Complex nummer

Van Wikipedia, de gratis encyclopedie
Spring naar navigatie Spring om te zoeken

Een complex getal kan visueel worden weergegeven als een paar getallen ( a ,  b ) die een vector vormen op een diagram dat een Argand-diagram wordt genoemd en dat het complexe vlak voorstelt . is de reële as, is de imaginaire as, en i is de " imaginaire eenheid " die voldoet aan i 2 = −1 .

In wiskunde , een complex getal is een getal dat kan worden uitgedrukt in de vorm a + bi , waarbij a en b zijn reële getallen , en i een symbool genaamd de imaginaire eenheid en voldoet aan de vergelijking i 2 = -1 . Omdat geen enkel "echt" getal aan deze vergelijking voldoet, werd ik door René Descartes een denkbeeldig getal genoemd . Voor het complexe getal a + bi wordt a dereëel deel en b wordt het imaginaire deel genoemd . De reeks complexe getallen wordt aangeduid door elk van de symbolenof C . Ondanks de historische nomenclatuur "imaginair", worden complexe getallen in de wiskundige wetenschappen beschouwd als net zo "reëel" als de reële getallen en zijn ze fundamenteel in veel aspecten van de wetenschappelijke beschrijving van de natuurlijke wereld. [1] [2] [3] [4] [a]

Complexe getallen maken oplossingen mogelijk voor alle veeltermvergelijkingen , zelfs degenen die geen oplossing in reële getallen hebben. Preciezer gezegd, de fundamentele stelling van de algebra stelt dat elke polynoomvergelijking met reële of complexe coëfficiënten een oplossing heeft die een complex getal is. De vergelijking heeft bijvoorbeeld geen echte oplossing, aangezien het kwadraat van een reëel getal niet negatief kan zijn, maar de twee niet-reële complexe oplossingen −1 + 3 i en −1 - 3 i heeft .

Optellen, aftrekken en vermenigvuldigen van complexe getallen kunnen natuurlijk worden gedefinieerd door de regel i 2 = −1 te gebruiken in combinatie met de associatieve , commutatieve en distributieve wetten. Elk complex getal dat niet nul is, heeft een multiplicatieve inverse . Dit maakt van de complexe getallen een veld met de reële getallen als subveld. De complexe getallen vormen ook een reële vectorruimte van dimensie twee, met {1, i } als standaardbasis .

Deze standaardbasis maakt van de complexe getallen een Cartesiaans vlak , het complexe vlak genoemd . Dit maakt een geometrische interpretatie van de complexe getallen en hun bewerkingen mogelijk, en omgekeerd in termen van complexe getallen enkele geometrische eigenschappen en constructies. De reële getallen vormen bijvoorbeeld de reële lijn die wordt geïdentificeerd met de horizontale as van het complexe vlak. De complexe getallen met absolute waarde één vormen de eenheidscirkel . De toevoeging van een complex getal is een vertaling in het complexe vlak, en de vermenigvuldiging met een complex getal is een gelijkenis gecentreerd bij de oorsprong. De complexe vervoeging is dereflectiesymmetrie ten opzichte van de reële as. De complexe absolute waarde is een Euclidische norm .

Samenvattend vormen de complexe getallen een rijke structuur die tegelijkertijd een algebraïsch gesloten veld is , een commutatieve algebra over de reële getallen en een Euclidische vectorruimte van dimensie twee.

Definitie [ bewerken ]

Een illustratie van het complexe getal z = x + iy op het complexe vlak . Het reële deel is x , en het imaginaire deel is y .

Een complex getal is een getal van de vorm een + bi , waarbij a en b zijn reële getallen , en i is onbepaalde voldoet i 2 = -1 . Bijvoorbeeld 2 + 3 i een complex getal. [6] [3]

Op deze manier wordt een complex getal gedefinieerd als een polynoom met reële coëfficiënten in de enkele onbepaalde i , waarvoor de relatie i 2 + 1 = 0 wordt opgelegd. Op basis van deze definitie kunnen complexe getallen worden opgeteld en vermenigvuldigd, met behulp van de optelling en vermenigvuldiging voor polynomen. De relatie i 2 + 1 = 0 induceert de gelijkheden i 4 k = 1, i 4 k +1 = i , i 4 k +2 = −1, en i 4 k +3 = - i ,die gelden voor alle gehele getallen k ; deze maken de reductie mogelijk van elk polynoom dat het resultaat is van de optelling en vermenigvuldiging van complexe getallen tot een lineair polynoom in i , wederom in de vorm a + bi met reële coëfficiënten a, b.

Het reële getal a wordt het reële deel van het complexe getal a + bi genoemd ; het reële getal b wordt het imaginaire deel genoemd . Om te benadrukken, het imaginaire deel bevat geen factor i ; dat wil zeggen, het imaginaire deel is b , niet bi . [7] [8] [3]

Formeel worden de complexe getallen gedefinieerd als de quotiëntring van de polynoomring in de onbepaalde i , door het ideaal gegenereerd door de polynoom i 2 + 1 (zie hieronder ). [9]

Notatie [ bewerken ]

Een reëel getal a kan worden beschouwd als een complex getal a + 0 i , waarvan het imaginaire deel 0 is. Een zuiver imaginaire getal bi is een complex getal 0 + bi , waarvan het reële deel nul is. Net als bij veeltermen, is het gebruikelijk om a te schrijven voor a + 0 i en bi voor 0 + bi . Bovendien, als het imaginaire deel negatief is, dat wil zeggen, b = - | b | <0 , is het gebruikelijk om a - | b | i te schrijven in plaats van a + (- | b | ) i; voor b = −4 kan bijvoorbeeld 3 - 4 i worden geschreven in plaats van 3 + (−4) i .

Omdat de vermenigvuldiging van de onbepaalde i en een reëel commutatief is in polynomen met reële coëfficiënten, kan de polynoom a + bi worden geschreven als a + ib . Dit is vaak handig voor imaginaire delen die worden aangeduid met uitdrukkingen, bijvoorbeeld wanneer b een radicaal is. [10]

Het reële deel van een complex getal z wordt aangeduid met Re ( z ) , of ; het denkbeeldige deel van een complex getal z wordt aangeduid met Im ( z ) , of [2] Bijvoorbeeld,

De verzameling van alle complexe getallen wordt aangegeven met ( bord vet ) of C (rechtop vet). [2]

In sommige disciplines, met name in elektromagnetisme en elektrotechniek , wordt j gebruikt in plaats van i omdat i vaak wordt gebruikt om elektrische stroom weer te geven . [11] In deze gevallen worden complexe getallen geschreven als a + bj of a + jb .

Visualisatie [ bewerken ]

Een complex getal z , als een punt (zwart) en zijn positievector (blauw)

Een complex getal z kan dus worden geïdentificeerd met een geordend paar reële getallen, die op hun beurt kunnen worden geïnterpreteerd als coördinaten van een punt in een tweedimensionale ruimte. De meest directe ruimte is het Euclidische vlak met geschikte coördinaten, dat dan complex vlak of Arganddiagram wordt genoemd , [12] [b] [13] genoemd naar Jean-Robert Argand . Een andere prominente ruimte waarop de coördinaten kunnen worden geprojecteerd, is het tweedimensionale oppervlak van een bol, die dan Riemann-sfeer wordt genoemd .

Cartesische complexe vlak [ bewerken ]

De definitie van de complexe getallen met twee willekeurige reële waarden suggereert onmiddellijk het gebruik van Cartesiaanse coördinaten in het complexe vlak. De horizontale ( reële ) as wordt meestal gebruikt om het reële deel weer te geven, met oplopende waarden naar rechts, en het imaginaire deel markeert de verticale ( denkbeeldige ) as, met oplopende waarden naar boven.

Een nummer in kaart kan worden gezien als het gecoördineerde punt of als een positievector vanaf de oorsprong tot dit punt. De coördinaatwaarden van een complex getal z kunnen daarom worden uitgedrukt in zijn cartesiaanse , rechthoekige of algebraïsche vorm.

Met name de bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen krijgen een heel natuurlijk geometrisch karakter, wanneer complexe getallen worden beschouwd als positievectoren: optellen komt overeen met vectoroptelling , terwijl vermenigvuldiging (zie hieronder ) overeenkomt met het vermenigvuldigen van hun magnitudes en het optellen van de hoeken die ze maken met de echte as. Zo opgevat, de vermenigvuldiging van een complex getal met i correspondeert met het draaien van de positievector tegen een kwartslag draaien ( 90 ° ) rond de oorsprong-hetgeen kan worden uitgedrukt algebraïsch als volgt:

Polair complex vlak [ bewerken ]

Argument φ en modulus r lokaliseren een punt in het complexe vlak.

Modulus en argument [ bewerken ]

Een alternatieve optie voor coördinaten in het complexe vlak is het polaire coördinatensysteem dat de afstand van het punt z vanaf de oorsprong ( O ) en de hoek tussen de positieve reële as en het lijnsegment Oz tegen de klok in gebruikt. Dit leidt tot de polaire vorm van complexe getallen.

De absolute waarde (of modulus of magnitude ) van een complex getal z = x + yi is [14]

Als z een reëel getal is (dat wil zeggen, als y = 0 ), dan is r = | x | . Dat wil zeggen, de absolute waarde van een reëel getal is gelijk aan de absolute waarde als een complex getal.

Volgens de stelling van Pythagoras is de absolute waarde van een complex getal de afstand tot de oorsprong van het punt dat het complexe getal in het complexe vlak vertegenwoordigt .

Het argument van z (in veel toepassingen aangeduid als de "fase" φ ) [13] is de hoek van de straal Oz met de positieve reële as, en wordt geschreven als arg z . Net als bij de modulus, kan het argument worden gevonden in de rechthoekige vorm x + yi [15] - door de inverse tangens toe te passen op het quotiënt van imaginaire door reële delen. Door een halve-hoekidentiteit te gebruiken, volstaat een enkele tak van de arctan om het bereik van de arg -functie, (- π , π ] te dekken , en wordt een meer subtiele analyse van geval tot geval vermeden.

