onderwerp van studie werden in de zuivere wiskunde, waar wiskunde voornamelijk op zichzelf wordt ontwikkeld. De activiteit van toegepaste wiskunde is dus essentieel verbonden met onderzoek in zuivere wiskunde .

Statistiek en andere beslissingswetenschappen

Toegepaste wiskunde heeft een aanzienlijke overlap met de discipline van de statistiek, waarvan de theorie wiskundig is geformuleerd, vooral met de kansrekening . Statistici (die werken als onderdeel van een onderzoeksproject) "creëren gegevens die zinvol zijn" met willekeurige steekproeven en met gerandomiseerde experimenten ; [77] Het ontwerp van een statistische steekproef of experiment specificeert de analyse van de gegevens (voordat de gegevens beschikbaar komen). Bij de toetsing experimentele gegevens monsters en het analyseren van gegevens uit waarnemingsstudies , statistici "zinvol de gegevens" met de kunst van het modelleren en de theorie van gevolgtrekking -met modelselectieen schatting ; de geschatte modellen en de daaruit voortvloeiende voorspellingen moeten worden getest op nieuwe gegevens . [e]

Statistische theorie bestudeert beslissingsproblemen zoals het minimaliseren van het risico ( verwacht verlies ) van een statistische handeling, zoals het gebruik van een procedure bij bijvoorbeeld parameterschatting , hypothesetesten en het selecteren van de beste . In deze traditionele gebieden van wiskundige statistiek wordt een statistisch beslissingsprobleem geformuleerd door een objectieve functie , zoals verwacht verlies of kosten , onder specifieke beperkingen te minimaliseren: het ontwerpen van een enquête omvat bijvoorbeeld vaak het minimaliseren van de kosten voor het schatten van een populatiegemiddelde met een gegeven niveau van vertrouwen. [78]Vanwege het gebruik van optimalisatie , deelt de wiskundige theorie van statistiek zorgen met andere beslissingswetenschappen , zoals operationeel onderzoek , controletheorie en wiskundige economie . [79]

Computationele wiskunde

Computationele wiskunde stelt methoden voor en bestudeert methoden voor het oplossen van wiskundige problemen die doorgaans te groot zijn voor de menselijke numerieke capaciteit. Numerieke analyse bestudeert methoden voor analyseproblemen met behulp van functionele analyse en benaderingstheorie ; numerieke analyse omvat de studie van benadering en discretisering in het algemeen met speciale aandacht voor afrondingsfouten . Numerieke analyse en, breder, wetenschappelijk computergebruik, bestuderen ook niet-analytische onderwerpen van de wiskundige wetenschap, met name algoritmische matrix- en grafentheorieAndere gebieden van computationele wiskunde zijn computeralgebra en symbolische berekening .

Spel theorieVloeiende dynamiekNumerieke analyseOptimalisatieWaarschijnlijkheids theorieStatistiekenCryptografie
Wiskundige financiënWiskundige fysicaWiskundige chemieWiskundige biologieWiskundige economieControle theorie

Wiskundige onderscheidingen

De meest prestigieuze onderscheiding in de wiskunde is ongetwijfeld de Fields-medaille , [80] [81] die in 1936 werd ingesteld en om de vier jaar (behalve rond de Tweede Wereldoorlog) aan maar liefst vier personen wordt uitgereikt. De Fields-medaille wordt vaak beschouwd als een wiskundig equivalent van de Nobelprijs.

De Wolf Prize in Mathematics , ingesteld in 1978, erkent 'lifetime achievements', en een andere grote internationale onderscheiding, de Abel Prize , werd ingesteld in 2003. De Chern Medal werd in 2010 geïntroduceerd ter ere van 'lifetime achievements'. Deze onderscheidingen worden toegekend als erkenning voor een bepaald oeuvre, dat innovatief kan zijn of een oplossing kan bieden voor een openstaand probleem in een gevestigd vakgebied.

