Differentieel van een functie

Het differentieel werd voor het eerst geïntroduceerd via een intuïtieve of heuristische definitie door Isaac Newton en verder ontwikkeld door Gottfried Leibniz , die de differentiële  dy zag als een oneindig kleine (of oneindig kleine ) verandering in de waarde  y van de functie, overeenkomend met een oneindig kleine verandering  dx in het argument van de functie  x . Om die reden wordt de momentane veranderingssnelheid van y ten opzichte van x , wat de waarde is van de afgeleide van de functie, aangeduid met de breuk

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$

in wat de Leibniz-notatie voor afgeleiden wordt genoemd. Het quotiënt dy / dx is niet oneindig klein; het is eerder een reëel getal .

Het gebruik van infinitesimalen in deze vorm kreeg veel kritiek, bijvoorbeeld door het beroemde pamflet The Analyst van bisschop Berkeley. Augustin-Louis Cauchy ( 1823 ) definieerde het differentieel zonder een beroep te doen op het atomisme van Leibniz' infinitesimalen. ^{[1] [2]} In plaats daarvan keerde Cauchy, in navolging van d'Alembert , de logische volgorde van Leibniz en zijn opvolgers om: de afgeleide zelf werd het fundamentele object, gedefinieerd als een limiet van verschilquotiënten, en de differentiëlen werden vervolgens gedefinieerd in termen van het. Dat wil zeggen, men was vrij om de differentiële dy te definiëren door een uitdrukking

${\displaystyle dy=f'(x)\,dx}$

waarin dy en dx gewoon nieuwe variabelen zijn die eindige reële waarden aannemen, ^[3] geen vaste oneindig kleine getallen zoals ze waren voor Leibniz. ^[4]

Volgens Boyer (1959 , p. 12) was Cauchy's benadering een significante logische verbetering ten opzichte van de oneindig kleine benadering van Leibniz omdat, in plaats van een beroep te doen op de metafysische notie van oneindig kleine, de hoeveelheden dy en dx nu op precies dezelfde manier konden worden gemanipuleerd als andere reële hoeveelheden op een zinvolle manier. Cauchy's algemene conceptuele benadering van differentiëlen blijft de standaard in moderne analytische behandelingen, ^[5] hoewel het laatste woord over striktheid, een volledig moderne notie van de limiet, uiteindelijk te danken was aan Karl Weierstrass . ^[6]

Bij fysische behandelingen, zoals die toegepast worden op de theorie van de thermodynamica , heerst nog steeds de oneindig kleine opvatting. Courant & John (1999 , p. 184) brengen het fysieke gebruik van oneindig kleine verschillen als volgt in overeenstemming met de wiskundige onmogelijkheid ervan. De verschillen vertegenwoordigen eindige niet-nulwaarden die kleiner zijn dan de mate van nauwkeurigheid die vereist is voor het specifieke doel waarvoor ze zijn bedoeld. Dus "fysieke oneindig kleine dingen" hoeven geen beroep te doen op een corresponderend wiskundig oneindig klein om een ​​precieze betekenis te hebben.

Na twintigste-eeuwse ontwikkelingen in wiskundige analyse en differentiaalmeetkunde werd het duidelijk dat het begrip differentiaal van een functie op verschillende manieren kon worden uitgebreid. In echte analyse is het wenselijker om rechtstreeks met het differentieel om te gaan als het belangrijkste onderdeel van de toename van een functie. Dit leidt direct tot het idee dat het differentieel van een functie in een punt een lineaire functie is van een toename Δ x . Met deze benadering kan het differentieel (als een lineaire kaart) worden ontwikkeld voor een verscheidenheid aan meer geavanceerde ruimtes, wat uiteindelijk aanleiding geeft tot begrippen als het Fréchet- of Gateaux-derivaat . Evenzo, in differentiaalmeetkunde , het differentieel van een functie op een punt is een lineaire functie van een raakvector (een "oneindig kleine verplaatsing"), die het vertoont als een soort één-vorm: de uitwendige afgeleide van de functie. In niet-standaard calculus worden differentiëlen beschouwd als oneindig kleine, die zelf op een rigoureuze basis kunnen worden gezet (zie differentiaal (infinitesimal) ).

