Volume regelen:

Om te begrijpen hoe een bepaalde fysische wet van toepassing is op het systeem in kwestie, begint men doorgaans eerst te overwegen hoe deze van toepassing is op een klein regelvolume of "representatief volume". Er is niets bijzonders aan een bepaald regelvolume, het vertegenwoordigt gewoon een klein deel van het systeem waarop fysieke wetten gemakkelijk kunnen worden toegepast. Dit geeft aanleiding tot wat een volumetrische of volumegewijze formulering van het wiskundige model wordt genoemd.

Men kan dan stellen dat, aangezien de natuurkundige wetten zich op een bepaalde manier gedragen op een bepaald regelvolume, ze zich hetzelfde gedragen op al dergelijke volumes, aangezien dat specifieke regelvolume op geen enkele manier speciaal was. Op deze manier kan de corresponderende puntsgewijze formulering van het wiskundige model worden ontwikkeld, zodat het het fysieke gedrag van een heel (en misschien complexer) systeem kan beschrijven.

In de continuümmechanica zijn de behoudsvergelijkingen (bijvoorbeeld de Navier-Stokes-vergelijkingen ) in integrale vorm. Ze gelden dus voor volumes. Door vormen van de vergelijking te vinden die onafhankelijk zijn van de controlevolumes, kunnen de integraaltekens worden vereenvoudigd. De regelvolumes kunnen stationair zijn of met een willekeurige snelheid bewegen. ^[2]

Berekeningen in continuüm mechanica vereisen vaak dat de reguliere speeltijd afleiding operator${\displaystyle d/dt\;}$wordt vervangen door de materiële afgeleide operator${\displaystyle D/Dt}$. Dit kan als volgt worden gezien.

Overweeg een bug die door een volume beweegt waar enige scalaire , bijv. druk , is die varieert met de tijd en positie:${\displaystyle p=p(t,x,y,z)\;}$.

Als de bug tijdens het tijdsinterval van ${\displaystyle t\;}$ naar ${\displaystyle t+dt\;}$ verhuist van ${\displaystyle (x,y,z)\;}$ naar ${\displaystyle (x+dx,y+dy,z+dz),\;}$ dan ervaart de bug een verandering ${\displaystyle dp\;}$ in de scalaire waarde,

${\displaystyle dp={\frac {\partial p}{\partial t}}dt+{\frac {\partial p}{\partial x}}dx+{\frac {\partial p}{\partial y}}dy+ {\frac {\partial p}{\partial z}}dz}$

(het totale verschil ). Als de bug met een snelheid beweegt ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z}),}$ de verandering in de positie van het deeltje is ${\displaystyle \mathbf {v} dt=(v_{x}dt,v_{y}dt,v_{z}dt),}$ en we mogen schrijven

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}dp&={\frac {\partial p}{\partial t}}dt+{\frac {\partial p}{\partial x}}v_{x}dt+{\ frac {\partial p}{\partial y}}v_{y}dt+{\frac {\partial p}{\partial z}}v_{z}dt\\&=\left({\frac {\partial p }{\partial t}}+{\frac {\partial p}{\partial x}}v_{x}+{\frac {\partial p}{\partial y}}v_{y}+{\frac { \partial p}{\partial z}}v_{z}\right)dt\\&=\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla p \right)dt.\\\end{uitgelijnd op}}}$

waar ${\displaystyle \nabla p}$is de gradiënt van het scalaire veld p . Zo:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {\partial}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla .}$

Als de bug gewoon met de stroom meebeweegt, is dezelfde formule van toepassing, maar nu is de snelheidsvector, v , die van de stroom , u . De laatste uitdrukking tussen haakjes is de inhoudelijke afgeleide van de scalaire druk. Omdat de druk p in deze berekening een willekeurig scalair veld is, kunnen we het abstraheren en de substantiële afgeleide operator schrijven als

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\gedeeltelijk }{\gedeeltelijk t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla.}$

• Continuüm mechanica
• Cauchy momentum vergelijking
• speciale relativiteitstheorie
• Inhoudelijke afgeleide

• James R. Welty, Charles E. Wicks, Robert E. Wilson & Gregory Rorrer Grondbeginselen van momentum, warmte en massaoverdracht ISBN  0-471-38149-7

Opmerkingen:

PDF's

• Integrale benadering van de controlevolumeanalyse van vloeistofstroom