Een beroemde lijst van 23 open problemen , " Hilbert's problemen " genaamd , werd in 1900 samengesteld door de Duitse wiskundige David Hilbert . Deze lijst verwierf grote bekendheid onder wiskundigen, en nu zijn minstens negen van de problemen opgelost. Een nieuwe lijst van zeven belangrijke problemen, getiteld de " Millenniumprijsproblemen ", werd in 2000 gepubliceerd. Slechts één ervan, de Riemann-hypothese , is een duplicaat van een van Hilberts problemen. Een oplossing voor al deze problemen heeft een beloning van 1 miljoen dollar. Momenteel is slechts een van deze problemen, het vermoeden van Poincaré , opgelost.

Zie ook

  • Internationale Wiskunde Olympiade
  • Lijsten met wiskundeonderwerpen
  • Wiskundige wetenschappen
  • Wiskunde en kunst
  • Wiskunde-onderwijs
  • Nationaal museum voor wiskunde
  • Filosofie van de wiskunde
  • Verband tussen wiskunde en natuurkunde
  • Wetenschap, technologie, techniek en wiskunde

Opmerkingen

  1. Daarom hangt de weergave van Euclides in kunstwerken af ​​van de verbeeldingskracht van de kunstenaar (zie Euclides ).
  2. Net als onderzoeksfysici en computerwetenschappers zijn onderzoeksstatistici wiskundige wetenschappers. Veel statistici hebben een graad in wiskunde, en sommige statistici zijn ook wiskundigen.