Het differentieel van een functie ƒ ( x ) in een punt  x ₀ .

Het differentieel wordt in moderne behandelingen van differentiaalrekening als volgt gedefinieerd. ^[7] Het differentieel van een functie f ( x ) van een enkele reële variabele x is de functie df van twee onafhankelijke reële variabelen x en Δ x gegeven door

${\displaystyle df(x,\Delta x){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f'(x)\,\Delta x.}$

Een of beide argumenten kunnen worden onderdrukt, dat wil zeggen, men kan df ( x ) of gewoon df zien . Als y  =  f ( x ), kan het differentieel ook worden geschreven als dy . Aangezien dx ( x , Δ x ) = Δ x is het gebruikelijk om dx  = Δ x te schrijven , zodat de volgende gelijkheid geldt:

${\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx}$

Deze notie van differentieel is breed toepasbaar wanneer een lineaire benadering van een functie wordt gezocht, waarbij de waarde van de increment Δ x klein genoeg is. Nauwkeuriger gezegd, als f een differentieerbare functie is bij x , dan is het verschil in y -waarden

${\displaystyle \Delta y{\stackrel {\rm {def}}{=}}f(x+\Delta x)-f(x)}$

voldoet aan

${\displaystyle \Delta y=f'(x)\,\Delta x+\varepsilon =df(x)+\varepsilon \,}$

waarbij de fout ε in de benadering voldoet aan ε /Δ x  → 0 als Δ x  → 0. Met andere woorden, men heeft de benaderde identiteit

${\ Displaystyle \ Delta y \ ongeveer dy}$

waarbij de fout zo klein als gewenst kan worden gemaakt ten opzichte van Δ x door te beperken dat x voldoende klein is; Het is te zeggen,

${\displaystyle {\frac {\Delta y-dy}{\Delta x}}\to 0}$

als Δ x  → 0. Om deze reden staat het differentieel van een functie bekend als het belangrijkste (lineaire) deel in de toename van een functie: het differentieel is een lineaire functie van de toename Δ x , en hoewel de fout ε niet-lineair, neigt het snel naar nul als Δ x neigt naar nul.

Operator \ Functie	${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle f(x,y,u(x,y),v(x,y))}$
differentieel	1: ${\displaystyle df\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}\,dx}$	2: ${\displaystyle d_{x}f\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}\,dx}$ 3: d f = d e f f X ' d X + f ja ' d ja + f jij ' d jij + f v ' d v {\displaystyle df\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}dx+f'_{y}dy+f'_{u} du+f'_{v}dv}
Gedeeltelijke afgeleide	${\displaystyle f'_{x}\,{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}\,{\frac {df}{dx}}}$	${\displaystyle f'_{x}\,{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}\,{\frac {d_{x}f}{dx}}= {\frac {\partial f}{\partial x}}}$
Totaal afgeleide	${\displaystyle {\frac {df}{dx}}\,{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}\,f'_{x}}$	${\displaystyle {\frac {df}{dx}}\,{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}\,f'_{x}+f'_{ u}{\frac {du}{dx}}+f'_{v}{\frac {dv}{dx}};(f'_{y}{\frac {dy}{dx}}=0) }$

In navolging van Goursat (1904 , I, §15), voor functies van meer dan één onafhankelijke variabele,

${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n}),}$

het partiële verschil van y met betrekking tot een van de variabelen  x ₁ is het belangrijkste deel van de verandering in y als gevolg van een verandering  dx ₁ in die ene variabele. Het partiële differentieel is daarom

${\displaystyle {\frac {\gedeeltelijke y}{\gedeeltelijke x_{1}}}dx_{1}}$

waarbij de partiële afgeleide van y met betrekking tot  x _{1 betrokken is} . De som van de partiële verschillen met betrekking tot alle onafhankelijke variabelen is de totale differentiaal

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n },}$

wat het belangrijkste deel is van de verandering in y als gevolg van veranderingen in de onafhankelijke variabelen  x _i .