Normaal gesproken, zoals hierboven aangegeven, wordt de hoofdwaarde in het interval (- π , π ] gekozen. Waarden in het bereik [0, 2 π ) worden verkregen door 2 π toe te voegen - als de waarde negatief is. De waarde van φ wordt in dit artikel uitgedrukt in radialen . Het kan toenemen met elk geheel veelvoud van 2 π en toch dezelfde hoek geven, gezien als onderspannen door de stralen van de positieve reële as en van de oorsprong tot en met z . Daarom wordt de functie arg soms als meerwaardig beschouwd. De polaire hoek voor het complexe getal 0 is onbepaald, maar willekeurige keuze van de polaire hoek 0 is gebruikelijk.

De waarde van φ is gelijk aan het resultaat van atan2 :

Samen geven r en φ een andere manier om complexe getallen weer te geven, de polaire vorm , aangezien de combinatie van modulus en argument de positie van een punt op het vlak volledig specificeert. Het herstellen van de originele rechthoekige coördinaten uit de polaire vorm wordt gedaan door de formule genaamd trigonometrische vorm

Met de formule van Euler kan dit worden geschreven als

Met de cis- functie wordt dit soms afgekort

In hoeknotatie , vaak gebruikt in elektronica om een fasor weer te geven met amplitude r en fase φ , wordt het geschreven als [16]

Complexe grafieken [ bewerken ]

Een kleurenwielgrafiek van de uitdrukking ( z 2 - 1) ( z - 2 - i ) 2/z 2 + 2 + 2 ik

Bij het visualiseren van complexe functies is zowel een complexe input als output nodig. Omdat elk complex getal in twee dimensies wordt weergegeven, zou het visueel tekenen van een complexe functie de perceptie van een vierdimensionale ruimte vereisen , wat alleen mogelijk is in projecties. Daarom zijn er andere manieren ontworpen om complexe functies te visualiseren.

Bij domeinkleuring worden de uitvoerafmetingen weergegeven door respectievelijk kleur en helderheid. Elk punt in het complexe vlak als domein is ornated , meestal met kleur die het argument van het complexe getal vertegenwoordigt en helderheid die de grootte vertegenwoordigt. Donkere vlekken markeren moduli in de buurt van nul, heldere vlekken zijn verder weg van de oorsprong, de gradatie kan discontinu zijn, maar wordt als eentonig beschouwd. De kleuren variëren vaak in stappen vanπ/3voor 0 tot 2 π van rood, geel, groen, cyaan, blauw tot magenta. Deze plots worden kleurenwielgrafieken genoemd . Dit biedt een eenvoudige manier om de functies te visualiseren zonder informatie te verliezen. De afbeelding toont nullen voor ± 1, (2 + i ) en polen bij ± −2 −2 i .

Riemann-oppervlakken zijn een andere manier om complexe functies te visualiseren. [ verdere uitleg nodig ] Riemann-oppervlakken kunnen worden gezien als vervormingen van het complexe vlak; terwijl de horizontale assen de reële en imaginaire invoer vertegenwoordigen, vertegenwoordigt de enkele verticale as alleen de reële of imaginaire uitvoer. Riemann-oppervlakken zijn echter zo gebouwd dat ze 180 graden draaien de imaginaire output laat zien, en vice versa. In tegenstelling tot domeinkleuring kunnen Riemann-oppervlakken functies met meerdere waarden vertegenwoordigen , zoals z .

Geschiedenis [ bewerken ]

De oplossing in radicalen (zonder trigonometrische functies ) van een algemene kubieke vergelijking bevat de vierkantswortels van negatieve getallen wanneer alle drie de wortels reële getallen zijn, een situatie die niet kan worden gecorrigeerd door factoring met behulp van de rationele wortel-test als de kubiek onherleidbaar is (de zogenaamde casus irreducibilis ). Dit raadsel leidde ertoe dat de Italiaanse wiskundige Gerolamo Cardano rond 1545 complexe getallen bedacht [17], hoewel zijn begrip rudimentair was.

Werk aan het probleem van algemene polynomen leidde uiteindelijk tot de fundamentele stelling van de algebra , waaruit blijkt dat met complexe getallen een oplossing bestaat voor elke polynoomvergelijking van graad één of hoger. Complexe getallen vormen dus een algebraïsch gesloten veld , waar elke polynoomvergelijking een wortel heeft .

Veel wiskundigen hebben bijgedragen aan de ontwikkeling van complexe getallen. De regels voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en wortelextractie van complexe getallen zijn ontwikkeld door de Italiaanse wiskundige Rafael Bombelli . [18] Een meer abstract formalisme voor de complexe getallen werd verder ontwikkeld door de Ierse wiskundige William Rowan Hamilton , die deze abstractie uitbreidde tot de theorie van quaternionen . [19]

De vroegste vluchtige verwijzing naar de wortels van negatieve getallen kan misschien worden gezegd te komen in het werk van de Griekse wiskundige Hero van Alexandrië in de 1e eeuw na Christus , waarin in zijn Stereometrica hij van mening is, blijkbaar bij vergissing, het volume van een onmogelijke afgeknotte van een piramide om in zijn berekeningen tot de term 81 - 144 = 3 i 7 te komen, hoewel negatieve grootheden niet werden bedacht in de Hellenistische wiskunde en Hero deze alleen verving door de positieve ( 144 - 81= 3 7 ) . [20]

De aanzet om complexe getallen als een onderwerp op zich te bestuderen, ontstond voor het eerst in de 16e eeuw toen algebraïsche oplossingen voor de wortels van kubieke en quartische polynomen werden ontdekt door Italiaanse wiskundigen (zie Niccolò Fontana Tartaglia , Gerolamo Cardano ). Al snel realiseerde men zich (maar bleek veel later) [21] dat deze formules, zelfs als men alleen geïnteresseerd was in echte oplossingen, soms de manipulatie van vierkantswortels van negatieve getallen vereisten. Als voorbeeld geeft de formule van Tartaglia voor een kubieke vergelijking met de vorm x 3 = px + q [c] de oplossing voor de vergelijkingx 3 = x zoals

Op het eerste gezicht lijkt dit onzin. Formele berekeningen met complexe getallen laten echter zien dat de vergelijking z 3 = i oplossingen heeft - i ,3 + i/2 en - 3 + i/2. Als je deze op hun beurt vervangt voor -1 1/3 in de kubische formule van Tartaglia en vereenvoudigd, krijg je 0, 1 en −1 als de oplossingen van x 3 - x = 0 . Natuurlijk kan deze specifieke vergelijking direct worden opgelost, maar het illustreert wel dat wanneer algemene formules worden gebruikt om kubische vergelijkingen met echte wortels op te lossen, dan, zoals latere wiskundigen rigoureus hebben aangetoond, [d] het gebruik van complexe getallen onvermijdelijk is . Rafael Bombelli was de eerste die deze schijnbaar paradoxale oplossingen van kubische vergelijkingen expliciet behandelde en ontwikkelde de regels voor complexe rekenkunde om deze problemen op te lossen.

De term "denkbeeldig" voor deze hoeveelheden werd bedacht door René Descartes in 1637, die moeite deed om hun onwerkelijke aard te benadrukken [22]

... soms alleen maar denkbeeldig, dat wil zeggen dat je je er zoveel kunt voorstellen als ik in elke vergelijking zei, maar soms bestaat er geen hoeveelheid die overeenkomt met wat we ons voorstellen.
[ ... quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui correspondonde à celle qu'on stel je voor. ]

Een andere bron van verwarring was dat de vergelijking -1 2 = -1-1 = -1 grillig inconsistent leek te zijn met de algebraïsche identiteit ab = ab , die geldt voor niet-negatieve reële getallen a en b , en die ook werd gebruikt in berekeningen met complexe getallen met een van a , b positief en de andere negatief. Het onjuist gebruiken van deze identiteit (en de bijbehorende identiteit1/een= 1/een) in het geval dat zowel a als b negatief zijn, zelfs bedwende Euler. Deze moeilijkheid leidde uiteindelijk tot de conventie om het speciale symbool i te gebruiken in plaats van −1 om voor deze fout te waken. [ nodig citaat ] Toch vond Euler het natuurlijk om studenten veel eerder kennis te laten maken met complexe getallen dan we vandaag doen. In zijn elementaire algebra-handboek, Elements of Algebra , introduceert hij deze getallen bijna in één keer en gebruikt ze vervolgens op een natuurlijke manier overal.

In de 18e eeuw kregen complexe getallen een breder gebruik, omdat werd opgemerkt dat formele manipulatie van complexe uitdrukkingen kon worden gebruikt om berekeningen met trigonometrische functies te vereenvoudigen. In 1730 merkte Abraham de Moivre bijvoorbeeld op dat de gecompliceerde identiteiten die goniometrische functies van een geheel veelvoud van een hoek relateren aan machten van goniometrische functies van die hoek eenvoudig opnieuw konden worden uitgedrukt door de volgende bekende formule die zijn naam draagt, de Moivre's formule :

In 1748 ging Leonhard Euler verder en verkreeg de formule van complexe analyse van Euler : [23]

door complexe machtsreeksen formeel te manipuleren en merkte op dat deze formule zou kunnen worden gebruikt om elke trigonometrische identiteit terug te brengen tot veel eenvoudigere exponentiële identiteiten.

Het idee van een complex getal als een punt in het complexe vlak ( hierboven ) werd voor het eerst beschreven door de Deens - Noorse wiskundige Caspar Wessel in 1799, [24] hoewel er al in 1685 op was geanticipeerd in Wallis ' A Treatise of Algebra . [25]

Wessel's memoires verscheen in de Proceedings of the Copenhagen Academy, maar bleef grotendeels onopgemerkt. In 1806 gaf Jean-Robert Argand onafhankelijk een pamflet uit over complexe getallen en leverde een rigoureus bewijs van de fundamentele stelling van de algebra . [26] Carl Friedrich Gauss had eerder in 1797 een in wezen topologisch bewijs van de stelling gepubliceerd, maar uitte destijds zijn twijfels over "de ware metafysica van de vierkantswortel van -1". [27] Pas in 1831 overwon hij deze twijfels en publiceerde hij zijn verhandeling over complexe getallen als punten in het vlak, [28] [29] ( p 638 ) grotendeels het vaststellen van moderne notatie en terminologie.