Referenties

  1. Oxford Engels woordenboek . Oxford Universiteit krant. 2012. Gearchiveerd van het origineel op 16 november 2019 . Ontvangen 16 juni 2012 . De wetenschap van ruimte, getal, hoeveelheid en rangschikking, waarvan de methoden logisch redeneren en meestal het gebruik van symbolische notatie omvatten, en die meetkunde, rekenen, algebra en analyse omvat.
  2. Wiskundige logica en de grondslagen van de wiskunde: een inleidend overzicht . Dover. p. 4 . ISBN 978-0-486-41712-7Wiskunde ... is gewoon de studie van abstracte structuren, of formele patronen van verbondenheid.
  3. Kenelly, John W .; Biggers, Sherry S .; Carpenter, Laurel R .; Reed, Iris B .; Harris, Cynthia R. (2011). Calculus Concepts: een informele benadering van de wiskunde van verandering . Cengage leren. p. 2 . ISBN 978-1-4390-4957-0Calculus is de studie van verandering - hoe dingen veranderen en hoe snel ze veranderen.
  4. Toegepaste wiskunde . Tata McGraw – Hill Education. p. 2.10 . ISBN 978-0-07-066753-2De wiskundige studie van verandering, beweging, groei of verval is calculus.
  5. "Wat is wiskunde?". Een uitnodiging voor wiskunde: van wedstrijden tot onderzoek . Springer. p. vii . ISBN 978-3-642-19532-7
  6. "Afbeeldingen van wiskunde gehouden door universitaire docenten van wiskundige wetenschappen". Educatieve studies in de wiskunde . 25 (4): 375-85. doi : 10.1007 / BF01273907 . JSTOR 3482762 . S2CID 122351146 .  
  7. Iris Runge: A Life op het kruispunt van wiskunde, wetenschap en industrie . Springer. p. 9 . ISBN 978-3-0348-0229-1[I] t is eerst nodig om te vragen wat wordt bedoeld met wiskunde in het algemeen. Illustere geleerden hebben over deze kwestie gedebatteerd totdat ze blauw in het gezicht waren, en toch is er geen consensus bereikt over de vraag of wiskunde een natuurwetenschap is, een tak van de geesteswetenschappen of een kunstvorm.
  8. The Science of Patterns Science , 240: 611–16. En samengevat op Association for Supervision and Curriculum Development Archived 28 October 2010, at the Wayback Machine , www.ascd.org.
  9.  
  10. "Eudoxus 'invloed op Euclides' elementen met een nadere blik op The Method of Exhaustion" . jwilson.coe.uga.edu . Gearchiveerd van het origineel op 1 juni 2019 . Opgehaald op 26 oktober 2019 .
  11. 306.
  12. 12.
  13. ​‘De onredelijke effectiviteit van wiskunde in de natuurwetenschappen’ . Communicatie over zuivere en toegepaste wiskunde . 13 (1): 1-14. Bibcode : 1960CPAM ... 13 .... 1W . doi : 10.1002 / cpa.3160130102 . Gearchiveerd van het origineel op 28 februari 2011.
  14. Dehaene-Lambertz, Ghislaine; Cohen, Laurent (augustus 1998). ‘Abstracte voorstellingen van getallen in de dierlijke en menselijke hersenen’. Trends in neurowetenschappen . 21 (8): 355-61. doi : 10.1016 / S0166-2236 (98) 01263-6 . PMID 9720604 . S2CID 17414557 .  
  15. een elementaire studie , passim
  16. (1999). Africa Counts: Number and Pattern in African Culture . Chicago recensie Press. ISBN 978-1-61374-115-3OCLC  843204342 . Gearchiveerd van het origineel op 31 maart 2021 . Opgehaald op 29 mei 2020 .
  17. www.storyofmathematics.com . Gearchiveerd van het origineel op 16 september 2018 . Opgehaald op 27 oktober 2019 .
  18. www.storyofmathematics.com . Gearchiveerd van het origineel op 7 september 2019 . Opgehaald op 27 oktober 2019 .
  19. Een geschiedenis van de Griekse wiskunde: van Thales tot Euclides . New York: Dover Publications. p. 1 . ISBN 978-0-486-24073-2
  20. 119.
  21. 120.
  22. 130.
  23. 145.
  24. 162
  25. 180.
