Kegelsnede

De kegelsneden zijn al duizenden jaren bestudeerd en hebben een rijke bron van interessante en mooie resultaten opgeleverd in de Euclidische meetkunde .

Definitie

De zwarte grenzen van de gekleurde gebieden zijn kegelsneden. Niet weergegeven is de andere helft van de hyperbool, die zich op de niet-weergegeven andere helft van de dubbele kegel bevindt.

Een kegelsnede is de kromme die wordt verkregen als het snijpunt van een vlak , het snijvlak genoemd , met het oppervlak van een dubbele kegel (een kegel met twee luiers ). Gewoonlijk wordt aangenomen dat de kegel een rechte cirkelvormige kegel is met het oog op een gemakkelijke beschrijving, maar dit is niet vereist; elke dubbele kegel met een ronde doorsnede is voldoende. Vliegtuigen die door het hoekpunt van de kegel gaan, snijden de kegel in een punt, een lijn of een paar elkaar snijdende lijnen. Dit worden gedegenereerde kegelsneden genoemd en sommige auteurs beschouwen ze helemaal niet als kegelsneden. Tenzij anders vermeld, verwijst "kegelsnede" in dit artikel naar een niet-gedegenereerde kegelsnede.

Er zijn drie soorten kegelsneden: de ellips , parabool en hyperbool . De cirkel is een speciaal soort ellips, hoewel Apollonius historisch gezien als een vierde type wordt beschouwd. Ellipsen ontstaan ​​wanneer het snijpunt van de kegel en het vlak een gesloten curve is . De cirkel wordt verkregen wanneer het snijvlak evenwijdig is aan het vlak van de genererende cirkel van de kegel; voor een rechter kegel betekent dit dat het snijvlak loodrecht op de as staat. Als het snijvlak evenwijdig is aan precies één genererende lijn van de kegel, dan is de kegelsnede onbegrensd en wordt deze een parabool genoemd . In het overige geval is de figuur een hyperbool : het vlak snijdt beide helften van de kegel en produceert twee afzonderlijke, onbegrensde curven.

Excentriciteit, focus en directrix

Ellips ( e = 1/2), parabool ( e = 1) en hyperbool ( e = 2) met vast brandpunt F en directrix ( e = ∞). De rode cirkel ( e = 0) is ter referentie opgenomen, deze heeft geen richtlijn in het vlak.

Als alternatief kan men een kegelsnede puur definiëren in termen van vlakke geometrie: het is de meetkundige plaats van alle punten P waarvan de afstand tot een vast punt F (het brandpunt genoemd ) een constant veelvoud is (de excentriciteit e genoemd ) van de afstand tot P naar een vaste lijn L (de directrix genoemd ). Voor 0 < e <1 krijgen we een ellips, voor e = 1 een parabool en voor e > 1 een hyperbool.

Een cirkel is een grensgeval en wordt niet bepaald door een brandpunt en richtlijn in het Euclidische vlak. De excentriciteit van een cirkel wordt gedefinieerd als nul en het brandpunt is het middelpunt van de cirkel, maar de richtlijn kan alleen worden genomen als de lijn op oneindig in het projectieve vlak. ^[2]

De excentriciteit van een ellips kan worden gezien als een maat voor hoever de ellips afwijkt van cirkelvormig. ^{[3] : 844}

Als de hoek tussen het oppervlak van de kegel en zijn as is ${\ displaystyle \ beta}$ en de hoek tussen het snijvlak en de as is ${\ displaystyle \ alpha,}$de excentriciteit is ^[4] ${\ displaystyle {\ frac {\ cos \ alpha} {\ cos \ beta}}.}$

Een bewijs dat de bovenstaande curven gedefinieerd door de eigenschap focus-directrix dezelfde zijn als die verkregen door vlakken die een kegel snijden, wordt mogelijk gemaakt door het gebruik van Dandelin-bollen . ^[5]

Conische parameters

Kegelsneden parameters in het geval van een ellips

Naast de excentriciteit ( e ), brandpunten en directrix worden verschillende geometrische kenmerken en lengtes geassocieerd met een kegelsnede.

De hoofdas is de lijn die de brandpunten van een ellips of hyperbool, en het middelpunt is van de curve center . Een parabool heeft geen centrum.

De lineaire excentriciteit ( c ) is de afstand tussen het centrum en een focus.

De latus rectum is het akkoord parallel aan de directrix en gaat door een focus; de halve lengte is de semi-latus rectum ( ℓ ).

De focusparameter ( p ) is de afstand van een focus tot de corresponderende richtlijn.

De hoofdas is het akkoord tussen de twee hoekpunten: het langste akkoord van een ellips, het kortste akkoord tussen de takken van een hyperbool. De halve lengte is de semi-hoofdas ( a ). Wanneer een ellips of hyperbool zich in de standaardpositie bevindt zoals in de onderstaande vergelijkingen, met brandpunten op de x -as en midden bij de oorsprong, hebben de hoekpunten van de kegelsnede coördinaten (- a , 0) en ( a , 0) , met een niet negatief.

De secundaire as is de kortste diameter van een ellips, en de halve lengte is de halve korte as ( b ), dezelfde waarde b als in de standaardvergelijking hieronder. Naar analogie noemen we voor een hyperbool de parameter b in de standaardvergelijking ook wel de semi-korte as.

De volgende relaties gelden: ^[6]

• ${\ displaystyle \ \ ell = pe}$
• ${\ displaystyle \ c = ae}$
• ${\ displaystyle \ p + c = {\ frac {a} {e}}}$

Voor kegelsneden in standaardpositie hebben deze parameters de volgende waarden, rekening houdend met ${\ displaystyle a, b> 0}$.

kegelsnede	vergelijking	excentriciteit ( e )	lineaire excentriciteit ( c )	semi-latus rectum ( ℓ )	focale parameter ( p )
cirkel	${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2} \,}$	${\ displaystyle 0 \,}$	${\ displaystyle 0 \,}$	${\ displaystyle a \,}$	${\ displaystyle \ infty}$
Ovaal	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\ displaystyle {\ sqrt {1 - {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {a}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}}$
parabool	${\ displaystyle y ^ {2} = 4ax \,}$	${\ displaystyle 1 \,}$	Nvt	${\ displaystyle 2a \,}$	${\ displaystyle 2a \,}$
hyperbool	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\ displaystyle {\ sqrt {1 + {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {a}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}$

Standaardformulieren in cartesiaanse coördinaten

Standaardvormen van een ellips

Standaardvormen van een parabool

Standaardvormen van een hyperbool

Na het invoeren van Cartesische coördinaten , kan de eigenschap focus-directrix worden gebruikt om de vergelijkingen te produceren waaraan de punten van de kegelsnede voldoen. ^[7] Door middel van een verandering van coördinaten ( rotatie en translatie van assen ) kunnen deze vergelijkingen in standaardvormen worden omgezet . ^[8] Voor ellipsen en hyperbolen heeft een standaardformulier de x -as als hoofdas en de oorsprong (0,0) als middelpunt. De hoekpunten zijn (± a , 0) en de brandpunten (± c , 0) . Definieer b door de vergelijkingen c ² = a ² - b ² voor een ellips en c ² = a ² + b ² voor een hyperbool. Voor een cirkel is c = 0 dus a ² = b ² . Voor de parabool heeft de standaardvorm de focus op de x -as op het punt ( a , 0) en de richtlijn de lijn met vergelijking x = - a . In standaardvorm gaat de parabool altijd door de oorsprong.