Als iemand dit onderwerp vroeger vanuit een verkeerd standpunt heeft bekeken en daarom een ​​mysterieuze duisternis heeft ontdekt, is dit grotendeels toe te schrijven aan onhandige terminologie. Als men niet +1, −1, −1 positieve, negatieve of denkbeeldige (of zelfs onmogelijke) eenheden had genoemd, maar in plaats daarvan, laten we zeggen, directe, inverse of laterale eenheden, dan had er nauwelijks sprake kunnen zijn van zulke duisternis. - Gauss (1831) [29] ( p 638 ) [28]

In het begin van de 19e eeuw ontdekten andere wiskundigen onafhankelijk de geometrische representatie van de complexe getallen: Buée, [30] [31] Mourey , [32] Warren , [33] Français en zijn broer, Bellavitis . [34] [35]

De Engelse wiskundige GH Hardy merkte op dat Gauss de eerste wiskundige was die complexe getallen op 'een echt zelfverzekerde en wetenschappelijke manier' gebruikte, hoewel wiskundigen zoals de Noor Niels Henrik Abel en Carl Gustav Jacob Jacobi ze noodzakelijkerwijs routinematig gebruikten voordat Gauss zijn verhandeling uit 1831 publiceerde. [36]

Augustin Louis Cauchy en Bernhard Riemann brachten samen de fundamentele ideeën van complexe analyse tot een hoge staat van voltooiing, te beginnen rond 1825 in het geval van Cauchy.

De gangbare termen die in de theorie worden gebruikt, zijn voornamelijk te danken aan de oprichters. Argand noemde cos φ + i sin φ de richtingsfactor , en r = a 2 + b 2 de modulus ; [e] [38] Cauchy (1821) noemde cos φ + i sin φ de gereduceerde vorm (l'expression réduite) [39] en introduceerde kennelijk de term argument ; Gauss gebruikte i voor -1 ,[f] introduceerde de term complex getal voor a + bi , [g] en noemde a 2 + b 2 de norm . [h] De uitdrukking richtingscoëfficiënt , vaak gebruikt voor cos φ + i sin φ , is te wijten aan Hankel (1867), [40] en de absolute waarde, voor modulus, is te wijten aan Weierstrass.

Latere klassieke schrijvers over de algemene theorie zijn onder meer Richard Dedekind , Otto Hölder , Felix Klein , Henri Poincaré , Hermann Schwarz , Karl Weierstrass en vele anderen.

Relaties en activiteiten [ bewerken ]

Gelijkheid [ bewerken ]

Complexe getallen hebben een vergelijkbare definitie van gelijkheid als reële getallen; twee complexe getallen a 1 + b 1 i en a 2 + b 2 i zijn gelijk als en slechts als hun reële en imaginaire delen gelijk zijn, dat wil zeggen als a 1 = a 2 en b 1 = b 2 . Niet-nul complexe getallen geschreven in polaire vorm zijn gelijk als en slechts als ze dezelfde grootte hebben en hun argumenten verschillen met een geheel veelvoud van 2 π .

Bestellen [ bewerken ]

In tegenstelling tot de reële getallen is er geen natuurlijke ordening van de complexe getallen. In het bijzonder is er geen lineaire ordening op de complexe getallen die compatibel is met optellen en vermenigvuldigen - de complexe getallen kunnen niet de structuur hebben van een geordend veld. Dit is bijvoorbeeld doordat elke niet-triviale kwadratensom per geordende veld is ≠ 0 en i 2 + 1 2 = 0 is een niet-triviale kwadratensom. Aldus wordt van nature gedacht dat complexe getallen bestaan ​​op een tweedimensionaal vlak.

Vervoeg [ bewerken ]

Geometrische weergave van z en zijn geconjugeerde z in het complexe vlak

De complexe conjugaat van het complexe getal z = x + yi wordt gegeven door x - yi . Het wordt aangeduid met z of z * . [41] Deze unaire bewerking op complexe getallen kan niet worden uitgedrukt door alleen hun basisbewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen toe te passen.

Geometrisch is z de "reflectie" van z om de reële as. Twee keer vervoegen levert het oorspronkelijke complexe getal op

wat deze operatie tot een involutie maakt . De reflectie laat zowel het reële deel als de grootte van z ongewijzigd, dat wil zeggen

en

Het imaginaire deel en het argument van een complex getal z veranderen van teken onder vervoeging

Zie het gedeelte over polair formulier voor details over argument en grootte .

Het product van een complex getal z = x + yi en zijn geconjugeerde staat bekend als het absolute kwadraat . Het is altijd een niet-negatief reëel getal en is gelijk aan het kwadraat van de grootte van elk:

Deze eigenschap kan worden gebruikt om een ​​breuk met een complexe noemer om te zetten in een equivalente breuk met een reële noemer door zowel de teller als de noemer van de breuk uit te breiden met het conjugaat van de gegeven noemer. Dit proces wordt soms " rationalisatie " van de noemer genoemd (hoewel de noemer in de uiteindelijke uitdrukking een irrationeel reëel getal kan zijn), omdat het lijkt op de methode om wortels te verwijderen uit eenvoudige uitdrukkingen in een noemer.

De reële en imaginaire delen van een complex getal z kunnen worden geëxtraheerd met behulp van de vervoeging:

Bovendien is een complex getal echt als en slechts als het gelijk is aan zijn eigen conjugaat.

Vervoeging wordt verdeeld over de complexe rekenkundige basisbewerkingen:

Vervoeging wordt ook gebruikt in inversieve meetkunde , een tak van de meetkunde die reflecties bestudeert die algemener zijn dan die over een lijn. Bij de netwerkanalyse van elektrische circuits wordt het complexe conjugaat gebruikt om de equivalente impedantie te vinden wanneer de maximale vermogensoverdrachtsstelling wordt gezocht.

Optellen en aftrekken [ bewerken ]

Optellen van twee complexe getallen kan geometrisch worden gedaan door een parallellogram te construeren.

Twee complexe getallen a en b kunnen het gemakkelijkst worden opgeteld door hun reële en imaginaire delen van de summands afzonderlijk op te tellen. Het is te zeggen:

Evenzo kan aftrekken worden uitgevoerd als

Door gebruik te maken van de visualisatie van complexe getallen in het complexe vlak, heeft de optelling de volgende geometrische interpretatie: de som van twee complexe getallen a en b , geïnterpreteerd als punten in het complexe vlak, is het punt dat wordt verkregen door een parallellogram te bouwen van de drie hoekpunten O , en de punten van de pijlen met het label a en b (op voorwaarde dat ze niet op een lijn staan). Op equivalente wijze aanroepen van deze punten A , B , respectievelijk en het vierde punt van het parallellogram X de driehoeken OAB en XBA zijn congruent. Een visualisatie van de aftrekking kan worden bereikt door de optelling van de negatieve aftrekker te overwegen .

Vermenigvuldiging [ bewerken ]

Aangezien het reële deel, het imaginaire deel en de onbepaalde i in een complex getal allemaal als getallen op zichzelf worden beschouwd, worden twee complexe getallen, gegeven als z = x + yi en w = u + vi , vermenigvuldigd volgens de regels van de distributieve eigenschap , de commutatieve eigenschappen en de definiërende eigenschap i 2 = −1 op de volgende manier

Wederzijdse en verdeling [ bewerken ]

Met behulp van de vervoeging kan het omgekeerde van een niet-nul complex getal z = x + yi altijd worden opgesplitst in

omdat niet-nul impliceert dat x 2 + y 2 groter is dan nul.

Dit kan worden gebruikt om een ​​deling uit te drukken van een willekeurig complex getal w = u + vi door een niet-nul complex getal z als

Vermenigvuldigen en delen in polaire vorm [ bewerken ]

Vermenigvuldiging van 2 + i (blauwe driehoek) en 3 + i (rode driehoek). De rode driehoek wordt gedraaid om overeen te komen met de top van de blauwe en uitgerekt met √ 5 , de lengte van de hypotenusa van de blauwe driehoek.

Formules voor vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen zijn eenvoudiger in polaire vorm dan de overeenkomstige formules in cartesische coördinaten. Gegeven twee complexe getallen z 1 = r 1 (cos  φ 1 + i  sin  φ 1 ) en z 2 = r 2 (cos  φ 2 + i  sin  φ 2 ) , vanwege de trigonometrische identiteiten

we kunnen afleiden

Met andere woorden, de absolute waarden worden vermenigvuldigd en de argumenten worden opgeteld om de polaire vorm van het product te verkrijgen. Bijvoorbeeld: vermenigvuldigen met i komt overeen met een kwartslag tegen de klok in, wat i 2 = −1 teruggeeft . De afbeelding rechts illustreert de vermenigvuldiging van

Omdat het reële en imaginaire deel van 5 + 5 i gelijk zijn, is het argument van dat getal 45 graden, of π / 4 (in radialen ). Aan de andere kant is het ook de som van de hoeken aan de oorsprong van de rode en blauwe driehoeken, respectievelijk arctan (1/3) en arctan (1/2). Dus de formule

houdt. Omdat de arctan- functie zeer efficiënt kan worden benaderd, worden formules zoals deze - bekend als Machin-achtige formules - gebruikt voor zeer nauwkeurige benaderingen van π .

Evenzo wordt deling gegeven door

Vierkantswortel [ bewerken ]

De vierkantswortels van a + bi (met b ≠ 0 ) zijn , waar

en

waar sgn de signum- functie is. Dit kan worden gezien door kwadraat om a + bi te verkrijgen . [42] [43] Hier wordt de modulus van a + bi genoemd , en het vierkantswortelteken geeft de vierkantswortel aan met een niet-negatief reëel deel, de hoofdvierkantswortel genoemd ; ook waar z = a + bi . [44]

Exponentiële functie [ bewerken ]

De exponentiële functie kan voor elk complex getal z worden gedefinieerd door de machtreeks

die een oneindige convergentiestraal heeft .

