Schijf (wiskunde)

Van Wikipedia, de gratis encyclopedie
  (Omgeleid vanaf schijf (wiskunde) )
Spring naar navigatie Spring om te zoeken
Schijf met omtrek (C) in zwart, diameter (D) in cyaan, straal (R) in rood en midden (O) in magenta.

In de geometrie is een schijf (ook wel gespelde schijf ' ) [1] het gebied in een vlak dat wordt begrensd door een cirkel . Een schijf is gesloten als deze de cirkel bevat die de grens vormt, en open als dat niet het geval is. [2]

Formules [ bewerken ]

In cartesische coördinaten wordt de open schijf met middelpunt en straal R gegeven door de formule [1]

terwijl de gesloten schijf met hetzelfde middelpunt en dezelfde straal wordt gegeven door

Het gebied van een gesloten of open schijf met een straal R is π R 2 (zie cirkeloppervlak ). [3]

Eigenschappen [ bewerken ]

De schijf heeft cirkelsymmetrie . [4]

De open schijf en de gesloten schijf zijn niet topologisch equivalent (dat wil zeggen, ze zijn niet homeomorf ), omdat ze verschillende topologische eigenschappen van elkaar hebben. Elke gesloten schijf is bijvoorbeeld compact, terwijl niet elke open schijf compact is. [5] Maar vanuit het oogpunt van de algebraïsche topologie hebben ze veel eigenschappen gemeen: ze zijn allebei contracteerbaar [6] en dus is homotopie gelijk aan een enkel punt. Dit houdt in dat hun fundamentaalgroepen zijn triviaal en alle homologiegroepen triviaal behalve 0 is, die isomorf is met Z . Het Euler-kenmerkvan een punt (en dus ook dat van een gesloten of open schijf) is 1. [7]

Elke continue kaart van de gesloten schijf naar zichzelf heeft minstens één vast punt (we hebben niet nodig dat de kaart bijectief of zelfs surjectief is ); dit is het geval n = 2 van de Brouwer fixed point theorema . [8] De bewering is false voor de open schijf: [9]

Beschouw bijvoorbeeld de functie die elk punt van de open eenheidsschijf toewijst aan een ander punt op de open eenheidsschijf rechts van de gegeven schijf. Maar voor de gesloten eenheidsschijf fixeert het elk punt op de halve cirkel

Zie ook [ bewerken ]

  • Eenheidsschijf , een schijf met straal één
  • Annulus (wiskunde) , het gebied tussen twee concentrische cirkels
  • Ball (wiskunde) , de gebruikelijke term voor de driedimensionale analoog van een schijf
  • Schijfalgebra , een ruimte met functies op een schijf
  • Orthocentroïde schijf , die bepaalde middelpunten van een driehoek bevat

Referenties [ bewerken ]

  1. ^ a b Clapham, Christopher; Nicholson, James (2014), The Concise Oxford Dictionary of Mathematics , Oxford University Press, p. 138, ISBN 9780199679591.
  2. ^ Arnold, BH (2013), intuïtieve concepten in elementaire topologie , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 58, ISBN 9780486275765.
  3. ^ Rotman, Joseph J. (2013), Journey into Mathematics: An Introduction to Proofs , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 44, ISBN 9780486151687.
  4. ^ Altmann, Simon L. (1992). Pictogrammen en symmetrieën . Oxford Universiteit krant. ISBN 9780198555995. schijf cirkelsymmetrie.
  5. ^ Maudlin, Tim (2014), New Foundations for Physical Geometry: The Theory of Linear Structures , Oxford University Press, p. 339, ISBN 9780191004551.
  6. ^ Cohen, Daniel E. (1989), Combinatorische groepstheorie: een topologische benadering , London Mathematical Society Student Texts, 14 , Cambridge University Press, p. 79, ISBN 9780521349369.
  7. ^ In hogere dimensies blijft de Euler-karakteristiek van een gesloten bal gelijk aan +1, maar de Euler-karakteristiek van een open bal is +1 voor even-dimensionale ballen en -1 voor oneven-dimensionale ballen. Zie Klain, Daniel A .; Rota, Gian-Carlo (1997), Inleiding tot geometrische waarschijnlijkheid , Lezioni Lincee, Cambridge University Press, pp. 46-50.
  8. ^ Arnold (2013) , p. 132.
  9. ^ Arnold (2013) , Ex. 1, p. 135.