Voor een rechthoekige of gelijkzijdige hyperbool , waarvan de asymptoten loodrecht staan, is er een alternatieve standaardvorm waarin de asymptoten de coördinaatassen zijn en de lijn x = y de hoofdas. De brandpunten hebben dan coördinaten ( c , c ) en (- c , - c ) . ^[9]

• Cirkel: x ² + y ² = een ²
• Ovaal: x ²/een ² + y ²/b ² = 1
• Parabool: y ² = 4 ax met a > 0
• Hyperbool: x ²/een ² - y ²/b ² = 1
• Rechthoekige hyperbool: ^[10] xy = c ²/2

De eerste vier van deze vormen zijn symmetrisch over zowel de x- as als de y- as (voor de cirkel, ellips en hyperbool), of alleen rond de x- as (voor de parabool). De rechthoekige hyperbool is echter symmetrisch rond de lijnen y = x en y = - x .

Deze standaardformulieren kunnen parametrisch worden geschreven als,

• Cirkel : ( a cos θ , a sin θ ) ,
• Ellips : ( a cos θ , b sin θ ) ,
• Parabool : ( op ² , 2 op ) ,
• Hyperbool : ( a sec θ , b tan θ ) of (± a cosh u , b sinh u ) ,
• Rechthoekige hyperbool :${\ displaystyle (dt, {\ frac {d} {t}})}$ waar ${\ displaystyle d = {\ frac {c} {\ sqrt {2}}}.}$

Algemene cartesiaanse vorm

In het Cartesiaans coördinatensysteem is de grafiek van een kwadratische vergelijking in twee variabelen altijd een kegelsnede (hoewel deze gedegenereerd kan zijn ^[11] ), en alle kegelsneden ontstaan ​​op deze manier. De meest algemene vergelijking is van de vorm ^[12]

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0,}$

met alle coëfficiënten reële getallen en A, B, C niet allemaal nul.

Matrix-notatie

De bovenstaande vergelijking kan in matrixnotatie worden geschreven als ^[13]

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 \\ B / 2 & C \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \ end {matrix}} \ right) + \ left ({\ begin {matrix} D&E \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \ end {matrix}} \ right) + F = 0.}$

De algemene vergelijking kan ook worden geschreven als

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y & 1 \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 & D / 2 \\ B / 2 & C & E / 2 \\ D / 2 & E / 2 & F \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \\ 1 \ end {matrix}} \ right) = 0.}$

Deze vorm is een specialisatie van de homogene vorm die wordt gebruikt in de meer algemene setting van projectieve meetkunde (zie hieronder ).

Discriminant

De kegelsneden die door deze vergelijking worden beschreven, kunnen worden geclassificeerd in termen van de waarde ${\ displaystyle B ^ {2} -4AC}$, de discriminant van de vergelijking genoemd. ^[14] De discriminant is dus - 4Δ waarbij Δ de matrixdeterminant is ${\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} A & B / 2 \\ B / 2 & C \ end {matrix}} \ right |.}$

Als de kegelsnede niet gedegenereerd is , dan: ^[15]

• als B ² - 4 AC <0 , stelt de vergelijking een ellips voor ;
  • als A = C en B = 0 , vertegenwoordigt de vergelijking een cirkel , wat een speciaal geval is van een ellips;
• als B ² - 4 AC = 0 , stelt de vergelijking een parabool voor ;
• als B ² - 4 AC > 0 , stelt de vergelijking een hyperbool voor ;
  • als A + C = 0 , vertegenwoordigt de vergelijking een rechthoekige hyperbool .

In de notatie hier gebruikte A en B zijn polynoomcoëfficiënten, in tegenstelling tot sommige bronnen die de halve lange en halve korte assen duiden als A en B .

Invarianten

De discriminant B ² - 4 AC van vierkantsvergelijking de kegelsnede (of equivalent de determinant AC - B ² /4 van de 2 x 2 matrix) en de hoeveelheid A + C (de sporen van de 2 x 2 matrix) invariant zijn onder willekeurige rotaties en translaties van de coördinaatassen, ^{[15] [16] [17]} evenals de determinant van de 3 × 3 matrix hierboven . ^{[18] : pp. 60–62} De constante term F en de som D ² + E ² zijn alleen onder rotatie invariant. ^{[18] : pp. 60-62}

Excentriciteit in termen van coëfficiënten

Wanneer de kegelsnede algebraïsch is geschreven als

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0, \,}$

de excentriciteit kan worden geschreven als functie van de coëfficiënten van de kwadratische vergelijking. ^[19] Als 4 AC = B ^{2, is} de kegelsnede een parabool en is de excentriciteit gelijk aan 1 (op voorwaarde dat hij niet gedegenereerd is). Anders, aangenomen dat de vergelijking ofwel een niet-gedegenereerde hyperbool of ellips vertegenwoordigt, wordt de excentriciteit gegeven door

${\ displaystyle e = {\ sqrt {\ frac {2 {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}}} {\ eta (A + C) + {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}}}}},}$

waarbij η = 1 als de determinant van de 3 × 3 matrix hierboven negatief is en η = −1 als die determinant positief is.

Het kan ook worden getoond ^{[18] : p. 89} dat de excentriciteit een positieve oplossing is van de vergelijking

${\ displaystyle \ Delta e ^ {4} + [(A + C) ^ {2} -4 \ Delta] e ^ {2} - [(A + C) ^ {2} -4 \ Delta] = 0, }$

waar weer ${\ displaystyle \ Delta = AC - {\ frac {B ^ {2}} {4}}.}$ Dit heeft precies één positieve oplossing - de excentriciteit - in het geval van een parabool of ellips, terwijl het in het geval van een hyperbool twee positieve oplossingen heeft, waarvan er één de excentriciteit is.