De waarde op 1 van de exponentiële functie is het getal van Euler

Als z echt is, heeft men analytische voortzetting waarmee deze gelijkheid kan worden uitgebreid voor elke complexe waarde van z , en dus om de complexe machtsverheffing met grondtal e te definiëren als

Functionaalvergelijking [ bewerken ]

De exponentiële functie voldoet aan de functionele vergelijking. Dit kan worden bewezen door de uitbreiding van de machtreeks van beide leden te vergelijken of door analytische voortzetting van de beperking van de vergelijking tot echte argumenten toe te passen.

Euler formule [ bewerken ]

De formule van Euler stelt dat, voor elk reëel getal y ,

De functionele vergelijking houdt dus in dat, als x en y echt zijn, er een is

dat is de ontbinding van de exponentiële functie in zijn reële en imaginaire delen.

Complexe logaritme [ bewerken ]

In het echte geval kan de natuurlijke logaritme worden gedefinieerd als de inverse van de exponentiële functie. Om dit uit te breiden tot het complexe domein, kan men uitgaan van de formule van Euler. Het impliceert dat, als een complex getal in polaire vorm wordt geschreven

met dan met

als complexe logaritme heeft men een juiste inverse:

Omdat cosinus- en sinus zijn periodieke functies, het toevoegen van een geheel veelvoud van 2 π tot φ niet verandert z . Bijvoorbeeld e = e 3 = −1 , dus zowel als 3 zijn mogelijke waarden voor de natuurlijke logaritme van −1 .

Daarom, als de complexe logaritme niet moet worden gedefinieerd als een functie met meerdere waarden

men moet een vertakking gebruiken en het codomein beperken , wat resulteert in de bijectieve functie

Als het geen niet-positief reëel getal is (een positief of een niet-reëel getal), wordt de resulterende hoofdwaarde van de complexe logaritme verkregen met - π < φ < π . Het is een analytische functie buiten de negatieve reële getallen, maar kan niet worden verlengd tot een functie die continu is bij een willekeurig negatief reëel getal , waarbij de hoofdwaarde ln z = ln (- z ) + iπ is . [ik]

Machtsverheffen [ bewerken ]

Als x > 0 reëel is en z complex, wordt de machtsverheffing gedefinieerd als

waarbij ln de natuurlijke logaritme aangeeft.

Het lijkt logisch om deze formule uit te breiden tot complexe waarden van x , maar er zijn enkele moeilijkheden die het gevolg zijn van het feit dat de complexe logaritme niet echt een functie is, maar een functie met meerdere waarden .

Hieruit volgt dat als z is zoals hierboven, en als t een ander complex getal is, de machtsverheffing de meerwaardige functie is

Geheel getal en fractionele exponenten [ bewerken ]

Geometrische weergave van de 2e tot 6e wortel van een complex getal z , in polaire vorm re waarbij r = | z  | en φ = arg z . Als z echt is, φ = 0 of π . Hoofdwortels worden in zwart weergegeven.

Als in de voorgaande formule t een geheel getal is, dan zijn de sinus en de cosinus onafhankelijk van k . Dus als de exponent n een geheel getal is, dan is z n goed gedefinieerd en wordt de machtsverheffen formule vereenvoudigd tot de formule van de Moivre :

De n n- de wortels van een complex getal z worden gegeven door

voor 0 ≤ kn - 1 . (Hier is de gebruikelijke (positieve) n- de wortel van het positieve reële getal r .) Omdat sinus en cosinus periodiek zijn, geven andere gehele waarden van k geen andere waarden.

Hoewel de n- de wortel van een positief reëel getal r wordt gekozen als het positieve reële getal c dat voldoet aan c n = r , is er geen natuurlijke manier om een ​​bepaald complex n- de wortel van een complex getal te onderscheiden. Daarom is de n- de wortel een n -gewaardeerde functie van z . Dit houdt in dat men, in tegenstelling tot het geval van positieve reële getallen, wel heeft

aangezien de linkerkant uit n waarden bestaat en de rechterkant uit één waarde bestaat.

Eigenschappen [ bewerken ]

Veldstruktuur [ bewerken ]

De verzameling complexe getallen is een veld . [45] In het kort betekent dit dat de volgende feiten gelden: ten eerste kunnen twee willekeurige complexe getallen worden opgeteld en vermenigvuldigd om een ​​ander complex getal te verkrijgen. Ten tweede: voor elk complex getal z is de additieve inverse - z ook een complex getal; en ten derde heeft elk complex getal dat niet nul is een wederkerig complex getal. Bovendien voldoen deze bewerkingen aan een aantal wetten, bijvoorbeeld de wet van commutativiteit van optellen en vermenigvuldigen voor twee willekeurige complexe getallen z 1 en z 2 :

Deze twee wetten en de andere vereisten voor een veld kunnen worden bewezen door de bovenstaande formules, waarbij gebruik wordt gemaakt van het feit dat de reële getallen zelf een veld vormen.

In tegenstelling tot de reals, is het geen geordend veld , dat wil zeggen dat het niet mogelijk is om een ​​relatie z 1 < z 2 te definiëren die compatibel is met de optelling en vermenigvuldiging. In feite is in elk geordend veld het kwadraat van een element noodzakelijkerwijs positief, dus i 2 = −1 sluit het bestaan ​​uit van een ordening op [46]

Wanneer het onderliggende veld voor een wiskundig onderwerp of constructie het veld met complexe getallen is, wordt de naam van het onderwerp meestal aangepast om dat feit weer te geven. Bijvoorbeeld: complexe analyse , complexe matrix , complexe polynoom en complexe Lie-algebra .

Oplossingen van veeltermvergelijkingen [ bewerken ]

Gegeven eventuele complexe getallen ( coëfficiënten genoemd ) a 0 , ...,  a n , de vergelijking

heeft ten minste één complexe oplossing z , op voorwaarde dat ten minste één van de hogere coëfficiënten a 1 , ...,  a n niet nul is. [47] Dit is de verklaring van de fundamentele stelling van de algebra , van Carl Friedrich Gauss en Jean le Rond d'Alembert . Vanwege dit feit wordt het een algebraïsch gesloten veld genoemd . Deze eigenschap geldt niet voor het veld van rationale getallen (de polynoom x 2 - 2 heeft geen rationale wortel, aangezien √ 2 geen rationaal getal is) noch voor de reële getallen (het polynoom x 2 + a heeft geen echte wortel voor a > 0 , aangezien het kwadraat van x positief is voor elk reëel getal x ).

Er zijn verschillende bewijzen van deze stelling, hetzij door analytische methoden zoals de stelling van Liouville , hetzij door topologische methoden zoals het wikkelingsgetal , of door een bewijs dat de Galois-theorie combineert met het feit dat elke echte polynoom van oneven graad ten minste één echte wortel heeft.

Vanwege dit feit zijn stellingen die gelden voor elk algebraïsch gesloten veld van toepassing op . Elke niet-lege complexe vierkante matrix heeft bijvoorbeeld ten minste één (complexe) eigenwaarde .

Algebraïsche karakterisering [ bewerken ]

Het veld heeft de volgende drie eigenschappen:

  • Ten eerste heeft het kenmerk 0. Dit betekent dat 1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0 voor een willekeurig aantal summands (die allemaal gelijk zijn aan één).
  • Ten tweede, de transcendentiegraad is voorbij , het belangrijkste veld van is de kardinaliteit van het continuüm .
  • Ten derde is het algebraïsch gesloten (zie hierboven).

Er kan worden aangetoond dat elk veld met deze eigenschappen isomorf is (als een veld). Bijvoorbeeld, de algebraïsche afsluiting van het veld van het p -adisch getal voldoet ook aan deze drie eigenschappen, dus deze twee velden zijn isomorf (als velden, maar niet als topologische velden). [48] Ook isomorf is met het gebied van complexe Puiseux series . Het specificeren van een isomorfisme vereist echter het axioma van keuze . Een ander gevolg van deze algebraïsche karakterisering is dat het veel juiste subvelden bevat die isomorf zijn voor .

Kenmerken als topologische gebied [ bewerken ]

De voorgaande karakterisering van beschrijft alleen de algebraïsche aspecten van. Dat wil zeggen, de eigenschappen van nabijheid en continuïteit , die van belang zijn op gebieden als analyse en topologie , worden niet behandeld. De volgende beschrijving van een topologisch veld (dat wil zeggen een veld dat is uitgerust met een topologie , die het begrip convergentie mogelijk maakt) houdt wel rekening met de topologische eigenschappen. bevat een deelverzameling P (namelijk de verzameling positieve reële getallen) van niet-nul elementen die aan de volgende drie voorwaarden voldoen:

  • P wordt gesloten onder optellen, vermenigvuldigen en inverse nemen.
  • Als x en y zijn afzonderlijke elementen van P , vervolgens x - y of y - x in P .
  • Als S een niet-lege deelverzameling van P is , dan is S + P = x + P voor een bepaalde x in

Bovendien heeft een niet-triviale involutieve automorfisme xx * (namelijk de complexe vervoeging), zodat x x * in P is voor elk niet nul x in

Elk veld F met deze eigenschappen kan een topologie krijgen door de verzamelingen B ( x ,  p ) = {  y | p - ( y - x ) ( y - x ) * ∈ P  }  als base , waarbij x varieert over het veld en p varieert dan P . Met deze topologie is F isomorf als een topologisch veld

De enige verbonden lokaal compacte topologische velden zijn en. Dit geeft een andere karakterisering van als een topologisch veld, aangezien kan worden onderscheiden van omdat de niet-nul complexe getallen zijn verbonden , terwijl de niet-nul reële getallen dat niet zijn. [49]

Vormconstructie [ bewerken ]

Bouw als geordende paren [ bewerken ]

William Rowan Hamilton introduceerde de benadering om de set van complexe getallen [50] te definiëren als de set 2 van geordende paren ( a ,  b ) van reële getallen, waarin de volgende regels voor optellen en vermenigvuldigen worden opgelegd: [45]

Het is dan een kwestie van notatie om ( a ,  b ) uit te drukken als a + bi .