  26. www.storyofmathematics.com . Gearchiveerd van het origineel op 13 april 2019 . Opgehaald op 27 oktober 2019 .
  27. www.storyofmathematics.com . Gearchiveerd van het origineel op 17 oktober 2019 . Opgehaald op 27 oktober 2019 .
  28. (1994). Een geschiedenis van de Arabische astronomie: planetaire theorieën tijdens de gouden eeuw van de islam . New York University Press. ISBN 978-0-8147-7962-0OCLC  28723059 . Gearchiveerd van het origineel op 31 maart 2021 . Opgehaald op 29 mei 2020 .
  29. www.storyofmathematics.com . Gearchiveerd van het origineel op 16 september 2018 . Opgehaald op 27 oktober 2019 .
  30. www.storyofmathematics.com . Gearchiveerd van het origineel op 2 mei 2019 . Opgehaald op 27 oktober 2019 .
  31. www.storyofmathematics.com . Gearchiveerd van het origineel op 25 juli 2019 . Opgehaald op 27 oktober 2019 .
  32. Het verhaal van de wiskunde . Gearchiveerd van het origineel op 16 september 2018 . Opgehaald op 27 oktober 2019 .
  33. Online Etymology Dictionary . Gearchiveerd van het origineel op 7 maart 2013.
  34. ​Aristoteles deed het en gaf er commentaar op. μαθηματική . Liddell, Henry George ; Scott, Robert ; Een Grieks-Engels Lexicon bij het Perseus-project . OED Online , "Wiskunde".
  35. www.storyofmathematics.com . Gearchiveerd van het origineel op 17 september 2018 . Opgehaald op 27 oktober 2019 .
  36. "Wat Augustinus niet zei over wiskundigen" . Lion jacht en andere Wiskundige Achtervolgingen: een verzameling van de wiskunde, Vers, en verhalen door de Late Ralph P. Boas, Jr . Cambridge University Press. p. 257. ISBN 978-0-88385-323-8Gearchiveerd van het origineel op 20 mei 2020 . Opgehaald op 17 januari 2018 .
  37. Oxford English Dictionary, online versie (2012).
  38. Filosofie van de wiskunde . blz. 104-106. ISBN 978-0-08-093058-9Gearchiveerd van het origineel op 6 september 2015 . Opgehaald op 1 juli 2020 .
  39. Een geschiedenis van de wiskunde . American Mathematical Society (herdruk van 1991). blz.  285-86 . ISBN 978-0-8218-2102-2
  40. ‘De drie crises in de wiskunde: logica, intuïtionisme en formalisme’. Wiskunde Magazine . 52 (4): 207-16. doi : 10.2307 / 2689412 . JSTOR 2689412 . 
  41. Lineaire associatieve algebra . Van Nostrand. p. 1 .
  42. De principes van de wiskunde . p. 5 . Ontvangen op 20 juni 2015 .
  43. Zalta, Edward N. (red.). Intuïtionisme in de filosofie van de wiskunde . Metafysica Research Lab, Stanford University. Gearchiveerd van het origineel op 31 maart 2021 . Opgehaald op 4 maart 2021 - via Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  44. Schetsen van een formalistische filosofie van de wiskunde . Elsevier. p. 56 . ISBN 978-0-444-53368-5
  45. 79.
  46. "Nicolas Bourbaki" . Een korte geschiedenis van de wiskunde . Gebeurtenis vindt plaats op min. 12:50. BBC Radio 4. Gearchiveerd van het origineel op 16 december 2016 . Opgehaald op 26 oktober 2017 .
  47. 56.
  48. De logica van wetenschappelijke ontdekking . Abingdon-on-Thames: Routledge. p. [18]. ISBN 978-0-415-27843-0
  49. "Milieuactiviteiten en wiskundige cultuur" . Wiskundige enculturatie: een cultureel perspectief op wiskundeonderwijs . Norwell, Massachusetts: Kluwer Academic Publishers. pp. 20-59. ISBN 978-0-792-31270-3Gearchiveerd van het origineel op 25 december 2020 . Opgehaald op 5 april 2020 .
  50. Lazere, Cathy A. (1998). Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists . Springer. p. 228.
  51. "Het probleem van afbakening". Philosophy of Pseudoscience: heroverweging van het demarcatieprobleem . Chicago: The University of Chicago Press. p. 104.