Conversie naar canonieke vorm

In het geval van een ellips of hyperbool, de vergelijking

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0 \,}$

kan worden geconverteerd naar een canonieke vorm in getransformeerde variabelen ${\ displaystyle x ', y'}$als ^[20]

${\ displaystyle {\ frac {x '^ {2}} {- S / (\ lambda _ {1} ^ {2} \ lambda _ {2})}} + {\ frac {y' ^ {2}} {-S / (\ lambda _ {1} \ lambda _ {2} ^ {2})}} = 1,}$

of equivalent

${\ displaystyle {\ frac {x '^ {2}} {- S / (\ lambda _ {1} \ Delta)}} + {\ frac {y' ^ {2}} {- S / (\ lambda _ {2} \ Delta)}} = 1,}$

waar ${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$ en ${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$zijn de eigenwaarden van de matrix${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 \\ B / 2 & C \ end {matrix}} \ right)}$ - dat wil zeggen, de oplossingen van de vergelijking

${\ displaystyle \ lambda ^ {2} - (A + C) \ lambda + (AC- (B / 2) ^ {2}) = 0}$

- en ${\ displaystyle S}$is de determinant van de 3 × 3 matrix hierboven , en${\ displaystyle \ Delta = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2}}$is weer de determinant van de 2 × 2 matrix. In het geval van een ellips worden de vierkanten van de twee halve assen gegeven door de noemers in de canonieke vorm.

Pool coördinaten

Ontwikkeling van de kegelsnede naarmate de excentriciteit e toeneemt

In poolcoördinaten wordt een kegelsnede met een focus op de oorsprong en, indien aanwezig, de andere op een negatieve waarde (voor een ellips) of een positieve waarde (voor een hyperbool) op de x- as, gegeven door de vergelijking

${\ displaystyle r = {\ frac {l} {1 + e \ cos \ theta}},}$

waarbij e de excentriciteit is en l de semi-latus rectum.

Zoals hierboven, voor e = 0 , is de grafiek een cirkel, voor 0 < e <1 is de grafiek een ellips, voor e = 1 een parabool en voor e > 1 een hyperbool.

De polaire vorm van de vergelijking van een kegelsnede wordt vaak gebruikt in de dynamica ; bijvoorbeeld het bepalen van de banen van objecten die rond de zon draaien. ^[21]

Eigendommen

Net zoals twee (verschillende) punten een lijn bepalen, bepalen vijf punten een kegelsnede . Formeel gezien elke vijf punten in het vlak in een algemene lineaire positie , wat betekent dat er geen drie collineair zijn , gaat er een unieke kegelsnede doorheen, die niet-gedegenereerd zal zijn; dit geldt zowel in het Euclidische vlak als in zijn verlenging, het werkelijke projectieve vlak. Inderdaad, gegeven een van de vijf punten gaat er een kegelsnede doorheen, maar als drie van de punten collineair zijn, zal de kegelsnede gedegenereerd zijn (reduceerbaar, omdat het een lijn bevat), en misschien niet uniek zijn; zie verdere discussie .

Vier punten in het vlak in de algemene lineaire positie bepalen een unieke kegelsnede die door de eerste drie punten gaat en het vierde punt als middelpunt heeft. Het kennen van het midden is dus gelijk aan het kennen van twee punten op de kegelsnede om de curve te bepalen. ^[22]

Bovendien wordt een kegelsnede bepaald door elke combinatie van k- punten in de algemene positie waar hij doorheen gaat en 5 - k- lijnen die eraan raken, voor 0 ≤ k ≤5. ^[23]

Elk punt in het vlak bevindt zich op nul, een of twee raaklijnen van een kegelsnede. Een punt op slechts één raaklijn is op de kegelsnede. Van een punt zonder raaklijn wordt gezegd dat het een binnenpunt (of binnenpunt ) van de kegelsnede is, terwijl een punt op twee raaklijnen een buitenpunt (of buitenpunt ) is.

Alle kegelsnede delen een reflectie-eigenschap die kan worden gesteld als: Alle spiegels in de vorm van een niet-gedegenereerde kegelsnede reflecteren licht dat van of naar het ene brandpunt gaat, naar of van het andere brandpunt af. In het geval van de parabool moet het tweede brandpunt worden gezien als oneindig ver weg, zodat de lichtstralen die naar het tweede brandpunt gaan of komen parallel zijn. ^{[24] [25]}

De stelling van Pascal betreft de collineariteit van drie punten die zijn opgebouwd uit een set van zes punten op een niet-gedegenereerde kegelsnede. De stelling geldt ook voor gedegenereerde kegelsneden die uit twee lijnen bestaan, maar staat dan bekend als de stelling van Pappus .

Niet-gedegenereerde kegelsneden zijn altijd " glad ". Dit is belangrijk voor veel toepassingen, zoals aerodynamica, waar een glad oppervlak vereist is om laminaire stroming te garanderen en turbulentie te voorkomen .

Menaechmus en vroege werken

Aangenomen wordt dat de eerste definitie van een kegelsnede werd gegeven door Menaechmus (overleden in 320 v.Chr.) Als onderdeel van zijn oplossing van het Delische probleem ( duplicatie van de kubus ). ^{[26] [27]} Zijn werk heeft het niet overleefd, zelfs niet de namen die hij voor deze curven gebruikte, en is alleen bekend via secundaire accounts. ^[28] De definitie die toen werd gebruikt, verschilt van de definitie die tegenwoordig algemeen wordt gebruikt. Kegels werden geconstrueerd door een rechthoekige driehoek om een ​​van zijn benen te draaien, zodat de hypotenusa het oppervlak van de kegel genereert (zo'n lijn wordt een generatrix genoemd ). Drie soorten kegels werden bepaald door hun tophoeken (gemeten door tweemaal de hoek gevormd door de hypotenusa en het been dat in de rechthoekige driehoek wordt geroteerd). De kegelsnede werd vervolgens bepaald door een van deze kegels te snijden met een vlak loodrecht op een generatrix. Het type kegelsnede wordt bepaald door het type kegel, dat wil zeggen door de hoek die wordt gevormd bij de top van de kegel: als de hoek scherp is, is de kegelsnede een ellips; als de hoek goed is, is de kegelsnede een parabool; en als de hoek stomp is, is de kegelsnede een hyperbool (maar slechts één tak van de curve). ^[29]

Euclides (fl. 300 v.Chr.) Zou vier boeken over kegelsneden hebben geschreven, maar deze gingen ook verloren. ^{[30] Het} is bekend dat Archimedes (gestorven c. 212 v.Chr.) Kegelsneden heeft bestudeerd, nadat hij het gebied had bepaald dat wordt begrensd door een parabool en een akkoord in de Kwadratuur van de Parabool . Zijn voornaamste interesse ging uit naar het meten van gebieden en volumes van figuren die verband houden met de kegelsneden en een deel van dit werk is bewaard gebleven in zijn boek over de lichamen van de revolutie van kegelsneden, On Conoids en Spheroids . ^[31]