Meer precies, in de context van multivariabele calculus, volgens Courant (1937b) , als f een differentieerbare functie is, dan door de definitie van differentiatie , de toename

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta y&{}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x_{1}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}+ \Delta x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{n})\\&{}={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{ 1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+\varepsilon _{1}\Delta x_{1}+\cdots +\varepsilon _{ n}\Delta x_{n}\end{uitgelijnd}}}$

waarbij de fouttermen ε _i naar nul neigen terwijl de toenames Δ x _i gezamenlijk naar nul neigen. Het totale verschil wordt dan rigoureus gedefinieerd als: 

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\ Delta x_{n}.}$

Aangezien met deze definitie

${\displaystyle dx_{i}(\Delta x_{1},\dots ,\Delta x_{n})=\Delta x_{i},}$

men heeft

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\ ,dx_{n}.}$

Zoals in het geval van één variabele, geldt de benaderde identiteit

${\displaystyle dy\ongeveer \Delta y}$

waarbij de totale fout zo klein kan worden gemaakt als gewenst ten opzichte van ${\displaystyle {\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\cdots +\Delta x_{n}^{2}}}}$ door de aandacht te beperken tot voldoende kleine stappen.

Toepassing van het totale verschil op foutschatting

Bij meting wordt de totale differentiaal gebruikt bij het schatten van de fout Δ f een functie f op basis van de fouten Δ x , Δ y , ... van de parameters x , y , .... Ervan uitgaande dat het interval kort genoeg is om de verandering ongeveer lineair te laten zijn:

Δ f ( x ) = f' ( x ) × Δ x

en dat alle variabelen onafhankelijk zijn, dan geldt voor alle variabelen,

${\displaystyle \Delta f=f_{x}\Delta x+f_{y}\Delta y+\cdots}$

Dit komt omdat de afgeleide f _x met betrekking tot de bepaalde parameter x de gevoeligheid van de functie f geeft voor een verandering in x , in het bijzonder de fout Δ x . Omdat ze als onafhankelijk worden verondersteld, beschrijft de analyse het worstcasescenario. De absolute waarden van de componentfouten worden gebruikt, omdat na eenvoudige berekening de afgeleide een negatief teken kan hebben. Van dit principe worden de foutregels van sommatie, vermenigvuldiging etc. afgeleid, bijvoorbeeld:

Laat f( a , b ) = a × b ;

Δ f = f _een Δ a + f _b Δ B ; het evalueren van de derivaten

Δ f = b Δ a + a Δ b ; delen door f , dat is a × b

Δ f / f = a / a + Δ b / b

Dat wil zeggen, bij vermenigvuldiging is de totale relatieve fout de som van de relatieve fouten van de parameters.

Beschouw, om te illustreren hoe dit afhangt van de beschouwde functie, het geval waarin de functie in plaats daarvan f ( a , b ) = a ln b is . Vervolgens kan worden berekend dat de foutschatting is

Δ f / f = een / a + Δ b / ( b ln b )

met een extra ' ln b ' factor niet gevonden bij een eenvoudig product. Deze extra factor heeft de neiging de fout kleiner te maken, aangezien ln b niet zo groot is als een kale  b .

Hogere-orde differentialen van een functie y  =  f ( x ) van een enkele variabele x kunnen worden gedefinieerd via: ^[8]

${\displaystyle d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=(df'(x))dx=f''(x)\,(dx)^{2}, }$

en, in het algemeen,

${\displaystyle d^{n}y=f^{(n)}(x)\,(dx)^{n}.}$

Informeel motiveert dit de notatie van Leibniz voor afgeleiden van hogere orde

${\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}.}$

Wanneer de onafhankelijke variabele x zelf afhankelijk mag zijn van andere variabelen, wordt de uitdrukking ingewikkelder, omdat deze ook hogere orde differentiëlen in x zelf moet bevatten . Zo is bijv.

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}y&=f''(x)\,(dx)^{2}+f'(x)d^{2}x\\d^{3} y&=f'''(x)\,(dx)^{3}+3f''(x)dx\,d^{2}x+f'(x)d^{3}x\end{uitgelijnd }}}$

enzovoorts.