Constructie als een quotiëntveld [ bewerken ]

Hoewel deze constructie op laag niveau de structuur van de complexe getallen nauwkeurig beschrijft, onthult de volgende equivalente definitie de algebraïsche aard van meer onmiddellijk. Deze karakterisering is gebaseerd op het begrip velden en polynomen. Een veld is een verzameling met bewerkingen voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen die zich gedragen zoals bekend is van bijvoorbeeld rationale getallen. Bijvoorbeeld de distributieve wet

moet gelden voor drie willekeurige elementen x , y en z van een veld. De reeks reële getallen vormt een veld. Een polynoom p ( X ) met reële coëfficiënten is een uitdrukking van de vorm

waar de a 0 , ...,  een n reële getallen zijn. De gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging van veeltermen verleent de verzameling van al dergelijke veeltermen een ringstructuur . Deze ring wordt de polynoomring over de reële getallen genoemd.

De verzameling complexe getallen wordt gedefinieerd als de quotiëntring [51]. Dit uitbreidingsveld bevat twee vierkantswortels van −1 , namelijk (de nevenklassen van) X en - X , respectievelijk. (De nevenklassen van) 1 en X vormen een basis van ℝ [ X ] / ( X 2 + 1) als een echte vectorruimte , wat betekent dat elk element van het uitbreidingsveld uniek kan worden geschreven als een lineaire combinatie in deze twee elementen . Op equivalente wijze kunnen elementen van het extensieveld worden geschreven als geordende paren ( a ,  b ) van reële getallen. Het quotiënt ring is een gebied, omdat X 2 + 1 is irreducibele opzodat het ideale genereert is maximaal .

De formules voor optellen en vermenigvuldigen in de ring modulo de relatie X 2 = −1 , komen overeen met de formules voor optellen en vermenigvuldigen van complexe getallen gedefinieerd als geordende paren. Dus de twee definities van het veld zijn isomorf (als velden).

Aanvaarden dat algebraïsch gesloten is, aangezien het een algebraïsche uitbreiding is van in deze benadering, is daarom de algebraïsche afsluiting van

Matrixweergave van complexe getallen [ bewerken ]

Complexe getallen a + bi kunnen ook worden weergegeven door 2 × 2 matrices die de vorm hebben

Hier zijn de vermeldingen a en b reële getallen. Aangezien de som en het product van twee van dergelijke matrices weer van deze vorm zijn, vormen deze matrices een subring van de ring 2 × 2 matrices.

Een simpele berekening laat zien dat de map

is een ringisomorfisme van het veld van complexe getallen tot de ring van deze matrices. Dit isomorfisme associeert het kwadraat van de absolute waarde van een complex getal met de determinant van de corresponderende matrix, en het conjugaat van een complex getal met de transponering van de matrix.

De werking van de matrix op een vector ( x , y ) komt overeen met de vermenigvuldiging van x + iy met a + ib . In het bijzonder, als de determinant 1 is , is er een reëel getal t zodat de matrix de vorm heeft

In dit geval zijn de werking van de matrix op vectoren en de vermenigvuldiging met het complexe getal beide de rotatie van de hoek t .

Complexe analyse [ bewerken ]

Kleurenwielgrafiek van sin (1 / z ) . Zwarte delen binnenin verwijzen naar getallen met grote absolute waarden.

De studie van functies van een complexe variabele staat bekend als complexe analyse en heeft enorm praktisch nut in de toegepaste wiskunde en in andere takken van de wiskunde. Vaak gebruiken de meest natuurlijke bewijzen voor uitspraken in reële analyse of zelfs getaltheorie technieken uit complexe analyse (zie priemgetalstelling voor een voorbeeld). In tegenstelling tot echte functies, die gewoonlijk worden weergegeven als tweedimensionale grafieken, hebben complexe functies vierdimensionale grafieken en kunnen ze nuttig worden geïllustreerd door kleurcodering van een driedimensionale grafiek om vier dimensies te suggereren, of door de dynamische transformatie van de complexe functie van de complex vlak.

Complexe exponentiële en gerelateerde functies [ bewerken ]

De begrippen convergente reeksen en continue functies in (echte) analyse hebben natuurlijke analogen bij complexe analyse. Er wordt gezegd dat een reeks complexe getallen convergeert als en slechts als de reële en imaginaire delen dat doen. Dit komt overeen met de (ε, δ) -definitie van limieten , waarbij de absolute waarde van reële getallen wordt vervangen door die van complexe getallen. Vanuit een meer abstract oogpunt, , begiftigd met de metriek

is een complete metrische ruimte , die met name de driehoeksongelijkheid omvat

voor twee complexe getallen z 1 en z 2 .

Net als bij echte analyse wordt dit begrip van convergentie gebruikt om een ​​aantal elementaire functies te construeren : de exponentiële functie exp z , ook geschreven als e z , wordt gedefinieerd als de oneindige reeks

De reeks die de werkelijke trigonometrische functies sinus en cosinus definieert , evenals de hyperbolische functies sinh en cosh, worden ook ongewijzigd overgedragen naar complexe argumenten. Voor de andere trigonometrische en hyperbolische functies, zoals tangens , zijn de zaken iets gecompliceerder, omdat de definiërende reeks niet voor alle complexe waarden convergeert. Daarom moet men ze definiëren in termen van sinus, cosinus en exponentieel, of, equivalent, door de methode van analytische voortzetting te gebruiken .

De formule van Euler luidt als volgt:

in het bijzonder voor elk reëel getal φ

In tegenstelling tot de situatie van reële getallen, is er een oneindig aantal complexe oplossingen z van de vergelijking

voor elk complex getal w ≠ 0 . Het kan worden aangetoond dat een dergelijke oplossing z - genaamd complexe logaritme van w - voldoet

waarbij arg het argument is dat hierboven is gedefinieerd , en ln de (echte) natuurlijke logaritme . Aangezien arg een meerwaardige functie is , uniek tot een veelvoud van 2 π , is log ook meerwaardig. De belangrijkste waarde van log wordt vaak genomen door het imaginaire deel te beperken tot het interval (- π , π ] .

Complexe machtsverheffing z ω wordt gedefinieerd als

en heeft meerdere waarden, behalve wanneer ω een geheel getal is. Voor ω = 1 / n , voor een bepaald natuurlijk getal n , herstelt dit de niet-uniciteit van de hierboven genoemde n- de wortels.

In tegenstelling tot reële getallen voldoen complexe getallen in het algemeen niet aan de ongewijzigde machts- en logaritme-identiteiten, vooral niet wanneer ze naïef worden behandeld als functies met één waarde; zie uitval van stroom- en logaritme-identiteiten . Ze voldoen bijvoorbeeld niet

Beide zijden van de vergelijking hebben meerdere waarden door de hier gegeven definitie van complexe machtsverheffing, en de waarden aan de linkerkant zijn een subset van die aan de rechterkant.

Holomorfe functie [ bewerken ]

Een functie f  : wordt holomorf genoemd als deze voldoet aan de Cauchy-Riemann-vergelijkingen . Bijvoorbeeld elk ℝ-lineaire map kan worden geschreven in de vorm

met complexe coëfficiënten a en b . Deze kaart is holomorf als en slechts als b = 0 . De tweede summand is reëel differentieerbaar, maar voldoet niet aan de Cauchy-Riemann-vergelijkingen .

Complexe analyse toont enkele kenmerken die niet duidelijk zijn in echte analyse. Bijvoorbeeld, twee holomorfe functies f en g die het eens zijn over een willekeurig kleine open subset van ℂ komen noodzakelijkerwijs overal overeen. Meromorfe functies , functies die lokaal kunnen worden geschreven als f ( z ) / ( z - z 0 ) n met een holomorfe functie f , delen nog steeds enkele kenmerken van holomorfe functies. Andere functies hebben essentiële singulariteiten , zoals sin (1 / z ) bij z = 0.

Toepassingen [ bewerken ]

Complexe getallen hebben toepassingen op veel wetenschappelijke gebieden, waaronder signaalverwerking , regeltechniek , elektromagnetisme , vloeistofdynamica , kwantummechanica , cartografie en trillingsanalyse . Enkele van deze toepassingen worden hieronder beschreven.

Geometrie [ bewerken ]

Vormen [ bewerken ]

Drie niet-collineaire punten in het vlak bepalen de vorm van de driehoek . Door de punten in het complexe vlak te lokaliseren, kan deze vorm van een driehoek worden uitgedrukt door complexe rekenkunde als

De vorm van een driehoek blijft hetzelfde als het complexe vlak wordt getransformeerd door translatie of dilatatie (door een affiene transformatie ), wat overeenkomt met het intuïtieve begrip van vorm en gelijkenis beschrijft . Elke driehoek bevindt zich dus in een klasse van gelijkenis van driehoeken met dezelfde vorm. [52]

Fractale geometrie [ bewerken ]

De Mandelbrot-set met de echte en denkbeeldige bijlen gelabeld.

De Mandelbrot-set is een populair voorbeeld van een fractal gevormd op het complexe vlak. Het wordt bepaald door het uitzetten iedere plaats wanneer itereren de sequentie niet afwijkt wanneer geïtereerd oneindig. Evenzo hebben Julia-sets dezelfde regels, behalve waar constant blijft.

Driehoeken [ bewerken ]

Elke driehoek heeft een unieke Steiner inellipse - een ellips in de driehoek die raakt aan de middelpunten van de drie zijden van de driehoek. De brandpunten van de Steiner inellipse van een driehoek kunnen volgens de stelling van Marden als volgt worden gevonden : [53] [54] Geef de hoekpunten van de driehoek in het complexe vlak aan als a = x A + y A i , b = x B + y B i , en c = X C + Y C ik. Schrijf de kubische vergelijking , neem de afgeleide ervan en stel de (kwadratische) afgeleide gelijk aan nul. De stelling van Marden zegt dat de oplossingen van deze vergelijking de complexe getallen zijn die de locaties van de twee brandpunten van de Steiner inellipse aanduiden.

Algebraïsche getaltheorie [ bewerken ]

Constructie van een regelmatige vijfhoek met behulp van passer en liniaal .