Apollonius van Perga

Diagram van Apollonius ' Conics , in een 9e-eeuwse Arabische vertaling

De grootste vooruitgang in de studie van conics door de oude Grieken is te wijten aan Apollonius van Perga (gestorven c. 190 BCE), waarvan acht-volume kegelsneden of Conics samengevat en een veel langere bestaande kennis. ^[32] Apollonius 'studie van de eigenschappen van deze curven maakte het mogelijk om aan te tonen dat elk vlak dat een vaste dubbele kegel snijdt (twee geslagen), ongeacht de hoek, een kegelsnede zal produceren volgens de eerdere definitie, wat leidt tot de algemeen gebruikte definitie vandaag. Cirkels die met de eerdere methode niet geconstrueerd kunnen worden, zijn ook op deze manier te verkrijgen. Dit kan verklaren waarom Apollonius cirkels beschouwde als een vierde type kegelsnede, een onderscheid dat niet langer wordt gemaakt. Apollonius gebruikte de namen ellips , parabool en hyperbool voor deze curven, waarbij hij de terminologie ontleende aan eerder werk van Pythagoras over gebieden. ^[33]

Pappus van Alexandrië (gestorven c. 350 CE) wordt gecrediteerd voor het uiteenzetten van het belang van het concept van de focus van een kegelsnede, en het uitwerken van het verwante concept van een directrice , inclusief het geval van de parabool (die ontbreekt in de bekende werken van Apollonius). ^[34]

Al-Kuhi

Een instrument voor het tekenen van kegelsneden werd voor het eerst beschreven in 1000 CE door de islamitische wiskundige Al-Kuhi . ^{[35] : 30 [36]}

Omar Khayyám

Apollonius 'werk werd in het Arabisch vertaald en veel van zijn werk is alleen bewaard gebleven in de Arabische versie. Perzen vonden toepassingen van de theorie, met name de Perzische ^[37] wiskundige en dichter Omar Khayyám , die een geometrische methode ontdekte om kubische vergelijkingen op te lossen met behulp van kegelsneden. ^{[38] [39]}

Europa

Johannes Kepler breidde de theorie van kegelsneden uit door het " principe van continuïteit ", een voorloper van het concept van grenzen. Kepler gebruikte de term foci voor het eerst in 1604. ^[40]

Girard Desargues en Blaise Pascal ontwikkelden een theorie van kegelsneden met behulp van een vroege vorm van projectieve meetkunde en dit hielp een impuls te geven aan de studie van dit nieuwe veld. In het bijzonder ontdekte Pascal een stelling die bekend staat als het hexagrammum mysticum, waaruit vele andere eigenschappen van kegelsneden kunnen worden afgeleid.

René Descartes en Pierre Fermat pasten beiden hun nieuw ontdekte analytische meetkunde toe op de studie van kegelsneden. Dit had tot gevolg dat de geometrische problemen van kegelsneden werden gereduceerd tot problemen in de algebra. Het was echter John Wallis in zijn verhandeling Tractatus de sectionibus conicis uit 1655 die voor het eerst de kegelsneden definieerde als voorbeelden van vergelijkingen van de tweede graad. ^[41] Geschreven eerder, maar later publiceerde, Jan de Witt 's Elementa Curvarum Linearum begint met Kepler kinematische bouw van de conics en vervolgens ontwikkelt de algebraïsche vergelijkingen. Dit werk, dat de methodologie van Fermat en de notatie van Descartes gebruikt, is beschreven als het eerste leerboek over dit onderwerp. ^[42] De Witt vond de term directrix uit . ^[42]

De paraboloïde vorm van Archeocyathids produceert kegelsneden op rotswanden

Kegelsneden zijn belangrijk in de astronomie : de banen van twee massieve objecten die samenwerken volgens de wet van de universele zwaartekracht van Newton zijn kegelsneden als wordt aangenomen dat hun gemeenschappelijke zwaartepunt in rust is. Als ze met elkaar zijn verbonden, zullen ze allebei ellipsen tekenen; als ze uit elkaar bewegen, zullen ze allebei parabolen of hyperbolen volgen. Zie probleem met twee lichamen .

De reflecterende eigenschappen van de kegelsneden worden gebruikt bij het ontwerp van zoeklichten, radiotelescopen en sommige optische telescopen. ^[43] Een zoeklicht gebruikt een parabolische spiegel als reflector, met een lamp in het brandpunt; en een soortgelijke constructie wordt gebruikt voor een parabolische microfoon . De 4,2 meter lange Herschel optische telescoop op La Palma, op de Canarische eilanden, gebruikt een primaire parabolische spiegel om licht te reflecteren naar een secundaire hyperbolische spiegel, die het weer weerkaatst naar een brandpunt achter de eerste spiegel.

De kegelsneden hebben een aantal zeer vergelijkbare eigenschappen in het Euclidische vlak en de redenen hiervoor worden duidelijker wanneer de kegelsneden worden bekeken vanuit het perspectief van een grotere geometrie. Het Euclidische vlak kan worden ingebed in het echte projectieve vlak en de kegelsneden kunnen worden beschouwd als objecten in deze projectieve meetkunde. Een manier om dit te doen is door homogene coördinaten in te voeren en een kegelsnede te definiëren als de reeks punten waarvan de coördinaten voldoen aan een onherleidbare kwadratische vergelijking in drie variabelen (of equivalent, de nullen van een onherleidbare kwadratische vorm ). Meer technisch gezien wordt de reeks punten die nullen zijn van een kwadratische vorm (in een willekeurig aantal variabelen) een kwadratisch getal genoemd , en de onherleidbare kwadraten in een tweedimensionale projectieve ruimte (dat wil zeggen met drie variabelen) worden traditioneel kegelsneden genoemd.

De Euclidische vlak R ² is ingebed in het reële projectieve vlak door de naburige een oneindig verre rechte (en de bijbehorende punt op oneindig ), zodat alle lijnen van een parallelle stand komen samen op deze lijn. Aan de andere kant, beginnend met het echte projectieve vlak, wordt een Euclidisch vlak verkregen door een lijn te onderscheiden als de lijn op oneindig en deze en al zijn punten te verwijderen.

