Denkbeeldige eenheid

Het denkbeeldige getal i wordt uitsluitend gedefinieerd door de eigenschap dat het kwadraat −1 is:

${\ displaystyle i ^ {2} = - 1 ~.}$

Met i op deze manier gedefinieerd, volgt direct uit de algebra dat i en - i beide vierkantswortels zijn van −1.

Hoewel de constructie "imaginair" wordt genoemd, en hoewel het concept van een imaginair getal intuïtief moeilijker te begrijpen is dan dat van een reëel getal, is de constructie volkomen geldig vanuit een wiskundig standpunt. Werkelijke getalbewerkingen kunnen worden uitgebreid tot imaginaire en complexe getallen, door i te behandelen als een onbekende grootheid terwijl een uitdrukking wordt gemanipuleerd (en de definitie te gebruiken om elk voorkomen van i ² te vervangen door −1). Hogere integrale machten van i kunnen ook worden vervangen door - i , 1, i of -1:

${\ displaystyle i ^ {3} = i ^ {2} i = (- 1) i = -i}$

${\ displaystyle i ^ {4} = i ^ {3} i = (- i) i = - (i ^ {2}) = - (- 1) = 1}$ of, equivalent, ${\ displaystyle i ^ {4} = (i ^ {2}) (i ^ {2}) = (- 1) (- 1) = 1}$

${\ displaystyle i ^ {5} = i ^ {4} i = (1) i = i}$

Evenzo, zoals bij elk niet-nul reëel getal:

${\ displaystyle i ^ {0} = i ^ {1-1} = i ^ {1} i ^ {- 1} = i ^ {1} {\ frac {1} {i}} = i {\ frac { 1} {i}} = {\ frac {i} {i}} = 1}$

Als een complex getal wordt i in rechthoekige vorm weergegeven als 0 + 1 i , met een reële component nul en een imaginaire eenheidscomponent. In polaire vorm wordt i weergegeven als 1⋅ e ^{iπ / 2} (of alleen e ^{iπ / 2} ), met een absolute waarde (of grootte) van 1 en een argument (of hoek) van π / 2 . In het complexe vlak (ook bekend als het Argand-vlak), wat een speciale interpretatie is van een Cartesiaans vlak , is i het punt dat zich één eenheid van de oorsprong bevindt langs de denkbeeldige as (die loodrecht staat op de reële as ).

Waarbij een kwadratische polynoom zonder meervoudige wortel , de definiërende vergelijking x ² = -1 heeft twee verschillende oplossingen, die dezelfde waarde hebben en die zich bevinden additieve en multiplicatieve inversen van elkaar. Zodra een oplossing i van de vergelijking is vastgesteld, is de waarde - i , die verschilt van i , ook een oplossing. Aangezien de vergelijking de enige definitie is van i , lijkt het erop dat de definitie dubbelzinnig is (meer precies, niet goed gedefinieerd ). Er zal echter geen dubbelzinnigheid ontstaan ​​zolang een van de oplossingen wordt gekozen en gelabeld als " i ", terwijl de andere wordt gelabeld als - i . ^[3] Immers, hoewel - i en + i niet kwantitatief equivalent zijn (ze zijn negatieven van elkaar), is er geen algebraïsch verschil tussen + i en - i , aangezien beide imaginaire getallen evenveel aanspraak kunnen maken op het getal waarvan het kwadraat is -1.

In feite, als alle wiskundige leerboeken en gepubliceerde literatuur die verwijzen naar denkbeeldige of complexe getallen zouden worden herschreven met - i vervangt elke keer dat + i voorkomt (en daarom elke keer dat - i wordt vervangen door - (- i ) = + i ), alle feiten en stellingen zouden geldig blijven. Het onderscheid tussen de twee wortels x van x ² + 1 = 0 , waarvan er één is gelabeld met een minteken, is puur een notationeel relikwie; van geen van beide wortels kan worden gezegd dat deze meer primair of fundamenteel is dan de andere, en geen van beide is "positief" of "negatief". ^[4]

Het probleem kan subtiel zijn: de meest precieze verklaring is dat hoewel het complexe veld , gedefinieerd als ℝ [ x ] / ( x ² + 1) (zie complex getal ), uniek is tot isomorfisme , het niet uniek is tot een uniek isomorfisme: er zijn precies twee veldautomorfismen van ℝ [ x ] / ( x ² + 1) die elk reëel getal vast houden: de identiteit en het automorfisme dat x naar - x verzendt . Zie voor meer informatie complexe geconjugeerde en Galois-groep .

Matrices

( x , y ) wordt begrensd door hyperbool xy = –1 voor een denkbeeldige eenheidsmatrix.

