Gemeenschappelijk eigendom

De commutatieve eigenschap (of commutatieve wet ) is een eigenschap die doorgaans wordt geassocieerd met binaire bewerkingen en functies . Als de commutatieve eigenschap geldt voor een paar elementen onder een bepaalde binaire bewerking, dan wordt gezegd dat de twee elementen onder die bewerking commuteren .

De term "commutatief" wordt in verschillende verwante betekenissen gebruikt. ^{[4] [5]}

1. Een binaire bewerking ${\ displaystyle *}$op een set S heet commutatief als:
   $${\ displaystyle x * y = y * x \ qquad {\ mbox {voor alle}} x, y \ in S}$$

   
   Een bewerking die niet aan de bovenstaande eigenschap voldoet, wordt niet-commutatief genoemd .
2. Men zegt dat x pendelt met y onder${\ displaystyle *}$ als:
   $${\ displaystyle x * y = y * x}$$

   
3. Een binaire functie ${\ displaystyle f \ dubbele punt A \ maal A \ tot B}$wordt commutatief genoemd als:
   $${\ displaystyle f (x, y) = f (y, x) \ qquad {\ mbox {voor alle}} x, y \ in A}$$

   

Commutatieve operaties in het dagelijks leven

De cumulatie van appels, die kan worden gezien als een optelling van natuurlijke getallen, is commutatief.

• Sokken aantrekken lijkt op een commutatieve handeling, aangezien het onbelangrijk is welke sok als eerste wordt aangetrokken. Hoe dan ook, het resultaat (met beide sokken aan) is hetzelfde. Het aantrekken van ondergoed en broeken daarentegen is niet commutatief.
• De commutativiteit van optelling wordt in acht genomen bij het betalen van een item met contant geld. Ongeacht de volgorde waarin de facturen worden ingeleverd, geven ze altijd hetzelfde totaal.

Commutatieve bewerkingen in de wiskunde

De toevoeging van vectoren is commutatief, omdat ${\ displaystyle {\ vec {a}} + {\ vec {b}} = {\ vec {b}} + {\ vec {a}}}$.

Twee bekende voorbeelden van commutatieve binaire bewerkingen: ^[4]

• De toevoeging van reële getallen is sindsdien commutatief
  $${\ displaystyle y + z = z + y \ qquad {\ mbox {voor iedereen}} y, z \ in \ mathbb {R}}$$

  
  Bijvoorbeeld 4 + 5 = 5 + 4, aangezien beide uitdrukkingen gelijk zijn aan 9.
• De vermenigvuldiging van reële getallen is sindsdien commutatief
  $${\ displaystyle yz = zy \ qquad {\ mbox {voor iedereen}} y, z \ in \ mathbb {R}}$$

  

  Bijvoorbeeld 3 × 5 = 5 × 3, aangezien beide uitdrukkingen gelijk zijn aan 15.

  Als direct gevolg hiervan geldt ook dat uitdrukkingen op de vorm y% van z en z% van y commutatief zijn voor alle reële getallen y en z. ^[6] Bijvoorbeeld 64% van 50 = 50% van 64, aangezien beide uitdrukkingen gelijk zijn aan 32, en 30% van 50% = 50% van 30%, aangezien beide uitdrukkingen gelijk zijn aan 15%.

• Sommige binaire waarheidsfuncties zijn ook commutatief, aangezien de waarheidstabellen voor de functies hetzelfde zijn wanneer men de volgorde van de operanden verandert.

  De logische biconditionele functie p ↔ q is bijvoorbeeld equivalent aan q ↔ p. Deze functie wordt ook geschreven als p IFF q, of als p ≡ q, of als E pq .

  De laatste vorm is een voorbeeld van de meest beknopte notatie in het artikel over waarheidsfuncties, waarin de zestien mogelijke binaire waarheidsfuncties worden opgesomd, waarvan er acht commutatief zijn: V pq = V qp ; A pq (OR) = A qp ; D pq (NAND) = D qp ; E pq (IFF) = E qp ; J pq = J qp ; K pq (EN) = K qp ; X pq (NOR) = X qp ; O pq = O qp .

• Verdere voorbeelden van commutatieve binaire activiteiten omvatten optellen en vermenigvuldigen van complexe getallen , optelling en scalaire vermenigvuldiging van vectoren , en de kruising en de vereniging van sets .