Snijpunt op oneindig

In een projectieve ruimte boven een deelring, maar in het bijzonder over de reële of complexe getallen, zijn alle niet-gedegenereerde kegelsneden equivalent, en dus spreekt men in projectieve meetkunde eenvoudigweg van "een kegelsnede" zonder een type te specificeren. Dat wil zeggen, er is een projectieve transformatie die elke niet-gedegenereerde kegelsnede in kaart brengt in elke andere niet-gedegenereerde kegelsnede. ^[44]

De drie soorten kegelsneden zullen opnieuw verschijnen in het affiene vlak dat wordt verkregen door een lijn van de projectieve ruimte te kiezen als de lijn op oneindig. De drie typen worden vervolgens bepaald door hoe deze lijn op oneindig de kegelsnede in de projectieve ruimte snijdt. In de corresponderende affiene ruimte verkrijgt men een ellips als de kegelsnede de lijn niet op oneindig snijdt, een parabool als de kegelsnede de lijn op oneindig snijdt in een dubbel punt dat overeenkomt met de as, en een hyperbool als de kegelsnede de lijn snijdt op oneindig in twee punten die overeenkomen met de asymptoten. ^[45]

Homogene coördinaten

In homogene coördinaten kan een kegelsnede worden weergegeven als:

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dxz + Eyz + Fz ^ {2} = 0.}$

Of in matrix notatie

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y & z \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 & D / 2 \\ B / 2 & C & E / 2 \\ D / 2 & E / 2 & F \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \\ z \ end {matrix}} \ right) = 0.}$

De 3 × 3 matrix hierboven wordt de matrix van de kegelsnede genoemd .

Sommige auteurs geven er de voorkeur aan om de algemene homogene vergelijking te schrijven als

${\ displaystyle Ax ^ {2} + 2Bxy + Cy ^ {2} + 2Dxz + 2Eyz + Fz ^ {2} = 0,}$

(of een variatie hiervan) zodat de matrix van de kegelsnede de eenvoudigere vorm heeft,

${\ displaystyle M = \ left ({\ begin {matrix} A & B & D \\ B & C & E \\ D & E & F \ end {matrix}} \ right),}$

maar deze notatie wordt in dit artikel niet gebruikt. ^[46]

Als de determinant van de matrix van de kegelsnede nul is, is de kegelsnede gedegenereerd .

Aangezien het vermenigvuldigen van alle zes coëfficiënten met dezelfde niet-nul scalair een vergelijking oplevert met dezelfde reeks nullen, kan men kegelsneden, weergegeven door ( A , B , C , D , E , F ) beschouwen als punten in de vijfdimensionale projectieve ruimte ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {5}.}$

Projectieve definitie van een cirkel

Metrische concepten van de Euclidische meetkunde (concepten die betrekking hebben op het meten van lengtes en hoeken) kunnen niet onmiddellijk worden uitgebreid tot het werkelijke projectieve vlak. ^[47] Ze moeten opnieuw worden gedefinieerd (en gegeneraliseerd) in deze nieuwe geometrie. Dit kan worden gedaan voor willekeurige projectieve vlakken , maar om het echte projectieve vlak als het verlengde Euclidische vlak te verkrijgen, moeten enkele specifieke keuzes worden gemaakt. ^[48]

Fixeer een willekeurige lijn in een projectief vlak waarnaar wordt verwezen als de absolute lijn . Selecteer twee verschillende punten op de absolute lijn en noem ze absolute punten . Aan de hand van deze keuzes kunnen verschillende metrische concepten worden gedefinieerd. Bijvoorbeeld, gegeven een regel met betrekking A en B , het middelpunt van het lijnstuk AB wordt gedefinieerd als het punt C dat de harmonische ligging van het snijpunt van AB en de absolute lijn, ten opzichte van A en B .

Een kegelsnede in een projectief vlak dat de twee absolute punten bevat, wordt een cirkel genoemd . Omdat vijf punten een kegelsnede bepalen, wordt een cirkel (die mogelijk gedegenereerd is) bepaald door drie punten. Om het verlengde Euclidische vlak te verkrijgen, wordt de absolute lijn gekozen als de lijn op oneindig van het Euclidisch vlak en de absolute punten zijn twee speciale punten op die lijn, de cirkelvormige punten op oneindig . Lijnen met twee punten met reële coördinaten passeren de cirkelvormige punten niet op oneindig, dus in het Euclidische vlak wordt een cirkel volgens deze definitie bepaald door drie punten die niet collineair zijn . ^{[49] : 72}

Er is gezegd dat cirkels in het Euclidische vlak niet kunnen worden gedefinieerd door de eigenschap focus-directrix. Als men echter de lijn op oneindig als de richtlijn zou beschouwen, dan zal door de excentriciteit als e = 0 te nemen een cirkel de eigenschap focus-directrix hebben, maar deze wordt nog steeds niet gedefinieerd door die eigenschap. ^[50] Men moet in deze situatie voorzichtig zijn om de definitie van excentriciteit correct te gebruiken als de verhouding van de afstand van een punt op de cirkel tot het brandpunt (lengte van een straal) tot de afstand van dat punt tot de richtlijn (deze afstand is oneindig) wat de grenswaarde van nul geeft.

Steiner's projectieve kegelsnede definitie

Definitie van de Steiner-generatie van een kegelsnede

Een synthetische (coördinatenvrije) benadering voor het definiëren van de kegelsneden in een projectief vlak werd gegeven door Jakob Steiner in 1867.

• Gegeven twee potloden ${\ displaystyle B (U), B (V)}$ lijnen op twee punten ${\ displaystyle U, V}$ (alle regels met ${\ displaystyle U}$ en ${\ displaystyle V}$resp.) en een projectieve maar niet perspectief mapping${\ displaystyle \ pi}$ van ${\ displaystyle B (U)}$ op ${\ displaystyle B (V)}$. Dan vormen de snijpunten van overeenkomstige lijnen een niet-gedegenereerde projectieve kegelsnede. ^{[51] [52] [53] [54]}

Een perspectief mapping${\ displaystyle \ pi}$ van een potlood ${\ displaystyle B (U)}$ op een potlood ${\ displaystyle B (V)}$is een bijectie (1-1 correspondentie) zodat corresponderende lijnen elkaar kruisen op een vaste lijn${\ displaystyle a}$, die de as van de perspectiviteit wordt genoemd${\ displaystyle \ pi}$.

Een projectieve afbeelding is een eindige reeks perspectieftoewijzingen.

Omdat een projectieve afbeelding in een projectief vlak over een veld ( pappiaans vlak ) uniek wordt bepaald door de afbeeldingen van drie lijnen voor te schrijven, ^[55] voor de Steiner-generatie van een kegelsnede, naast twee punten${\ displaystyle U, V}$alleen de afbeeldingen van 3 regels moeten worden opgegeven. Deze 5 items (2 punten, 3 lijnen) bepalen op unieke wijze de kegelsnede.