Een soortgelijk probleem doet zich voor als de complexe getallen worden geïnterpreteerd als 2 × 2 reële matrices (zie matrixweergave van complexe getallen ), omdat dan beide

${\ displaystyle X = {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \; \; 0 \ end {pmatrix}}}$     en     ${\ displaystyle X = {\ begin {pmatrix} \; \; 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$

zouden oplossingen zijn voor de matrixvergelijking

${\ displaystyle X ^ {2} = - I = - {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -1 & \; \; 0 \\\; \; 0 & -1 \ end {pmatrix}}.}$

In dit geval is de dubbelzinnigheid het resultaat van de geometrische keuze van welke "richting" rond de eenheidscirkel "positieve" rotatie is. Een meer precieze verklaring is te zeggen dat de automorfismegroep van de speciale orthogonale groep SO (2, ℝ ) precies twee elementen heeft: de identiteit en het automorfisme die 'CW' (met de klok mee) en 'CCW' (tegen de klok in) rotaties uitwisselen . Zie orthogonale groep voor meer informatie .

Al deze ambiguïteit kan worden opgelost door een meer strikte definitie van complex getal , en door expliciet kiezen van één van de oplossingen voor de vergelijking met de imaginaire eenheid. Bijvoorbeeld het geordende paar (0, 1), in de gebruikelijke constructie van de complexe getallen met tweedimensionale vectoren.

Beschouw de matrixvergelijking ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} z ​​& x \\ y & -z \ end {pmatrix}} ^ {2} \! \! = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}. }$Hier is z ² + xy = –1 , dus het product xy is negatief omdat xy = - (1 + z ² ) , dus het punt ( x , y ) ligt in kwadrant II of IV. Verder

${\ displaystyle z ^ {2} = - (1 + xy) \ geq 0 \ impliceert xy \ leq -1}$

dus ( x , y ) wordt begrensd door de hyperbool xy = –1 .

De denkbeeldige eenheid wordt soms √ −1  geschreven in geavanceerde wiskundige contexten ^[3] (evenals in minder geavanceerde populaire teksten). Er moet echter grote voorzichtigheid worden betracht bij het manipuleren van formules waarbij radicalen betrokken zijn . De radicale tekennotatie is gereserveerd ofwel voor de hoofdvierkantswortelfunctie, die alleen gedefinieerd is voor reële x ≥ 0 , ofwel voor de hoofdtak van de complexe vierkantswortelfunctie. Pogingen om de rekenregels van de belangrijkste (reële) vierkantswortelfunctie toe te passen om de hoofdtak van de complexe vierkantswortelfunctie te manipuleren, kunnen valse resultaten opleveren: ^[5]

${\ displaystyle -1 = i \ cdot i = {\ sqrt {-1 \,}} \ cdot {\ sqrt {-1 \,}} = {\ sqrt {(-1) \ cdot (-1) \, }} = {\ sqrt {1 \,}} = 1 \ qquad (onjuist).}$

Evenzo:

${\ displaystyle {\ frac {1} {\, i \,}} = {\ frac {\ sqrt {1 \,}} {\, {\ sqrt {-1 \,}} \;}} = {\ sqrt {{\ frac {1} {\, - 1 \;}} \,}} = {\ sqrt {{\ frac {\, - 1 \;} {1}} \,}} = {\ sqrt { -1 \,}} = i \ qquad (onjuist).}$

De rekenregels

${\ displaystyle {\ sqrt {a \,}} \ cdot {\ sqrt {b \,}} = {\ sqrt {a \ cdot b \,}}}$

en

${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {a \,}} {\ sqrt {b \,}}} = {\ sqrt {{\ frac {\, a \,} {b}} \,}}}$

zijn alleen geldig voor reële, positieve waarden van a en b . ^{[6] [7] [8]}

Deze problemen kunnen worden vermeden door uitdrukkingen zoals i √ 7 te  schrijven en te manipuleren in plaats van √ −7  . Zie vierkantswortel en vertakkingspunt voor een meer grondige bespreking .

Wortels

De twee vierkantswortels van i in het complexe vlak

De drie kubuswortels van i in het complexe vlak

Net als alle complexe getallen die niet nul zijn, heeft i twee vierkantswortels: ze zijn ^[b]

${\ displaystyle \ pm \ left ({\ frac {\ sqrt {2 \,}} {2}} + {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} i \ right) = \ pm {\ frac { \ sqrt {2 \,}} {2}} (1 + i).}$

Het kwadrateren van beide uitdrukkingen levert inderdaad het volgende op:

${\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} \ left (\ pm {\ frac {\ sqrt {2 \,}} {2}} (1 + i) \ right) ^ {2} \ & = \ left (\ pm {\ frac {\ sqrt {2 \,}} {2}} \ right) ^ {2} (1 + i) ^ {2} \ \\ & = {\ frac {1} {2}} (1+ 2i + i ^ {2}) \\ & = {\ frac {1} {2}} (1 + 2i-1) \ \\ & = i ~. \, \\\ einde {uitgelijnd}}}$

Als we het radicaal teken gebruiken voor de hoofdwortel , krijgen we:

${\ displaystyle {\ sqrt {i \,}} = {\ frac {\ sqrt {2 \,}} {2}} (1 + i) ~.}$

Kubuswortels

De drie kubuswortels van i zijn:

${\ displaystyle -i,}$

${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3 \,}} {2}} + {\ frac {i} {2}} \ ,,}$ en

${\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {3 \,}} {2}} + {\ frac {i} {2}} ~.}$

Net als bij alle wortels van 1 , zijn alle wortels van i de hoekpunten van regelmatige polygonen , die zijn ingeschreven binnen de eenheidscirkel in het complexe vlak.