Niet-commutatieve operaties in het dagelijks leven

• Aaneenschakeling , het samenvoegen van tekenreeksen, is een niet-commutatieve bewerking. Bijvoorbeeld,

  EA + T = ETEN ≠ THEE = T + EA

• Het wassen en drogen van kleding lijkt op een niet-commutatieve handeling; wassen en vervolgens drogen geeft een duidelijk ander resultaat dan drogen en vervolgens wassen.
• Door een boek 90 ° om een ​​verticale as en vervolgens 90 ° om een ​​horizontale as te draaien, wordt een andere oriëntatie verkregen dan wanneer de rotaties in de tegenovergestelde volgorde worden uitgevoerd.
• De wendingen van de Rubik's Cube zijn niet-commutatief. Dit kan worden bestudeerd met behulp van groepentheorie .
• Denkprocessen zijn niet-commutatief: een persoon stelt een vraag (A) en vervolgens een vraag (B) kan verschillende antwoorden geven op elke vraag dan een persoon die eerst wordt gesteld (B) en vervolgens (A), omdat het stellen van een vraag de toestand van de persoon kan veranderen van geest.
• De handeling van het aankleden is ofwel commutatief of niet-commutatief, afhankelijk van de items. Ondergoed en normale kleding aantrekken is niet commutatief. Het aantrekken van linker- en rechtersokken is commutatief.
• Het schudden van een spel kaarten is niet commutatief. Gegeven twee manieren, A en B, om een ​​pak kaarten te schudden, is A eerst en dan B in het algemeen niet hetzelfde als B eerst en dan A doen.

Niet-commutatieve bewerkingen in de wiskunde

Enkele niet-commutatieve binaire bewerkingen: ^[7]

Delen en aftrekken

Divisie is sindsdien niet-commutatief${\ displaystyle 1 \ div 2 \ neq 2 \ div 1}$.

Aftrekken is niet-commutatief, aangezien${\ displaystyle 0-1 \ neq 1-0}$. Sindsdien is het echter nauwkeuriger geclassificeerd als anti-commutatief${\ displaystyle 0-1 = - (1-0)}$.

Waarheid functioneert

Sommige waarheidsfuncties zijn niet-commutatief, aangezien de waarheidstabellen voor de functies anders zijn wanneer men de volgorde van de operanden verandert. De waarheidstabellen voor (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) en (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) zijn bijvoorbeeld

EEN	B	A ⇒ B	B ⇒ A
F.	F.	T	T
F.	T	T	F.
T	F.	F.	T
T	T	T	T

Functiesamenstelling van lineaire functies

Functiesamenstelling van lineaire functies van de reële getallen tot de reële getallen is bijna altijd niet-commutatief. Laat bijvoorbeeld${\ displaystyle f (x) = 2x + 1}$ en ${\ displaystyle g (x) = 3x + 7}$. Dan

${\ displaystyle (f \ circ g) (x) = f (g (x)) = 2 (3x + 7) + 1 = 6x + 15}$

en

${\ displaystyle (g \ circ f) (x) = g (f (x)) = 3 (2x + 1) + 7 = 6x + 10}$

Dit geldt ook meer in het algemeen voor lineaire en affiene transformaties van een vectorruimte naar zichzelf (zie hieronder voor de matrixweergave).

Matrix vermenigvuldiging

Matrixvermenigvuldiging van vierkante matrices is bijna altijd niet-commutatief, bijvoorbeeld:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix }} \ neq {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \ end { bmatrix}}}$

Vector product

Het vectorproduct (of kruisproduct ) van twee vectoren in drie dimensies is anti-commutatief ; dwz b × a = - ( a × b ).

Het eerste bekende gebruik van de term was in een Frans tijdschrift dat in 1814 werd gepubliceerd

Records van het impliciete gebruik van de commutatieve eigenschap gaan terug tot de oudheid. De Egyptenaren gebruikten de Commutativiteit van vermenigvuldiging te berekenen vereenvoudigen producten . ^{[8] [9] Het} is bekend dat Euclides de commutatieve eigenschap van vermenigvuldiging heeft aangenomen in zijn boek Elements . ^[10] Formeel gebruik van de commutatieve eigenschap ontstond in de late 18e en vroege 19e eeuw, toen wiskundigen begonnen te werken aan een theorie van functies. Tegenwoordig is de commutatieve eigenschap een bekende en basiseigenschap die in de meeste takken van de wiskunde wordt gebruikt.