Zoals hierboven vermeld, heeft elke niet-constante polynoomvergelijking (in complexe coëfficiënten) een oplossing in . A fortiori geldt hetzelfde als de vergelijking rationele coëfficiënten heeft. De wortels van dergelijke vergelijkingen worden algebraïsche getallen genoemd - ze zijn een hoofdobject van studie in de algebraïsche getaltheorie . Vergeleken met heeft de algebraïsche sluiting van , die ook alle algebraïsche getallen bevat, het voordeel dat het gemakkelijk te begrijpen is in geometrische termen. Op deze manier kunnen algebraïsche methoden worden gebruikt om geometrische vragen te bestuderen en vice versa. Met algebraïsche methoden, meer specifiek het toepassen van de machinerie van de veldentheorie op het getallenveldmet wortels van eenheid , kan worden aangetoond dat het niet mogelijk is om een ​​regelmatige nonagon te construeren met alleen passer en liniaal - een puur geometrisch probleem.

Een ander voorbeeld zijn Gaussische gehele getallen , dat wil zeggen getallen in de vorm x + iy , waarbij x en y gehele getallen zijn, die kunnen worden gebruikt om sommen van kwadraten te classificeren .

Analytische getaltheorie [ bewerken ]

Analytische getaltheorie bestudeert getallen, vaak gehele getallen of rationale getallen, door gebruik te maken van het feit dat ze kunnen worden beschouwd als complexe getallen, waarin analytische methoden kunnen worden gebruikt. Dit wordt gedaan door getaltheoretische informatie te coderen in functies met een complexe waarde. De Riemann-zetafunctie ζ ( s ) is bijvoorbeeld gerelateerd aan de verdeling van priemgetallen .

Onjuiste integralen [ bewerken ]

In toegepaste velden worden complexe getallen vaak gebruikt om bepaalde ongeschikte integralen met reële waarde te berekenen door middel van functies met complexe waarden. Er zijn verschillende methoden om dit te doen; zie methoden van contourintegratie .

Dynamische vergelijkingen [ bewerken ]

In differentiaalvergelijkingen is het gebruikelijk om eerst alle complexe wortels r van de karakteristieke vergelijking van een lineaire differentiaalvergelijking of vergelijkingssysteem te vinden en vervolgens te proberen het systeem op te lossen in termen van basisfuncties van de vorm f ( t ) = e rt . Evenzo worden in differentievergelijkingen de complexe wortels r van de karakteristieke vergelijking van het differentievergelijkingssysteem gebruikt om te proberen het systeem op te lossen in termen van basisfuncties van de vorm f ( t ) = r t .

In toegepaste wiskunde [ bewerken ]

Regeltheorie [ bewerken ]

In de regeltheorie worden systemen vaak getransformeerd van het tijdsdomein naar het frequentiedomein met behulp van de Laplace-transformatie . De nullen en polen van het systeem worden vervolgens in het complexe vlak geanalyseerd . De wortellocus , Nyquist-plot en Nichols-plottechnieken maken allemaal gebruik van het complexe vlak.

Bij de wortellocusmethode is het belangrijk of nullen en polen zich in de linker of rechter halve vlakken bevinden, dat wil zeggen dat ze een reëel deel hebben groter dan of kleiner dan nul. Als een lineair, tijdinvariant (LTI) systeem polen heeft die dat wel zijn

  • in het rechter halfvlak zal het onstabiel zijn ,
  • alles in het linker halfvlak, het zal stabiel zijn ,
  • op de denkbeeldige as zal het een marginale stabiliteit hebben .

Als een systeem nullen heeft in het rechter halfvlak, is het een niet- minimaal fasensysteem .

Signaalanalyse [ bewerken ]

Complexe getallen worden gebruikt in signaalanalyse en andere velden voor een gemakkelijke beschrijving van periodiek variërende signalen. Voor gegeven reële functies die feitelijke fysieke grootheden vertegenwoordigen, vaak in termen van sinussen en cosinussen, worden overeenkomstige complexe functies beschouwd waarvan de reële delen de oorspronkelijke grootheden zijn. Voor een sinusgolf met een bepaalde frequentie , de absolute waarde | z | van de corresponderende z is de amplitude en het argument arg z is de fase .

Als Fourier-analyse wordt gebruikt om een ​​bepaald signaal met reële waarde te schrijven als een som van periodieke functies, worden deze periodieke functies vaak geschreven als complexe waardefuncties van de vorm

en

waarbij ω de hoekfrequentie vertegenwoordigt en het complexe getal A codeert voor de fase en amplitude zoals hierboven uitgelegd.

Dit gebruik wordt ook uitgebreid naar digitale signaalverwerking en digitale beeldverwerking , waarbij digitale versies van Fourier-analyse (en wavelet- analyse) worden gebruikt om digitale audiosignalen , stilstaande beelden en videosignalen te verzenden, comprimeren , herstellen en anderszins te verwerken .

Een ander voorbeeld dat relevant is voor de twee zijbanden van amplitudemodulatie van AM-radio, is:

Natuurkunde [ bewerken ]

Elektromagnetisme en elektrotechniek [ bewerken ]

In de elektrotechniek wordt de Fourier-transformatie gebruikt om verschillende spanningen en stromen te analyseren . De behandeling van weerstanden , condensatoren en inductoren kan vervolgens worden verenigd door denkbeeldige, frequentieafhankelijke weerstanden voor de laatste twee te introduceren en ze alle drie te combineren in een enkel complex getal dat de impedantie wordt genoemd . Deze benadering wordt phasor- calculus genoemd.

In de elektrotechniek wordt de denkbeeldige eenheid aangeduid met j , om verwarring met I te voorkomen , dat in het algemeen wordt gebruikt om elektrische stroom aan te duiden , of, meer in het bijzonder, i , die in het algemeen wordt gebruikt om momentane elektrische stroom aan te duiden.

Aangezien de spanning in een AC circuit oscilleert, kan worden voorgesteld als

Om de meetbare hoeveelheid te verkrijgen, wordt het echte deel genomen:

Het signaal met complexe waarde V ( t ) wordt de analytische weergave van het werkelijk gewaardeerde, meetbare signaal v ( t ) genoemd .[55]

Vloeistofdynamica [ bewerken ]

In vloeistofdynamica worden complexe functies gebruikt om potentiële stroming in twee dimensies te beschrijven .

Quantum mechanica [ bewerken ]

Het veld met complexe getallen is intrinsiek aan de wiskundige formuleringen van de kwantummechanica , waar complexe Hilbertruimten de context vormen voor een dergelijke formulering die handig en misschien wel het meest standaard is. De oorspronkelijke formules van de kwantummechanica - de Schrödingervergelijking en de matrixmechanica van Heisenberg - maken gebruik van complexe getallen.

Relativiteit [ bewerken ]

In de speciale en algemene relativiteitstheorie worden sommige formules voor de metriek voor ruimtetijd eenvoudiger als men de tijdscomponent van het ruimtetijdcontinuüm als imaginair beschouwt. (Deze benadering is niet langer standaard in de klassieke relativiteitstheorie, maar wordt op een essentiële manier gebruikt in de kwantumveldentheorie .) Complexe getallen zijn essentieel voor spinoren , die een generalisatie zijn van de tensoren die in de relativiteitstheorie worden gebruikt.

Generalisaties en verwante begrippen [ bewerken ]

Cayley Q8 quaternion-grafiek die cycli van vermenigvuldiging met i , j en k weergeeft

Het proces van uitbreiding van het veld van de werkelijkheid tot staat bekend als de Cayley-Dickson-constructie . Het kan verder worden gedragen naar hogere dimensies, wat de quaternionen en octonionen oplevert die (als een echte vectorruimte) respectievelijk dimensie 4 en 8 hebben. In deze context worden de complexe getallen de binarionen genoemd . [56]

Net zoals bij het toepassen van de constructie op reële getallen de eigenschap van ordening verloren gaat, verdwijnen eigenschappen die bekend zijn uit reële en complexe getallen bij elke uitbreiding. De quaternionen verliezen commutativiteit, dat wil zeggen x · yy · x voor sommige quaternionen x ,  y , en de vermenigvuldiging van octonionen is niet alleen commutatief, maar is ook niet associatief: ( x · y ) · zx · ( y · z ) voor sommige octonions x ,  y,  z .

Reals, complexe getallen, quaternions en octonionen op te vatten zijn allemaal normed delingsalgebra boven Door Hurwitz theorema zij de enigen zijn; de sedenions , de volgende stap in de constructie van Cayley-Dickson, hebben deze structuur niet.

De constructie van Cayley-Dickson is nauw verwant aan de reguliere weergave van het denken als een - algebra (een ℝ-vectorruimte met een vermenigvuldiging), met betrekking tot de basis (1,  i ) . Dit betekent het volgende: de -lineaire kaart

voor een vast complex getal kan w worden weergegeven door een matrix van 2 × 2 (als er eenmaal een basis is gekozen). Met betrekking tot de basis (1,  i ) is deze matrix

dat wil zeggen degene die wordt genoemd in de sectie over matrixweergave van complexe getallen hierboven. Hoewel dit een lineaire weergave is van in de 2 × 2 echte matrices, is het niet de enige. Elke matrix

heeft de eigenschap dat het kwadraat is het negatief van de identiteitsmatrix: J 2 = - I . Dan

is ook isomorf met het veld en geeft een alternatieve complexe structuur. Dit wordt gegeneraliseerd door de notie van een lineaire complexe structuur .

Hypercomplexe getallen generaliseren ook en dit begrip bevat bijvoorbeeld de split-complexe getallen , die elementen zijn van de ring (in tegenstelling tot complexe getallen). In deze ring heeft de vergelijking a 2 = 1 vier oplossingen.

Het veld is de voltooiing van het veld van rationale getallen , met betrekking tot de gebruikelijke metriek voor absolute waarde . Andere keuzes van statistieken op leiden tot de velden van p -adic nummers (voor een priemgetal p ), die daardoor analoog aan zijn . Er zijn geen andere niet-triviale manieren om te voltooien dan en door de stelling van Ostrowski . De algebraïsche sluitingen van hebben nog steeds een norm, maar zijn (in tegenstelling tot ) niet compleet. De voltooiing van blijkt algebraïsch gesloten te zijn. Naar analogie wordt het veld p -adic complexe getallen genoemd.

De velden en hun eindige veldextensies, inclusief de zogenaamde lokale velden .