Vermenigvuldiging en deling

Het vermenigvuldigen van een complex getal met i geeft:

${\ displaystyle i \, (a + bi) = ai + bi ^ {2} = - b + ai ~.}$

(Dit komt overeen met een rotatie van 90 ° tegen de klok in van een vector rond de oorsprong in het complexe vlak.)

Delen door i is gelijk aan vermenigvuldigen met het omgekeerde van i :

${\ displaystyle {\ frac {1} {i}} = {\ frac {1} {i}} \ cdot {\ frac {i} {i}} = {\ frac {i} {i ^ {2}} } = {\ frac {i} {- 1}} = - i ~.}$

Het gebruik van deze identiteit om deling door i te generaliseren naar alle complexe getallen geeft:

${\ displaystyle {\ frac {a + bi} {i}} = - i \, (a + bi) = - ai-bi ^ {2} = b-ai ~.}$

(Dit komt overeen met een rotatie van 90 ° met de klok mee van een vector rond de oorsprong in het complexe vlak.)

Bevoegdheden

De machten van i herhalen in een cyclus die kan worden uitgedrukt met het volgende patroon, waarbij n een geheel getal is:

${\ displaystyle i ^ {4n} = 1}$

${\ displaystyle i ^ {4n + 1} = i}$

${\ displaystyle i ^ {4n + 2} = - 1}$

${\ displaystyle i ^ {4n + 3} = - i,}$

Dit leidt tot de conclusie dat

${\ displaystyle i ^ {n} = i ^ {(n {\ bmod {4}})}}$

waarbij mod de modulo-bewerking vertegenwoordigt . Equivalent:

${\ displaystyle i ^ {n} = \ cos (n \ pi / 2) + i \ sin (n \ pi / 2)}$

ik verhief tot de macht van i

Gebruikmakend van de formule van Euler , i ⁱ is

${\ displaystyle i ^ {i} = \ left (e ^ {i (\ pi / 2 + 2k \ pi)} \ right) ^ {i} = e ^ {i ^ {2} (\ pi / 2 + 2k \ pi)} = e ^ {- (\ pi / 2 + 2k \ pi)}}$

waar k ∈ ℤ , de verzameling gehele getallen .

De belangrijkste waarde (voor k = 0 ) is e ^{- π / 2} , of ongeveer 0,207879576. ^[10]

Factorial

De faculteit van de imaginaire eenheid i wordt meestal gegeven in termen van de gammafunctie geëvalueerd op 1 + i :

${\ displaystyle i! = \ Gamma (1 + i) \ ca. 0,4980-0,1549i ~.}$

Ook,

${\ displaystyle | i! | = {\ sqrt {{\ frac {\ pi} {\, \ sinh \ pi \,}} \,}}}$^[11]

Andere operaties

Veel wiskundige bewerkingen die met reële getallen kunnen worden uitgevoerd, kunnen ook met i worden uitgevoerd , zoals machtsverheffen, wortels, logaritmen en trigonometrische functies. Alle volgende functies zijn complexe functies met meerdere waarden , en er moet duidelijk worden vermeld op welke tak van het Riemann-oppervlak de functie in de praktijk is gedefinieerd. Hieronder staan ​​de resultaten voor de meest gekozen branche.

Een aantal verheven tot de ni- macht is:

${\ displaystyle x ^ {ni} = \ cos (n \ ln x) + i \ sin (n \ ln x) ~.}$

De ni ^th wortel van een nummer is:

${\ displaystyle {\ sqrt [{ni}] {x \,}} = \ cos \ left ({\ frac {\ ln x} {n}} \ right) -i \ sin \ left ({\ frac {\ ln x} {n}} \ rechts) ~.}$

De denkbeeldige logaritme van een getal is:

${\ displaystyle \ log _ {i} x = {\ frac {2 \ ln x} {i \ pi}} ~.}$

Zoals bij elke complexe logaritme , is de logbasis i niet uniek gedefinieerd.

De cosinus van i is een reëel getal:

${\ displaystyle \ cos i = \ cosh 1 = {\ frac {e + 1 / e} {2}} = {\ frac {e ^ {2} +1} {2e}} \ ca. 1,54308064 \ ldots}$

En de sinus van i is puur denkbeeldig:

${\ displaystyle \ sin i = i \ sinh 1 = {\ frac {e-1 / e} {2}} i = {\ frac {e ^ {2} -1} {2e}} i \ circa (1,17520119 \ ldots) i ~.}$

Zie Complex_number # History

• Euler's identiteit
• Wiskundige constante
• Veelvoud (wiskunde)
• Wortel van eenheid
• Eenheid complex getal

• Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: Het verhaal van i [de vierkantswortel van min één] . Chichester: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1 - via Archive.org.

• Euler, Leonhard . ‘Denkbeeldige wortels van veeltermen’ . Bij "Convergentie" . mathdl.maa.org . Mathematical Association of America. Gearchiveerd van het origineel op 13 juli 2007.