Het eerste geregistreerde gebruik van de term commutatief was in een memoires van François Servois in 1814, ^{[1] [11]} waarin het woord commutatieven werd gebruikt bij het beschrijven van functies die hebben wat nu de commutatieve eigenschap wordt genoemd. Het woord is een combinatie van het Franse woord commuter dat "vervangen of wisselen" betekent en het achtervoegsel -ative dat "neigt naar" betekent, dus het woord betekent letterlijk "neiging om te vervangen of om te schakelen". De term verscheen vervolgens in het Engels in 1838 ^[2] in het artikel van Duncan Farquharson Gregory getiteld "On the real nature of symbolical algebra", gepubliceerd in 1840 in de Transactions of the Royal Society of Edinburgh . ^[12]

Regel van vervanging

In waarheidsfunctionele propositielogica, commutatie , ^{[13] [14]} of commutativiteit ^[15] naar twee geldige regels vervanging . De regels stellen iemand in staat om propositionele variabelen binnen logische uitdrukkingen in logische bewijzen om te zetten . De regels zijn:

${\ displaystyle (P \ lor Q) \ Leftrightarrow (Q \ lor P)}$

en

${\ Displaystyle (P \ land Q) \ Leftrightarrow (Q \ land P)}$

waar "${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$"is een metalogisch symbool dat staat voor" kan in een proef worden vervangen door ".

Waarheid functionele connectieven

Commutativiteit is een eigenschap van enkele logische connectieven van waarheidsfunctionele propositionele logica . De volgende logische equivalenties laten zien dat commutativiteit een eigenschap is van bepaalde connectieven. De volgende zijn waarheidsfunctionele tautologieën .

Commutativiteit van conjunctie

${\ Displaystyle (P \ land Q) \ leftrightarrow (Q \ land P)}$

Commutativiteit van disjunctie

${\ Displaystyle (P \ lor Q) \ leftrightarrow (Q \ lor P)}$

Commutativiteit van implicatie (ook wel de wet van permutatie genoemd)

${\ Displaystyle (P \ to (Q \ to R)) \ leftrightarrow (Q \ to (P \ to R))}$

Commutativiteit van gelijkwaardigheid (ook wel de volledige commutatieve gelijkwaardigheidswet genoemd)

${\ displaystyle (P \ leftrightarrow Q) \ leftrightarrow (Q \ leftrightarrow P)}$

In groeps- en verzamelingenleer worden veel algebraïsche structuren commutatief genoemd wanneer bepaalde operanden voldoen aan de commutatieve eigenschap. In hogere takken van de wiskunde, zoals analyse en lineaire algebra, wordt de commutativiteit van bekende bewerkingen (zoals optellen en vermenigvuldigen op reële en complexe getallen) vaak gebruikt (of impliciet aangenomen) in bewijzen. ^{[16] [17] [18]}

• Een commutatieve semigroep is een set begiftigd met een totale, associatieve en commutatieve bewerking.
• Als de bewerking bovendien een identiteitselement heeft , hebben we een commutatieve monoïde
• Een abelse groep of commutatieve groep is een groep waarvan de groepswerking commutatief is. ^[17]
• Een commutatieve ring is een ring waarvan de vermenigvuldiging commutatief is. (Optellen in een ring is altijd commutatief.) ^[19]
• In een veld zijn zowel optellen als vermenigvuldigen commutatief. ^[20]

Associativiteit

De associatieve eigenschap is nauw verwant aan de commutatieve eigenschap. De associatieve eigenschap van een uitdrukking die twee of meer exemplaren van dezelfde operator bevat, stelt dat de volgorde waarin de bewerkingen worden uitgevoerd, geen invloed heeft op het uiteindelijke resultaat, zolang de volgorde van de termen niet verandert. De commutatieve eigenschap stelt daarentegen dat de volgorde van de termen geen invloed heeft op het eindresultaat.

De meeste commutatieve bewerkingen die in de praktijk worden aangetroffen, zijn ook associatief. Commutativiteit impliceert echter geen associativiteit. Een tegenvoorbeeld is de functie

${\ displaystyle f (x, y) = {\ frac {x + y} {2}},}$

die duidelijk commutatief is (het verwisselen van x en y heeft geen invloed op het resultaat), maar het is niet associatief (omdat, bijvoorbeeld,${\ displaystyle f (-4, f (0, + 4)) = - 1}$ maar ${\ displaystyle f (f (-4,0), + 4) = + 1}$). Meer van dergelijke voorbeelden zijn te vinden in commutatieve niet-associatieve magma's .

Distributief

Symmetrie

Grafiek met de symmetrie van de optelfunctie

Sommige vormen van symmetrie kunnen direct worden gekoppeld aan commutativiteit. Wanneer een commutatieve operator wordt geschreven als een binaire functie, is de resulterende functie symmetrisch over de lijn${\ displaystyle y = x}$. Als we bijvoorbeeld een functie f de optelling laten vertegenwoordigen (een commutatieve bewerking), zodat${\ displaystyle f (x, y) = x + y}$ dan ${\ displaystyle f}$ is een symmetrische functie, die te zien is in de afbeelding hiernaast.

Voor relaties is een symmetrische relatie analoog aan een commutatieve bewerking, in die zin dat als een relatie R symmetrisch is, dan${\ displaystyle aRb \ Leftrightarrow bRa}$.