Lijn kegelsneden

Volgens het principe van dualiteit in een projectief vlak, is het duale van elk punt een lijn, en het duaal van een verzameling punten (een reeks punten die aan een bepaalde voorwaarde voldoen) wordt een omhulsel van lijnen genoemd. Gebruikt Steiner definitie van een kegelsnede (de verzameling punten wordt nu aangeduid als een punt kegelsnede als meet overeenkomstige stralen van twee verwante potloden), is het gemakkelijk om dualiseren en het verkrijgen van de overeenkomstige omhulling bestaande uit de verbindingen van corresponderende punten twee gerelateerde bereiken (punten op een lijn) op verschillende bases (de lijnen waarop de punten staan). Zo'n envelop wordt een lijnkegelsnede (of dubbele kegelsnede ) genoemd.

In het echte projectieve vlak heeft een puntkegelsnede de eigenschap dat elke lijn hem ontmoet in twee punten (die kunnen samenvallen of ingewikkeld kunnen zijn) en elke reeks punten met deze eigenschap is een puntkegelsnede. Hieruit volgt tweevoudig dat een lijnkegelsnede twee van zijn lijnen door elk punt heeft en elk omhulsel van lijnen met deze eigenschap een lijnkegelsnede is. Op elk punt van een puntkegelsnede is er een unieke raaklijn, en tweevoudig, op elke lijn van een lijnkegelsnede is er een uniek punt dat een contactpunt wordt genoemd . Een belangrijke stelling stelt dat de raaklijnen van een puntkegelsnede een lijnkegelsnede vormen, en tweevoudig, de contactpunten van een lijnkegelsnede een puntkegelsnede. ^{[56] : 48-49}

Von Staudt's definitie

Karl Georg Christian von Staudt definieerde een kegelsnede als het punt dat wordt gegeven door alle absolute punten van een polariteit die absolute punten heeft. Von Staudt introduceerde deze definitie in Geometrie der Lage (1847) als onderdeel van zijn poging om alle metrische concepten uit de projectieve meetkunde te verwijderen.

Een polariteit , π , van een projectief vlak, P , is een involutieve (dwz van de tweede orde) bijectie tussen de punten en de lijnen van P die de incidentie-relatie behoudt . Een polariteit brengt dus een punt Q in verband met een lijn q en, volgend op Gergonne , q wordt de pool van Q genoemd en Q de pool van q . ^[57] Een absoluut punt ( lijn ) van een polariteit is een punt dat invalt met zijn pool (pool). ^[58]

Een von Staudt-kegelsnede in het werkelijke projectieve vlak is gelijk aan een Steiner-kegelsnede . ^[59]

Constructies

Er kan geen continue boog van een kegelsnede worden geconstrueerd met liniaal en kompas. Er zijn echter verschillende passer-en-passerconstructies voor een willekeurig aantal individuele punten op een boog.

Een ervan is gebaseerd op het omgekeerde van de stelling van Pascal, namelijk, als de snijpunten van tegenoverliggende zijden van een zeshoek collineair zijn, dan liggen de zes hoekpunten op een kegelsnede. Specifiek, gegeven vijf punten, A , B , C , D , E en een lijn die door E gaat , zeg maar EG , kan een punt F worden geconstrueerd dat op deze lijn ligt en zich op de kegelsnede bevindt die wordt bepaald door de vijf punten. Laat AB meet DE in L , BC ontmoeten EG in M en laat CD ontmoeten LM bij N . Dan AN ontmoet EG op het gewenste punt F . ^{[60] : 52–53} Door de lijn door E te variëren , kunnen zoveel extra punten op de kegelsnede als gewenst worden geconstrueerd.

Parallellogrammethode voor het construeren van een ellips

Een andere methode, gebaseerd op de constructie van Steiner en die nuttig is in technische toepassingen, is de parallellogrammethode , waarbij een kegelsnede punt voor punt wordt geconstrueerd door middel van het verbinden van bepaalde gelijkmatig verdeelde punten op een horizontale lijn en een verticale lijn. ^[61] Specifiek, om de ellips met vergelijking te construerenx ²/een ² + y ²/b ²= 1 , construeer eerst de rechthoek ABCD met hoekpunten A ( a , 0), B ( a , 2 b ), C (- a , 2 b ) en D (- a , 0) . Verdeel de zijde BC in n gelijke segmenten en gebruik parallelle projectie, ten opzichte van de diagonale AC , om gelijke segmenten aan zijde AB te vormen (de lengtes van deze segmenten zijnb/eenmaal de lengte van de segmenten op BC ). Aan de zijde BC label de linker eindpunten van de segmenten A ₁ tot A _n vanaf B en gaat naar C . Aan de zijde AB labelen bovenste eindpunten D ₁ tot D _n vanaf A en gaat naar B . De snijpunten, AA _i ∩ DD _i voor 1 ≤ i ≤ n zullen punten zijn van de ellips tussen A en P (0, b ) . De opschriften associëren de lijnen van het potlood tot en met A met de lijnen van het potlood tot en met D projectief, maar niet perspectief. De gezochte kegelsnede wordt verkregen door deze constructie aangezien drie punten A , D en P en twee raaklijnen (de verticale lijnen bij A en D ) de kegelsnede uniek bepalen. Als een andere diameter (en zijn geconjugeerde diameter) wordt gebruikt in plaats van de grote en kleine assen van de ellips, wordt een parallellogram gebruikt dat geen rechthoek is in de constructie, met de naam van de methode. De associatie van lijnen van de potloden kan worden uitgebreid om andere punten op de ellips te verkrijgen. De constructies voor hyperbolen ^[62] en parabolen ^[63] zijn vergelijkbaar.

Nog een andere algemene methode gebruikt de polariteitseigenschap om de raaklijnomhullende van een kegelsnede (een lijnkegelsnede) te construeren. ^[64]

In het complexe vlak C ² , ellipsen en hyperbolen niet onderscheidbaar: kan men een hyperbool beschouwen als een ellips met een denkbeeldige aslengte. Bijvoorbeeld de ellips${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ wordt een hyperbool onder de vervanging ${\ displaystyle y = iw,}$ geometrisch een complexe rotatie, die meegeeft ${\ displaystyle x ^ {2} -w ^ {2} = 1}$. Er is dus een 2-weg classificatie: ellips / hyperbool en parabool. Door de krommen uit te breiden tot het complexe projectieve vlak, komt dit overeen met het snijden van de lijn op oneindig in ofwel 2 verschillende punten (overeenkomend met twee asymptoten) of in 1 dubbel punt (overeenkomend met de as van een parabool); dus de echte hyperbool is een meer suggestief reëel beeld voor de complexe ellips / hyperbool, aangezien het ook 2 (echte) snijpunten heeft met de lijn op oneindig.