Zie ook [ bewerken ]

  • Algebraïsch oppervlak
  • Cirkelvormige beweging met complexe getallen
  • Complex basissysteem
  • Complexe geometrie
  • Dubbel complex getal
  • Eisenstein geheel getal
  • Euler's identiteit
  • Meetkundige algebra (die het complexe vlak als 2-dimensionale omvat spinor deelruimte )
  • Wortel van eenheid
  • Eenheid complex getal

Notes [ bewerken ]

  1. ^ "Complexe getallen, net zo goed als reële getallen, en misschien zelfs meer, vinden een eenheid met de natuur die werkelijk opmerkelijk is. Het is alsof de natuur zelf net zo onder de indruk is van de reikwijdte en consistentie van het systeem van complexe getallen als wijzelf, en heeft aan deze getallen de precieze werking van haar wereld op de kleinste schaal toevertrouwd. ' - R. Penrose (2016, blz. 73) [5]
  2. ^ "Het vlakwaarvan de punten worden geïdentificeerd met de elementen vanwordt het complexe vlak genoemd" ... "De volledige geometrische interpretatie van complexe getallen en bewerkingen daarop verscheen voor het eerst in het werk van C. Wessel (1799). complexe getallen, ook wel het "Arganddiagram" genoemd, kwamen in gebruik na de publicatie in 1806 en 1814 van artikelen door JR Argand, die grotendeels onafhankelijk de bevindingen van Wessel herontdekte ". - ( Solomentsev 2001 )
  3. ^ In moderne notatie Tartaglia oplossing is gebaseerd op het uitbreiden van de derde macht van de som van twee derdemachtswortels:Met,,, u en v worden uitgedrukt in termen van p en q alsenresp. Daarom. Wanneernegatief is (casus irreducibilis), moet de tweede kubuswortel worden beschouwd als het complexe conjugaat van de eerste.
  4. ^ Het is bewezen dat imaginaire getallen noodzakelijkerwijs in de kubieke formule moeten voorkomen wanneer de vergelijking drie echte, verschillende wortels heeft door Pierre Laurent Wantzel in 1843, Vincenzo Mollame in 1890, Otto Hölder in 1891 en Adolf Kneser in 1892. Paolo Ruffini ook leverde een onvolledig bewijs in 1799. - S. Confalonieri (2015) [21]
  5. ^ Argand (1814) [37] ( p 204 ) definieert de modulus van een complex getal, maar hij noemt het niet:
    "Dans ce qui suit, les accens, indifféremment placés, seront Employés pour indiquer la grandeur absolue des quantités qu ' ils affectent; ainsi, si , et étant réels, on devra entender que ou . "
    [In wat volgt, worden accenttekens, waar ze ook staan, gebruikt om de absolute grootte aan te geven van de hoeveelheden waaraan ze zijn toegewezen; dus als,enals echt, zou men dat moeten begrijpenof.]Argand [37] ( p 208 ) definieert en noemt de
    module en de richting factor van een complex getal: "... pourrait être appelé le module de , et représenterait la grandeur absolue de la ligne , tandis que l'autre facteur, dont le module est l'unité, en représenterait la richting. "
    [... zou de module van kunnen worden genoemd en zou de absolute grootte van de lijn vertegenwoordigen (merk op dat Argand complexe getallen voorstelt als vectoren.) terwijl de andere factor [namelijk ], waarvan de module eenheid [1] is, de richting.] [37]
  6. ^ Gauss (1831) [29] ( p 96 ) schrijft
    "Quemadmodum namelijk arithmetica sublimior in quaestionibus hactenus pertractatis inter solo numeros integros reales versatur, ita theoremata circa residu biquadratica tune tantum in summa simplicitate ac genuina venustate schitterend, quando campus arithmeticae ad kwantificeert imaginarias expanditur, ita ut absque restrictione ipsius obiectum constituant numeri formae a + bi , denotantibus i , pro more quantitatem imaginariam -1 , atque a, b onbepaalde omnes numeros reales integros inter - et + . "
    [Natuurlijk, net zoals de hogere rekenkunde tot dusverre in problemen alleen is onderzocht onder reële gehele getallen, zo schitteren stellingen over biquadratische residuen dan in de grootste eenvoud en echte schoonheid, wanneer het gebied van rekenen wordt uitgebreid tot denkbeeldige grootheden, zodat, zonder beperkingen erop, getallen in de vorm a + bi - i die volgens afspraak de imaginaire grootheid -1 aanduiden , en de variabelen a, b [duidt op] alle reële gehele getallen tussen en - vormen een object.] [29]
  7. ^ Gauss (1831) [29] ( p 96 )
    "Tales numeros vocabimus numeros integros complexos, ita quidem, ut reales complexis non opponantur, sed tamquam species sub his contineri censeantur."
    [We zullen dergelijke getallen [namelijk getallen in de vorm a + bi ] "complexe gehele getallen"noemen, zodat reële [getallen] niet worden beschouwd als het tegenovergestelde van complexe [getallen] maar [als] een type [van getal dat ] zit er als het ware in.] [29]
  8. ^ Gauss (1831) [29] ( p 98 )
    "Productum numeri complexi per numerum ipsi conjunctum utriusque normam vocamus. Pro normaque numeri realis, ipsius quadratum habendum est."
    [We noemen een "norm" het product van een complex getal [bijv. a + ib ] met zijn geconjugeerde [ a - ib ]. Daarom moet het kwadraat van een reëel getal als de norm worden beschouwd.] [29]
  9. ^ Maar voor een andere inverse functie van de complexe exponentiële functie (en niet de hierboven gedefinieerde hoofdwaarde), zou de vertakking op een andere straal door de oorsprongkunnen worden genomen.

Referenties [ bewerken ]