Soortgelijke overwegingen zijn van toepassing op het definiëren van hogere orde differentialen van functies van verschillende variabelen. Als f bijvoorbeeld een functie is van twee variabelen x en y , dan is

${\displaystyle d^{n}f=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\partial ^{n}f}{\partial x^{ k}\gedeeltelijk y^{nk}}}(dx)^{k}(dy)^{nk},}$

waar ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$is een binomiale coëfficiënt . In meer variabelen geldt een analoge uitdrukking, maar met een geschikte multinomiale expansie in plaats van binominale expansie. ^[9]

Hogere-ordeverschillen in verschillende variabelen worden ook gecompliceerder wanneer de onafhankelijke variabelen zelf afhankelijk mogen zijn van andere variabelen. Voor een functie f van x en y die afhankelijk mag zijn van hulpvariabelen, geldt bijvoorbeeld:

${\displaystyle d^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(dx)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dx\,dy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(dy)^{2}\right )+{\frac {\partial f}{\partial x}}d^{2}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}d^{2}y.}$

Vanwege deze ongelukkigheid in de notatie werd het gebruik van differentiëlen van hogere orde ronduit bekritiseerd door Hadamard 1935 , die concludeerde:

Enfin, que signifie ou que représente l'égalité

${\displaystyle d^{2}z=r\,dx^{2}+2s\,dx\,dy+t\,dy^{2}\,?}$

Een mon avis, rien du tout.

Dat wil zeggen: wat wordt ten slotte bedoeld of weergegeven met de gelijkheid [...]? Volgens mij helemaal niets. Ondanks deze scepsis kwamen differentiëlen van hogere orde naar voren als een belangrijk hulpmiddel bij de analyse. ^[10]

In deze context, de n -de orde afgeleide van de functie f toegepast op een increment Δ x wordt bepaald door

${\displaystyle d^{n}f(x,\Delta x)=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(x+t\Delta x)\right| _{t=0}}$

of een equivalente uitdrukking, zoals

${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {\Delta _{t\Delta x}^{n}f}{t^{n}}}}$

waar ${\displaystyle \Delta _{t\Delta x}^{n}f}$een n- th voren verschil met increment t Δ x .

Deze definitie is ook zinvol als f een functie is van meerdere variabelen (voor de eenvoud hier als een vectorargument genomen). Vervolgens de n th differentiële die op deze wijze een homogene functie van graad n in de vector increment Δ x . Verder wordt de Taylorreeks van f in het punt x gegeven door

${\displaystyle f(x+\Delta x)\sim f(x)+df(x,\Delta x)+{\frac {1}{2}}d^{2}f(x,\Delta x)+ \cdots +{\frac {1}{n!}}d^{n}f(x,\Delta x)+\cdots }$

De hogere orde Gateaux-afgeleide generaliseert deze overwegingen tot oneindig dimensionale ruimten.

Een aantal eigenschappen van het differentieel volgen op een eenvoudige manier uit de overeenkomstige eigenschappen van de afgeleide, partiële afgeleide en totale afgeleide. Deze omvatten: ^[11]

• Lineariteit : Voor constanten a en b en differentieerbare functies f en g ,

${\displaystyle d(af+bg)=a\,df+b\,dg.}$

• Productregel : voor twee differentieerbare functies f en g ,

${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df.}$

Een bewerking d met deze twee eigenschappen staat in de abstracte algebra bekend als een afleiding . Ze impliceren de machtsregel

${\displaystyle d(f^{n})=nf^{n-1}df}$

Daarnaast gelden verschillende vormen van de kettingregel , in toenemende mate van algemeenheid: ^[12]

• Als y  =  f ( u ) een differentieerbare functie is van de variabele u en u  =  g ( x ) een differentieerbare functie is van x , dan

${\displaystyle dy=f'(u)\,du=f'(g(x))g'(x)\,dx.}$

• Indien y = f ( x ₁ , ..., x _n ) en alle variabelen  x ₁ , ...,  x _n afhangen andere variabele  t , vervolgens de kettingregel voor partiële afgeleiden , men

${\displaystyle {\begin{aligned}dy&={\frac {dy}{dt}}dt\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n}\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1 }}{dt}}\,dt+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}\,dt.\end{uitgelijnd }}}$

Heuristisch gezien kan de kettingregel voor verschillende variabelen zelf worden begrepen door beide zijden van deze vergelijking te delen door de oneindig kleine hoeveelheid dt .

• Er gelden meer algemene analoge uitdrukkingen, waarin de tussenvariabelen x _i afhankelijk zijn van meer dan één variabele.