Verdere eenwording vindt plaats in het complexe projectieve vlak CP ² : de niet-gedegenereerde kegelsneden kunnen niet van elkaar worden onderscheiden, aangezien ze naar een ander kunnen worden overgebracht door een projectieve lineaire transformatie .

Het kan worden bewezen dat in CP ² twee kegelsneden vier punten gemeen hebben (als één rekening houdt met veelvoud ), dus er zijn tussen de 1 en 4 snijpunten . De snijpunten zijn: vier verschillende punten, twee singuliere punten en een dubbel punt, twee dubbele punten, een singulier punt en een met multipliciteit 3, een punt met multipliciteit 4.Als een snijpunt multipliciteit> 1 heeft, worden de twee curven genoemd te zijn tangent . Als er ten minste 3 een snijpunt van veelvoud is, wordt gezegd dat de twee curven osculerend zijn . Als er slechts één snijpunt is, dat veelvoud 4 heeft, wordt gezegd dat de twee curven superosculerend zijn . ^[65]

Bovendien snijdt elke rechte lijn elke kegelsnede tweemaal. Als het snijpunt dubbel is, is de lijn een raaklijn . Elke kegelsnede snijdt de lijn op oneindig en heeft twee punten op oneindig. Als deze punten echt zijn, is de curve een hyperbool ; als het denkbeeldige conjugaten zijn, is het een ellips ; als er maar één dubbel punt is, is het een parabool . Als de punten op oneindig de cyclische punten (1, i , 0) en (1, - i , 0) zijn , is de kegelsnede een cirkel . Als de coëfficiënten van een kegelsnede reëel zijn, zijn de punten op oneindig ofwel reëel of complex geconjugeerd .

Wat moet worden beschouwd als een gedegenereerd geval van een kegelsnede, hangt af van de gebruikte definitie en de geometrische instelling voor de kegelsnede. Er zijn enkele auteurs die een kegelsnede definiëren als een tweedimensionale niet-gegenereerde quadric. Met deze terminologie zijn er geen gedegenereerde kegelsneden (alleen gedegenereerde quadrics), maar we zullen de meer traditionele terminologie gebruiken en die definitie vermijden.

In het Euclidische vlak, met behulp van de geometrische definitie, ontstaat een gedegenereerd geval wanneer het snijvlak door de top van de kegel gaat. De gedegenereerde kegelsnede is ofwel: een punt , wanneer het vlak de kegel alleen aan de top snijdt; een rechte lijn , wanneer het vlak de kegel raakt (het bevat precies één generator van de kegel); of een paar elkaar kruisende lijnen (twee generatoren van de kegel). ^[66] Deze komen respectievelijk overeen met de beperkende vormen van een ellips, parabool en hyperbool.

Als een kegelsnede in het Euclidische vlak wordt gedefinieerd door de nullen van een kwadratische vergelijking (dat wil zeggen, als een kwadratische vergelijking), dan zijn de gedegenereerde kegelsneden: de lege verzameling , een punt of een paar lijnen die evenwijdig kunnen zijn, elkaar kruisen op een bepaald punt, of samenvallen. Het lege set-geval kan overeenkomen met een paar complexe geconjugeerde parallelle lijnen zoals met de vergelijking${\ displaystyle x ^ {2} + 1 = 0,}$of naar een denkbeeldige ellips , zoals bij de vergelijking${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + 1 = 0.}$Een denkbeeldige ellips voldoet niet aan de algemene definitie van degeneratie en wordt daarom normaal gesproken niet als gedegenereerd beschouwd. ^[67] Het geval van twee lijnen doet zich voor wanneer de kwadratische uitdrukking in twee lineaire factoren verandert, waarbij de nullen van elk een lijn geven. In het geval dat de factoren hetzelfde zijn, vallen de corresponderende lijnen samen en noemen we de lijn een dubbele lijn (een lijn met multipliciteit 2) en dit is het vorige geval van een raaklijn snijvlak.

In het echte projectieve vlak, aangezien parallelle lijnen elkaar ontmoeten op een punt op de lijn op oneindig, kan het geval van parallelle lijnen van het Euclidische vlak worden gezien als snijdende lijnen. Aangezien het snijpunt echter de top van de kegel is, degenereert de kegel zelf tot een cilinder , dwz met de top op oneindig. Andere secties worden in dit geval cilindrische secties genoemd . ^[68] De niet-gedegenereerde cilindrische secties zijn ellipsen (of cirkels).

Wanneer bekeken vanuit het perspectief van het complexe projectieve vlak, kunnen de gedegenereerde gevallen van een reëel quadric (dwz de kwadratische vergelijking heeft echte coëfficiënten) allemaal worden beschouwd als een paar lijnen, mogelijk samenvallend. De lege reeks kan de lijn op oneindig zijn die wordt beschouwd als een dubbele lijn, een (reëel) punt is de kruising van twee complexe geconjugeerde lijnen en de andere gevallen zoals eerder vermeld.

Om de gedegenereerde gevallen te onderscheiden van de niet-gedegenereerde gevallen (inclusief de lege set met de laatste) met behulp van matrixnotatie, laat β de determinant zijn van de 3 × 3 matrix van de kegelsnede - dat wil zeggen, β = ( AC - B ²/4) F + BED - CD ² - AE ²/4; en laat α = B ² - 4 AC de discriminant zijn. Dan is de kegelsnede niet-gedegenereerd als en slechts als β ≠ 0 . Als β = 0 hebben we een punt als α <0 , twee parallelle lijnen (mogelijk samenvallend) als α = 0 , of twee elkaar snijdende lijnen als α > 0 . ^[69]

Een (niet-gedegenereerde) kegelsnede wordt volledig bepaald door vijf punten in algemene positie (geen drie collineair ) in een vlak en het systeem van kegelsneden die door een vaste set van vier punten gaan (weer in een vlak en geen drie collineair) wordt genoemd een potlood met kegelsneden . ^{[70] : 64} De vier gemeenschappelijke punten worden de basispunten van het potlood genoemd. Door een ander punt dan een basispunt passeert een enkele kegelsnede van het potlood. Dit concept generaliseert een potlood van cirkels . ^{[71] : 127}

De oplossingen voor een stelsel van twee tweedegraads vergelijkingen in twee variabelen kunnen worden gezien als de coördinaten van de snijpunten van twee generieke kegelsneden. In het bijzonder kunnen twee kegelsneden geen, twee of vier mogelijk samenvallende snijpunten hebben. Een efficiënte methode om deze oplossingen te lokaliseren maakt gebruik van de homogene matrixweergave van kegelsneden , dwz een 3 × 3 symmetrische matrix die afhangt van zes parameters.