  1. ^ Zie Bourbaki, Nicolas (1998) voor een uitgebreid verslag van de geschiedenis van 'denkbeeldige' getallen, van aanvankelijke scepsis tot uiteindelijke acceptatie . "Fundamenten van de wiskunde § Logica: verzamelingenleer". Elementen van de geschiedenis van de wiskunde . Springer. pp. 18–24.
  2. ^ a b c "Uitgebreide lijst van algebra-symbolen" . Wiskunde kluis . 25 maart 2020 . Ontvangen 12 augustus 2020 .
  3. ^ a b c "Complexe getallen" . www.mathsisfun.com . Ontvangen 12 augustus 2020 .
  4. ^ "Complexe getallen" . Briljante Math & Science Wiki . Ontvangen 12 augustus 2020 .
  5. ^ Penrose, Roger (2016). The Road to Reality: Een complete gids voor de wetten van het universum (herdruk red.). Willekeurig huis. pp. 72-73. ISBN 978-1-4464-1820-8.
  6. ^ Axler, Sheldon (2010). Algebra van het college . Wiley. p. 262 .
  7. ^ Spiegel, MR; Lipschutz, S .; Schiller, JJ; Spellman, D. (14 april 2009). Complexe variabelen . Schaum's Outline Series (2e ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161569-3.
  8. ^ Aufmann, Richard N .; Barker, Vernon C .; Nation, Richard D. (2007). "Hoofdstuk P" . College Algebra en trigonometrie (6 ed.). Cengage leren. p. 66. ISBN 978-0-618-82515-8.
  9. ^ ( Bourbaki 1998 , §VIII.1)
  10. ^ Zie ( Ahlfors 1979 ).
  11. ^ Brown, James Ward; Churchill, Ruel V. (1996). Complexe variabelen en toepassingen (6e ed.). New York: McGraw-Hill. p. 2. ISBN 978-0-07-912147-9. In elektrotechniek wordt de letter j gebruikt in plaats van i .
  12. ^ Pedoe, Dan (1988). Geometrie: een uitgebreide cursus . Dover. ISBN 978-0-486-65812-4.
  13. ^ a b Weisstein, Eric W. "Complex Number" . mathworld.wolfram.com . Ontvangen 12 augustus 2020 .
  14. ^ Zie ( Apostol 1981 ), pagina 18.
  15. ^ Kasana, HS (2005). "Hoofdstuk 1" . Complexe variabelen: theorie en toepassingen (2e ed.). PHI Learning Pvt. Ltd. p. 14. ISBN 978-81-203-2641-5.
  16. ^ Nilsson, James William; Riedel, Susan A. (2008). "Hoofdstuk 9" . Elektrische circuits (8e ed.). Prentice Hall. p. 338. ISBN 978-0-13-198925-2.
  17. ^ Kline, Morris. Een geschiedenis van wiskundig denken, deel 1 . p. 253.
  18. ^ Katz, Victor J. (2004). "9.1.4". Een geschiedenis van de wiskunde, korte versie . Addison-Wesley . ISBN 978-0-321-16193-2.
  19. ^ Hamilton, Wm. (1844). "Op een nieuwe soort van denkbeeldige grootheden die verband houden met een theorie van quaternionen" . Proceedings of the Royal Irish Academy . 2 : 424-434.
  20. ^ Nahin, Paul J. (2007). An Imaginary Tale: The Story of −1 . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-12798-9. Gearchiveerd van het origineel op 12 oktober 2012 . Ontvangen 20 april 2011 .
  21. ^ a b Confalonieri, Sara (2015). De onbereikbare poging om de Casus Irreducibilis voor kubieke vergelijkingen te vermijden: Gerolamo Cardano's De Regula Aliza . Springer. pp. 15–16 (noot 26). ISBN 978-3658092757.
  22. ^ Descartes, René (1954) [1637]. La Géométrie | De geometrie van René Descartes met een facsimile van de eerste editie . Dover Publications . ISBN 978-0-486-60068-0. Ontvangen 20 april 2011 .
  23. ^ Euler, Leonard (1748). Introductie in Analysin Infinitorum [ Inleiding tot de analyse van het oneindige ] (in het Latijn). vol. 1. Luzern, Zwitserland: Marc Michel Bosquet & Co. p. 104. |volume= has extra text (help)
  24. ^ Wessel, Caspar (1799). "Om Directionens analytiske Betegning, et Forsog, anvendt fornemmelig til plane og sphæriske Polygoners Oplosning" [Over de analytische weergave van richting, een inspanning die in het bijzonder werd toegepast op de bepaling van vlakke en sferische polygonen]. Nye Samling van det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter [nieuwe verzameling geschriften van de Royal Danish Science Society] (in het Deens). 5 : 469-518.
  25. ^ Wallis, John (1685). Een verhandeling over de algebra, zowel historisch als praktisch… . Londen, Engeland: gedrukt door John Playford, voor Richard Davis. blz. 264-273.
  26. ^ Argand (1806). Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques [ Essay over een manier om complexe grootheden weer te geven door geometrische constructies ] (in het Frans). Parijs, Frankrijk: Madame Veuve Blanc.
  27. ^ Gauss, Carl Friedrich (1799) "Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse." [Nieuw bewijs van de stelling dat elke rationele integrale algebraïsche functie van een enkele variabele kan worden opgelost in reële factoren van de eerste of tweede graad.] Ph.D. proefschrift, Universiteit van Helmstedt, (Duitsland). (in Latijns)
  28. ^ a b Ewald, William B. (1996). Van Kant tot Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics . 1 . Oxford Universiteit krant. p. 313. ISBN 9780198505358. Ontvangen 18 maart 2020 .
  29. ^ a b c d e f g h Gauss, CF (1831). "Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda" [Theorie van biquadratische residuen. Tweede memoires.]. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores (in het Latijn). 7 : 89-148.
  30. ^ Adrien Quentin Buée (1745-1845): MacTutor
  31. ^ Buée (1806). "Mémoire sur les quantités imaginaires" [Memoires over imaginaire grootheden]. Philosophical Transactions of the Royal Society of London (in het Frans). 96 : 23-88. doi : 10.1098 / rstl.1806.0003 . S2CID 110394048 . 
  32. ^ Mourey, CV (1861). La vraies theore des quantités négatives et des quantités prétendues imaginaires [ De ware theorie van negatieve grootheden en vermeende imaginaire grootheden ] (in het Frans). Parijs, Frankrijk: Mallet-Bachelier. 1861 herdruk van 1828 origineel.
  33. ^ Zie:
     • Warren, John (1828). Een verhandeling over de geometrische weergave van de vierkantswortels van negatieve hoeveelheden . Cambridge, Engeland: Cambridge University Press.
     • Warren, John (1829). "Overweging van de bezwaren tegen de geometrische weergave van de vierkantswortels van negatieve grootheden" . Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 119 : 241-254. doi : 10.1098 / rstl.1829.0022 . S2CID 186211638 . 
     • Warren, John (1829). "Over de geometrische weergave van de machten van grootheden, waarvan de indices de vierkantswortels van negatieve getallen omvatten" . Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 119 : 339-359. doi : 10.1098 / rstl.1829.0031 . S2CID 125699726 . 
  34. ^ Français, JF (1813). " Nieuwe principes van positiebepaling, en interpretatie van symbolen en symbolen " [Nieuwe principes van de geometrie van positie en geometrische interpretatie van complexe [getal] symbolen]. Annales des mathématiques pures et appliquées (in het Frans). 4 : 61-71.
  35. ^ Caparrini, Sandro (2000). ‘Over de gemeenschappelijke oorsprong van enkele werken over de geometrische interpretatie van complexe getallen’ . In Kim Williams (red.). Twee culturen . Birkhäuser. p. 139. ISBN 978-3-7643-7186-9.
  36. ^ Winterhard, GH; Wright, EM (2000) [1938]. Een inleiding tot de theorie van getallen . OUP Oxford . p. 189 (vierde editie). ISBN 978-0-19-921986-5.
  37. ^ a b c Argand (1814). "Reflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suives d'une application à la demonstration d'un theorème d'analise" [Beschouwingen over de nieuwe theorie van complexe getallen, gevolgd door een toepassing op het bewijs van een analysestelling]. Annales de mathématiques pures et appliquées (in het Frans). 5 : 197-209.
  38. ^ Jeff Miller (21 september 1999). "MODULUS" . Vroegst bekende toepassingen van enkele van de woorden van de wiskunde (M) . Gearchiveerd van het origineel op 3 oktober 1999.CS1 maint: unfit URL (link)
  39. ^ Cauchy, Augustin Louis (1821). Cours d'analyse de l'École royale polytechnique (in het Frans). vol. 1. Parijs, Frankrijk: L'Imprimerie Royale. p. 183. |volume= has extra text (help)
  40. ^ Hankel, Hermann (1867). Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen [ Lezingen over de complexe getallen en hun functies ] (in het Duits). vol. 1. Leipzig, [Duitsland]: Leopold Voss. p. 71. |volume= has extra text (help) Vanaf p. 71: "Wir werden den Factor ( cos φ + i sin φ) haüfig den Richtungscoefficienten nennen." (We zullen de factor (cos φ + i sin φ) vaak de "richtingscoëfficiënt" noemen.)
  41. ^ Zie ( Apostol 1981 ), blz. 15–16voor de eerste notatie.
  42. ^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). Handboek met wiskundige functies met formules, grafieken en wiskundige tabellen . Koerier Dover Publications. p. 17. ISBN 978-0-486-61272-0. Gearchiveerd van het origineel op 23 april 2016 . Ontvangen 16 februari 2016 ., Sectie 3.7.26, p. 17 Gearchiveerd 10 september 2009 bij de Wayback Machine
  43. ^ Cooke, Roger (2008). Klassieke algebra: de aard, oorsprong en toepassingen . John Wiley en zonen. p. 59. ISBN 978-0-470-25952-8. Gearchiveerd van het origineel op 24 april 2016 . Ontvangen 16 februari 2016 ., Uittreksel: pagina 59 Gearchiveerd op 23 april 2016 op de Wayback Machine
  44. ^ Zie ( Ahlfors 1979 ), pagina 3.
  45. ^ a b Zie ( Apostol 1981 ), pagina 15–16.
  46. ^ Zie ( Apostol 1981 ), pagina 25.
  47. ^ ( Bourbaki 1998 , §VIII.1)
  48. ^ Marker, David (1996). "Inleiding tot de modeltheorie van velden" . In Marker, D .; Messmer, M .; Pillay, A. (red.). Modeltheorie van velden . Lecture Notes in Logic. 5 . Berlijn: Springer-Verlag. pp. 1-37. ISBN 978-3-540-60741-0. MR  1477154 .
  49. ^ ( Bourbaki 1998 , §VIII.4)
  50. ^ Corry, Leo (2015). Een korte geschiedenis van getallen . Oxford Universiteit krant. blz. 215-16.
  51. ^ ( Bourbaki 1998 , §VIII.1)
  52. ^ Lester, JA (1994). "Driehoeken I: Vormen". Aequationes Mathematicae . 52 : 30-54. doi : 10.1007 / BF01818325 . S2CID 121095307 . 
  53. ^ Kalman, Dan (2008a). ‘Een elementair bewijs van de stelling van Marden’ . American Mathematical Monthly . 115 (4): 330-38. doi : 10.1080 / 00029890.2008.11920532 . ISSN 0002-9890 . S2CID 13222698 . Gearchiveerd van het origineel op 8 maart 2012 . Ontvangen 1 januari 2012 .  
  54. ^ Kalman, Dan (2008b). "De meest wonderbaarlijke stelling in de wiskunde" . Journal of Online Mathematics en zijn toepassingen . Gearchiveerd van het origineel op 8 februari 2012 . Ontvangen 1 januari 2012 .
  55. ^ Grant, IS; Phillips, WR (2008). Elektromagnetisme (2 red.). Manchester Physics Series. ISBN 978-0-471-92712-9.
  56. ^ McCrimmon, Kevin (2004). A Taste of Jordan Algebras . Universitext. Springer. p. 64. ISBN 0-387-95447-3. MR 2014924

Geciteerde werken [ bewerken ]

  • Ahlfors, Lars (1979). Complexe analyse (3e ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
  • Apostol, Tom (1981). Wiskundige analyse . Addison-Wesley.
  • Solomentsev, ED (2001) [1994], "Complex number" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

Verder lezen [ bewerken ]

  • Penrose, Roger (2005). The Road to Reality: een complete gids voor de wetten van het universum . Alfred A. Knopf. ISBN 978-0-679-45443-4.
  • Derbyshire, John (2006). Onbekende hoeveelheid: een echte en denkbeeldige geschiedenis van algebra . Joseph Henry Press. ISBN 978-0-309-09657-7.
  • Needham, Tristan (1997). Visuele complexe analyse . Clarendon Press. ISBN 978-0-19-853447-1.

Mathematische [ bewerken ]

  • Ahlfors, Lars (1979). Complexe analyse (3e ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
  • Conway, John B. (1986). Functies van een complexe variabele I . Springer. ISBN 978-0-387-90328-6.
  • Joshi, Kapil D. (1989). Fundamenten van discrete wiskunde . New York: John Wiley & Sons . ISBN 978-0-470-21152-6.
  • Pedoe, Dan (1988). Geometrie: een uitgebreide cursus . Dover. ISBN 978-0-486-65812-4.
  • Druk op, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Paragraaf 5.5 Complexe rekenkunde" . Numerieke recepten: de kunst van wetenschappelijk computergebruik (3e ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
  • Solomentsev, ED (2001) [1994], "Complex number" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

Historisch [ bewerken ]

  • Bourbaki, Nicolas (1998). "Fundamenten van de wiskunde § logica: verzamelingenleer". Elementen uit de geschiedenis van de wiskunde . Springer.
  • Burton, David M. (1995). De geschiedenis van de wiskunde (3e ed.). New York: McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-009465-9.
  • Katz, Victor J. (2004). Een geschiedenis van de wiskunde, korte versie . Addison-Wesley . ISBN 978-0-321-16193-2.
  • Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02795-1. - Een zachte inleiding tot de geschiedenis van complexe getallen en het begin van complexe analyse.
  • Ebbinghaus, HD; Hermes, H .; Hirzebruch, F .; Koecher, M .; Mainzer, K .; Neukirch, J .; Prestel, A .; Remmert, R. (1991). Nummers (hardcover red.). Springer. ISBN 978-0-387-97497-2. - Een gevorderd perspectief op de historische ontwikkeling van het begrip getal.