Een consistent begrip van differentiaal kan worden ontwikkeld voor een functie f  : R ⁿ → R ^m tussen twee Euclidische ruimten . Zij x ,Δ x  ∈  R ⁿ een paar Euclidische vectoren . De toename in de functie f is

${\displaystyle \Delta f=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x}) -f(\mathbf {x} ).}$

Als er een m  ×  n matrix A bestaat zodanig dat

${\displaystyle \Delta f=A\Delta \mathbf {x} +\|\Delta \mathbf {x} \|{\boldsymbol {\varepsilon }}}$

waarin de vector ε  → 0 als Δ x  → 0, dan is f per definitie differentieerbaar in het punt x . De matrix A is soms bekend als de Jacobiaanse matrix en de lineaire transformatie die associeert met de toename Δ x  ∈  R ⁿ de vector A Δ x  ∈  R ^m is, in deze algemene setting, bekend als de differentiële df ( x ) van f op het punt x . Dit is precies de afgeleide van Frechet , en dezelfde constructie kan worden gemaakt om te werken voor een functie tussen alle Banach-ruimten .

Een ander vruchtbaar standpunt is om het differentieel direct te definiëren als een soort directionele afgeleide :

${\displaystyle df(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} ) -f(\ mathbf {x} )}{t}}=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\right|_{t=0},}$

dat is de benadering die al is gevolgd voor het definiëren van differentiëlen van hogere orde (en komt het meest overeen met de definitie die door Cauchy is uiteengezet). Als t tijd en x- positie voorstelt, dan stelt h een snelheid voor in plaats van een verplaatsing zoals we die tot nu toe hebben gezien. Dit levert nog een andere verfijning van het begrip differentiaal op: dat het een lineaire functie van een kinematische snelheid zou moeten zijn. De verzameling van alle snelheden door een gegeven ruimtepunt staat bekend als de raakruimte , en dus geeft df een lineaire functie op de raakruimte: een differentiaalvorm . Met deze interpretatie staat het differentieel van f bekend als de uitwendige afgeleide en heeft het een brede toepassing in differentiaalmeetkunde omdat het begrip snelheden en de raakruimte zinvol is op elk differentieerbaar spruitstuk . Als bovendien de uitgangswaarde van f ook een positie voorstelt (in een Euclidische ruimte), dan bevestigt een dimensionale analyse dat de uitgangswaarde van df een snelheid moet zijn. Als men het differentieel op deze manier behandelt, staat het bekend als de pushforward omdat het snelheden "duwt" van een bronruimte naar snelheden in een doelruimte.

Hoewel het idee van een oneindig kleine toename dx niet goed gedefinieerd is in de moderne wiskundige analyse , bestaat er een verscheidenheid aan technieken om het oneindig kleine differentieel te definiëren, zodat het differentieel van een functie kan worden afgehandeld op een manier die niet in strijd is met de Leibniz-notatie . Waaronder:

• Het differentieel definiëren als een soort differentiaalvorm , in het bijzonder de uitwendige afgeleide van een functie. De oneindig kleine stappen worden dan geïdentificeerd met vectoren in de raakruimte op een punt. Deze benadering is populair in differentiële meetkunde en aanverwante gebieden, omdat het gemakkelijk kan worden gegeneraliseerd naar afbeeldingen tussen differentieerbare variëteiten .
• Differentiëlen als nilpotente elementen van commutatieve ringen . Deze benadering is populair in de algebraïsche meetkunde . ^[13]
• Differentiëlen in gladde modellen van de verzamelingenleer. Deze benadering staat bekend als synthetische differentiële meetkunde of gladde oneindig kleine analyse en is nauw verwant aan de algebraïsche geometrische benadering, behalve dat ideeën uit de topos-theorie worden gebruikt om de mechanismen te verbergen waarmee nilpotente oneindig kleine getallen worden geïntroduceerd. ^[14]
• Differentiëlen als oneindig kleine getallen in hyperreële getalsystemen , die uitbreidingen zijn van de reële getallen die inverteerbare oneindig kleine getallen en oneindig grote getallen bevatten. Dit is de benadering van niet-standaardanalyse die is ontwikkeld door Abraham Robinson . ^[15]