  52. "Zijn er 'andere' manieren om te weten?" Filosofie nu . Gearchiveerd van het origineel op 13 mei 2020 . Opgehaald op 6 april 2020 .
  53. undsci.berkeley.edu . Gearchiveerd van het origineel op 27 oktober 2019 . Opgehaald op 27 oktober 2019 .
  54. "Wiskunde: kunst en wetenschap" . EMS Nieuwsbrief . 3 (103): 37-45. doi : 10.4171 / nieuws / 103/8 . ISSN 1027-488X . 
  55. ‘De Feynman Integral en Feynman's Operationele Calculus’. Physics Today . 54 (8): 48. Bibcode : 2001PhT .... 54h..48J . doi : 10.1063 / 1.1404851 .
  56. De toepasbaarheid van wiskunde als filosofisch probleem . Cambridge, Massa: Harvard University Press. p. 176. ISBN 0674043987
  57. Wiskunde en realiteit . Oxford Universiteit krant. p. 239. ISBN 0199280797
  58. Gearchiveerd (pdf) van het origineel op 14 mei 2011 . Ontvangen 9 november 2010 .
  59. De verontschuldiging van een wiskundige . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-42706-7
  60. Simons, Rogers A. (2008). Bewijs en andere dilemma's: wiskunde en filosofie . MAA.
  61. Gearchiveerd van het origineel op 20 februari 2016 . Ontvangen 14 september 2014 .
  62. 140, op Diophantus ; p. 261, op Vieta .
  63. 16: "Gerichte probleemoplossing in wiskunde en wetenschappen is vaak moeilijker dan denken in de gefocuste modus waarbij taal en mensen betrokken zijn. Dit kan zijn omdat mensen in de loop van de millennia niet zijn geëvolueerd om wiskundige ideeën te manipuleren, die vaak abstracter gecodeerd zijn dan die van conventionele taal. "
  64. 16: "Wat bedoel ik met abstractheid? Je kunt wijzen naar een echte levende koe die herkauwt in een weiland en het gelijkstellen aan de letters c-o-w op de pagina. Maar je kunt niet verwijzen naar een echt levend pluspunt. teken dat het symbool '+' is gemodelleerd naar - het idee dat ten grondslag ligt aan het plusteken is abstracter . "
  65. 16: "Met versleuteling bedoel ik dat één symbool kan staan ​​voor een aantal verschillende bewerkingen of ideeën, net zoals het vermenigvuldigingsteken herhaald optellen symboliseert."
  66. p. 4 "Enkelen klagen dat het computerprogramma niet correct kan worden geverifieerd", (verwijzend naar het Haken-Apple-bewijs van de vierkleurenstelling). 
  67. Bertrand Russell (1919), Inleiding tot wiskundige filosofie , New York en Londen, p. 71. Gearchiveerd op 20 juni 2015 bij de Wayback Machine
  68. p. 1: "Onder de vele takken van de moderne wiskunde neemt de verzamelingenleer een unieke plaats in: op een paar zeldzame uitzonderingen na kunnen de entiteiten die in de wiskunde worden bestudeerd en geanalyseerd, worden beschouwd als bepaalde specifieke verzamelingen of klassen van objecten." 
  69. Harper, Robert; Immerman, Neil; Kolaitis, Phokion; Vardi, Moshe; Vianu, Victor (2001). "Over de ongebruikelijke effectiviteit van logica in computerwetenschappen" (pdf) . Opgehaald op 15 januari 2021 .
  70. ISBN 978-981-02-3111-8 
  71. "Voorwoord". In Arthanari, TS; Ontwijken, Yadolah (red.). Wiskundig programmeren in statistieken . Wiley Series in kansrekening en wiskundige statistiek. New York: Wiley. blz. vii-viii. ISBN 978-0-471-08073-2MR  0607328 .
  72. "Bijna thuis" . In Kelly, FP (red.). Waarschijnlijkheid, statistiek en optimalisatie: A Tribute to Peter Whittle (voorheen "Een gerealiseerd pad: The Cambridge Statistical Laboratory tot 1993 (herzien 2002)" red.). Chichester: John Wiley. pp. 1-28. ISBN 978-0-471-94829-2Gearchiveerd van het origineel op 19 december 2013.
  73. 1: "De Fields-medaille is nu onbetwistbaar de bekendste en meest invloedrijke onderscheiding in de wiskunde."