In de kwantummechanica zoals geformuleerd door Schrödinger , worden fysische variabelen weergegeven door lineaire operatoren zoals${\ displaystyle x}$ (wat betekent vermenigvuldigen met ${\ displaystyle x}$), en ${\ tekststijl {\ frac {d} {dx}}}$. Deze twee operators pendelen niet zoals blijkt uit het effect van hun composities ${\ textstyle x {\ frac {d} {dx}}}$ en ${\ tekststijl {\ frac {d} {dx}} x}$(ook wel producten van operators genoemd) op een eendimensionale golffunctie ${\ displaystyle \ psi (x)}$:

${\ displaystyle x \ cdot {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} x} \ psi = x \ cdot \ psi '\ \ neq \ \ psi + x \ cdot \ psi' = {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} x} \ left (x \ cdot \ psi \ right)}$

Volgens het onzekerheidsprincipe van Heisenberg , als de twee operators die een paar variabelen vertegenwoordigen niet pendelen, dan zijn dat paar variabelen elkaar complementair , wat betekent dat ze niet tegelijkertijd kunnen worden gemeten of precies bekend kunnen zijn. Bijvoorbeeld de positie en het lineaire momentum in de${\ displaystyle x}$-richting van een deeltje worden vertegenwoordigd door de operators ${\ displaystyle x}$ en ${\ displaystyle -i \ hbar {\ frac {\ partiële} {\ partiële x}}}$, respectievelijk (waar ${\ displaystyle \ hbar}$is de gereduceerde constante van Planck ). Dit is hetzelfde voorbeeld behalve de constante${\ displaystyle -i \ hbar}$, dus nogmaals, de operators pendelen niet en de fysieke betekenis is dat de positie en het lineaire momentum in een bepaalde richting complementair zijn.

• Anticommutatieve eigenschap
• Centralisator en normalisator (ook wel commutant genoemd)
• Commutatief diagram
• Commutatief (neurofysiologie)
• Commutator
• Parallellogramwet
• Deeltjesstatistieken (voor commutativiteit in de natuurkunde )
• Quasi-commutatieve eigenschap
• Traceer monoid
• Waarschijnlijkheid van woon-werkverkeer

Boeken

• Axler, Sheldon (1997). Lineaire algebra goed gedaan, 2e . Springer. ISBN 0-387-98258-2.

  Abstracte algebra-theorie. Omvat commutativiteit in die context. Gebruikt eigendom gedurende het hele boek.

• Copi, Irving M .; Cohen, Carl (2005). Inleiding tot logica . Prentice Hall.
• Gallian, Joseph (2006). Hedendaagse abstracte algebra, 6e . Boston, Massachusetts: Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6.

  Lineaire algebra-theorie. Verklaart commutativiteit in hoofdstuk 1, gebruikt het overal.

• Goodman, Frederick (2003). Algebra: abstract en concreet, nadruk op symmetrie, 2e . Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0.

  Abstracte algebra-theorie. Gebruikt commutativiteitseigenschap in het hele boek.

• Hurley, Patrick (1991). Een beknopte inleiding tot Logic 4e editie . Wadsworth Publishing.

Lidwoord

• https://web.archive.org/web/20070713072942/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). De wiskundige erfenis van het oude Egypte - een reactie op Robert Palter. Ongepubliceerd manuscript.

  Artikel dat het wiskundige vermogen van oude beschavingen beschrijft.

• Robins, R. Gay en Charles CD Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text . Londen: British Museum Publications Limited. ISBN  0-7141-0944-4

  Vertaling en interpretatie van de Rhind Mathematical Papyrus .

Online bronnen

• "Commutativity" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Krowne, Aaron, Commutative bij PlanetMath ., Betreden 8 augustus 2007.

  Definitie van commutativiteit en voorbeelden van commutatieve bewerkingen

• Weisstein, Eric W. "Commute" . MathWorld ., Betreden 8 augustus 2007.

  Toelichting op het begrip pendelen

• Yark . Voorbeelden van niet-commutatieve bewerkingen bij PlanetMath ., Betreden 8 augustus 2007

  Voorbeelden die enkele niet-commutatieve bewerkingen bewijzen

• O'Conner, JJ en Robertson, E F. MacTutor geschiedenis van reële getallen , geraadpleegd op 8 augustus 2007

  Artikel met de geschiedenis van de reële getallen

• Cabillón, Julio en Miller, Jeff. Vroegst bekende toepassingen van wiskundige termen , geraadpleegd op 22 november 2008

  Pagina met het vroegste gebruik van wiskundige termen

• O'Conner, JJ en Robertson, E F. MacTutor biografie van François Servois , geraadpleegd op 8 augustus 2007

  Biografie van Francois Servois, die de term voor het eerst gebruikte