De procedure om de snijpunten te lokaliseren volgt deze stappen, waarbij de kegelsneden worden weergegeven door matrices: ^[72]

• gezien de twee kegelsneden ${\ displaystyle C_ {1}}$ en ${\ displaystyle C_ {2}}$, beschouw het potlood van kegelsneden gegeven door hun lineaire combinatie ${\ displaystyle \ lambda C_ {1} + \ mu C_ {2}.}$
• identificeer de homogene parameters ${\ displaystyle (\ lambda, \ mu)}$die overeenkomen met de gedegenereerde kegelsnede van het potlood. Dit kan door de voorwaarde te stellen dat${\ displaystyle \ det (\ lambda C_ {1} + \ mu C_ {2}) = 0}$ en het oplossen van ${\ displaystyle \ lambda}$ en ${\ displaystyle \ mu}$. Dit blijken de oplossingen te zijn van een derde graadsvergelijking.
• gezien de gedegenereerde kegelsnede ${\ displaystyle C_ {0}}$, identificeer de twee, mogelijk samenvallende, lijnen waaruit het bestaat.
• snijd elke geïdentificeerde lijn met een van de twee oorspronkelijke kegelsneden; deze stap kan efficiënt worden uitgevoerd met behulp van de dubbele conische weergave van${\ displaystyle C_ {0}}$
• de snijpunten vertegenwoordigen de oplossingen voor het oorspronkelijke vergelijkingssysteem.

Kegelsneden kunnen worden gedefinieerd over andere velden (dat wil zeggen, in andere pappiaanse geometrieën ). Er moet echter enige voorzichtigheid worden betracht wanneer het veld kenmerk 2 heeft, aangezien sommige formules niet kunnen worden gebruikt. De hierboven gebruikte matrixrepresentaties vereisen bijvoorbeeld deling door 2.

Een generalisatie van een niet-gedegenereerde kegelsnede in een projectief vlak is een ovaal . Een ovaal is een puntenset die de volgende eigenschappen heeft, die worden vastgehouden door kegelsneden: 1) elke lijn snijdt een ovaal in geen, een of twee punten, 2) op elk punt van het ovaal bestaat er een unieke raaklijn.

Het generaliseren van de focuseigenschappen van kegelsneden naar het geval waarin er meer dan twee brandpunten zijn, produceert sets die gegeneraliseerde kegelsneden worden genoemd .

De indeling in elliptisch, parabolisch en hyperbolisch is alomtegenwoordig in de wiskunde en verdeelt een veld vaak in scherp verschillende subvelden. De classificatie ontstaat meestal door de aanwezigheid van een kwadratische vorm (in twee variabelen komt dit overeen met de bijbehorende discriminant ), maar kan ook corresponderen met excentriciteit.

Kwadratische vormclassificaties:

Kwadratische vormen

Kwadratische vormen over de reële getallen worden geclassificeerd door Sylvester's traagheidswet , namelijk door hun positieve index, nulindex en negatieve index: een kwadratische vorm in n variabelen kan worden omgezet in een diagonale vorm , zoals ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {k} ^ {2} -x_ {k + 1} ^ {2} - \ cdots -x_ {k + \ ell} ^ {2},}$waarbij het aantal +1 coëfficiënten, k, de positieve index is, het aantal -1 coëfficiënten, ℓ , de negatieve index en de overige variabelen de nulindex m, dus ${\ displaystyle k + \ ell + m = n.}$ In twee variabelen worden de niet-nul kwadratische vormen geclassificeerd als:

• ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}}$ - positief definitief (het negatief is ook inbegrepen), overeenkomend met ellipsen,
• ${\ displaystyle x ^ {2}}$ - gedegenereerd, overeenkomend met parabolen, en
• ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2}}$ - onbepaald, overeenkomend met hyperbolen.

In twee variabelen worden kwadratische vormen geclassificeerd volgens discriminant, analoog aan kegelsneden, maar in hogere dimensies is de meer bruikbare classificatie zo definitief (allemaal positief of allemaal negatief), gedegenereerd (enkele nullen) of onbepaald (mix van positieve en negatieve maar geen nullen). Deze classificatie ligt ten grondslag aan vele die volgen.

Kromming

De Gaussiaanse kromming van een oppervlak beschrijft de oneindig kleine geometrie en kan op elk punt ofwel positief - elliptische meetkunde , nul - Euclidische meetkunde (vlak, parabool) of negatief - hyperbolische meetkunde zijn ; oneindig, voor de tweede orde ziet het oppervlak eruit als de grafiek van ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2},}$${\ displaystyle x ^ {2}}$ (of 0), of ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2}}$. Inderdaad, volgens de uniformisatiestelling kan elk oppervlak globaal (op elk punt) positief gekromd, vlak of negatief gekromd worden. In hogere dimensies is de Riemann-krommingstensor een ingewikkelder object, maar variëteiten met constante doorsnedekromming zijn interessante studieobjecten en hebben opvallend verschillende eigenschappen, zoals besproken bij doorsnedekromming .

Tweede orde PDE's

Partiële differentiaalvergelijkingen (PDE's) van tweede orde worden op elk punt geclassificeerd als elliptisch, parabolisch of hyperbolisch, aangezien hun termen van tweede orde overeenkomen met een elliptische, parabolische of hyperbolische kwadratische vorm. Het gedrag en de theorie van deze verschillende soorten PDE's zijn opvallend verschillend - representatieve voorbeelden zijn dat de Poisson-vergelijking elliptisch is, de warmtevergelijking parabolisch en de golfvergelijking hyperbolisch.

Excentriciteitsclassificaties zijn onder meer:

Möbius-transformaties

Echte Möbius-transformaties (elementen van PSL 2 ( R ) of de 2-voudige dekking, SL 2 ( R ) ) worden geclassificeerd als elliptisch, parabolisch of hyperbolisch, aangezien hun halve spoor is ${\ displaystyle 0 \ leq | \ operatorname {tr} | / 2 <1,}$${\ displaystyle | \ operatorname {tr} | / 2 = 1,}$ of ${\ displaystyle | \ operatorname {tr} | / 2> 1,}$ het weerspiegelen van de classificatie door excentriciteit.

Variantie-tot-gemiddelde ratio

De variantie-tot-gemiddelde ratio classificeert verschillende belangrijke families van discrete kansverdelingen : de constante verdeling als circulair (excentriciteit 0), binominale verdelingen als elliptisch, Poisson-verdelingen als parabolisch en negatieve binominale verdelingen als hyperbolisch. Dit wordt uitgewerkt op cumulanten van enkele discrete kansverdelingen .

• Circumconisch en inconisch
• Conic Sections Rebellion , protesten van Yale-universiteitsstudenten
• Directeur cirkel
• Elliptisch coördinatensysteem
• Equidistant ingesteld
• Negenpunts kegelsnede
• Parabolische coördinaten
• Kwadratische functie