Differentiëlen kunnen effectief worden gebruikt in numerieke analyse om de voortplanting van experimentele fouten in een berekening te bestuderen, en dus de algehele numerieke stabiliteit van een probleem ( Courant 1937a ). Stel dat de variabele x de uitkomst van een experiment vertegenwoordigt en y het resultaat is van een numerieke berekening toegepast op x . De vraag is in hoeverre fouten in de meting van x de uitkomst van de berekening van y beïnvloeden . Als bekend is dat de x binnen Δ x van zijn werkelijke waarde ligt, dan geeft de stelling van Taylor de volgende schatting van de fout Δ y in de berekening van y :

${\displaystyle \Delta y=f'(x)\Delta x+{\frac {(\Delta x)^{2}}{2}}f''(\xi)}$

waarbij ξ = x + θ Δ x voor een aantal 0 < θ < 1 . Als Δ x klein is, dan is de tweede orde term verwaarloosbaar, zodat Δ y , voor praktische doeleinden, goed wordt benaderd door dy = f' ( x )Δ x .

Het differentieel is vaak handig om een differentiaalvergelijking te herschrijven

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)}$

in de vorm

${\displaystyle dy=g(x)\,dx,}$

in het bijzonder wanneer men de variabelen wil scheiden .

• Boyer, Carl B. (1959), De geschiedenis van de calculus en zijn conceptuele ontwikkeling , New York: Dover Publications , MR  0124178.
• Cauchy, Augustin-Louis (1823), Resumé des Leçons données à l'Ecole royale polytechnique sur les applications du calcul infinitésimal , gearchiveerd van het origineel op 04-05-2009 , teruggewonnen 2009-08-19.
• Courant, Richard (1937a), Differentiaal- en integraalrekening. Vol. I , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons (gepubliceerd 1988), ISBN 978-0-471-60842-4, MR  1009558.
• Courant, Richard (1937b), Differentiaal- en integraalrekening. Vol. II , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons (gepubliceerd 1988), ISBN 978-0-471-60840-0, MR  1009559.
• Courant, Richard ; John, Fritz (1999), Inleiding tot Calculus en Analyse Volume 1 , Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65058-X, MR  1746554
• Eisenbud, David ; Harris, Joe (1998), The Geometry of Schemes , Springer-Verlag, ISBN 0-387-98637-5.
• Fréchet, Maurice (1925), "La notion de différentielle dans l'analyse générale", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 3, 42 : 293-323, ISSN  0012-9593 , MR  1509268.
• Goursat, Édouard (1904), Een cursus in wiskundige analyse: Vol 1: Derivaten en differentiëlen, bepaalde integralen, uitbreiding in reeksen, toepassingen in de meetkunde , ER Hedrick, New York: Dover Publications (gepubliceerd 1959), MR  0106155.
• Hadamard, Jacques (1935), "La notion de différentiel dans l'enseignement", Mathematical Gazette , XIX (236): 341-342, JSTOR  3606323.
• Hardy, Godfrey Harold (1908), Een cursus zuivere wiskunde , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-09227-2.
• Hille, Einar ; Phillips, Ralph S. (1974), Functionele analyse en semi-groepen , Providence, RI: American Mathematical Society , MR  0423094.
• Itô, Kiyosi (1993), Encyclopedic Dictionary of Mathematics (2e ed.), MIT Press , ISBN 978-0-262-59020-4.
• Kline, Morris (1977), "Hoofdstuk 13: Differentiëlen en de wet van het gemiddelde", Calculus: een intuïtieve en fysieke benadering , John Wiley and Sons.
• Kline, Morris (1972), Wiskundig denken van de oudheid tot de moderne tijd (3e ed.), Oxford University Press (gepubliceerd 1990), ISBN 978-0-19-506136-9
• Keisler, H. Jerome (1986), Elementaire Calculus: een oneindige benadering (2e ed.).
• Kock, Anders (2006), synthetische differentiaalmeetkunde (PDF) (2e ed.), Cambridge University Press.
• Moerdijk, I .; Reyes, GE (1991), Models for Smooth Infinitesimal Analysis , Springer-Verlag.
• Robinson, Abraham (1996), Niet-standaardanalyse , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3.
• Tolstov, GP (2001) [1994], "Differentieel" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press.

• Differentieel van een functie bij Wolfram Demonstrations Project