Bibliografie

  • Boyer, CB (1991). Een geschiedenis van de wiskunde (2e ed.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8
  • Eves, Howard (1990). Een inleiding tot de geschiedenis van de wiskunde (6e ed.). Saunders. ISBN 978-0-03-029558-4
  • Kline, Morris (1990). Wiskundig denken van de oudheid tot de moderne tijd (Paperback red.). New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-506135-2
  • Monastyrsky, Michael (2001). "Enkele trends in de moderne wiskunde en de Fields-medaille" (pdf) . CMS - OPMERKINGEN - de la SMC . Canadese Mathematical Society. 33 (2-3). Gearchiveerd (pdf) van het origineel op 13 augustus 2006 . Ontvangen 28 juli 2006 .
  • Oakley, Barbara (2014). Een geest voor getallen: hoe u kunt uitblinken in wiskunde en wetenschap (zelfs als u algebra heeft gefaald) . New York: Penguin Random House. ISBN 978-0-399-16524-5Een geest voor cijfers.
  • Peirce, Benjamin (1881). Peirce, Charles Sanders (red.). "Lineaire associatieve algebra" . American Journal of Mathematics (gecorrigeerde, uitgebreide en geannoteerde herziening met een artikel uit 1875 van B. Peirce en aantekeningen van zijn zoon, CS Peirce, van de lithografie uit 1872, ed.). 4 (1-4): 97-229. doi : 10,2307 / 2369153 . hdl : 2027 / hvd.32044030622997 . JSTOR  2369153 . Gecorrigeerde, uitgebreide en geannoteerde revisie met een paper uit 1875 van B. Peirce en annotaties van zijn zoon, C. S. Peirce, van de lithografie uit 1872. Google Eprint en als uittreksel, D. Van Nostrand, 1882,Google Eprint . Gearchiveerd van het origineel op 31 maart 2021 . Opgehaald op 17 november 2020 .
  • Peterson, Ivars (2001). Wiskundige toerist, nieuwe en bijgewerkte momentopnames van moderne wiskunde . Uil boeken. ISBN 978-0-8050-7159-7
  • Popper, Karl R. (1995). "Over kennis". Op zoek naar een betere wereld: lezingen en essays uit dertig jaar . New York: Routledge. Bibcode : 1992sbwl.book ..... P . ISBN 978-0-415-13548-1
  • Riehm, Carl (augustus 2002). "De vroege geschiedenis van de Fields-medaille" (pdf) . Mededelingen van de AMS . 49 (7): 778-72. Gearchiveerd (pdf) van het origineel op 26 oktober 2006 . Ontvangen 2 oktober 2006 .
  • Sevryuk, Mikhail B. (januari 2006). "Boekbesprekingen" (pdf) . Bulletin van de American Mathematical Society . 43 (1): 101-09. doi : 10.1090 / S0273-0979-05-01069-4 . Gearchiveerd (pdf) van het origineel op 23 juli 2006 . Ontvangen 24 juni 2006 .
  • Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1965) [eerst gepubliceerd in 1856]. Gauss naar Gedächtniss . Sändig Herdruk Verlag HR Wohlwend. ISBN 978-3-253-01702-5

Verder lezen

Bij Wikiversity kun je meer leren
en anderen lesgeven over wiskunde aan de School of Mathematics .
  • Wiskunde aan de Encyclopædia Britannica
  • Benson, Donald C. (2000). The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies . Oxford Universiteit krant. ISBN 978-0-19-513919-8
  • Davis, Philip J .; Hersh, Reuben (1999). The Mathematical Experience (herdruk red.). Mariner Books. ISBN 978-0-395-92968-1
  • Courant, Richard ; Robbins, Herbert (1996). Wat is wiskunde?: Een elementaire benadering van ideeën en methoden (2e ed.). New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-510519-3
  • Einstein, Albert (1923). Stadslichten op relativiteitstheorie: I. Ether en relativiteitstheorie. II. Geometrie en ervaring (vertaald door GB Jeffery, D.Sc., en W. Perrett, Ph.D) . EP Dutton & Co., New York. Gearchiveerd van het origineel op 25 juli 2014 . Ontvangen 23 september 2012 .
  • Gullberg, Jan (1997). Wiskunde: vanaf de geboorte van getallen (1st ed.). WW Norton & Company. ISBN 978-0-393-04002-9
  • Hazewinkel, Michiel, uitg. (2000). Encyclopedie van de wiskunde . Kluwer Academic Publishers. - Een vertaalde en uitgebreide versie van een Sovjet-wiskunde-encyclopedie, in tien delen. Ook in paperback en op cd-rom, en online. Gearchiveerd 3 juli 2011, bij de Wayback Machine .
  • Jourdain, Philip EB (2003). "De aard van wiskunde". In James R. Newman (red.). De wereld van de wiskunde . Dover Publications. ISBN 978-0-486-43268-7
  • Maier, Annaliese (1982). Steven Sargent (red.). At the Threshold of Exact Science: Selected Writings of Annaliese Maier on Late Medieval Natural Philosophy . Philadelphia: University of Pennsylvania Press.
  • Pappas, Theoni (juni 1989). The Joy Of Mathematics (herziene red.). Wide World Publishing. ISBN 978-0-933174-65-8