Toevoeging

Het plusteken

Optellen wordt geschreven met het plusteken "+" tussen de termen; ^{[2] [3]} dat wil zeggen in tussenvoegselnotatie . Het resultaat wordt uitgedrukt met een gelijkteken . Bijvoorbeeld,

${\ displaystyle 1 + 1 = 2}$ ("een plus een is twee")

${\ displaystyle 2 + 2 = 4}$ ("twee plus twee is gelijk aan vier")

${\ displaystyle 1 + 2 = 3}$ ("één plus twee is gelijk aan drie")

${\ displaystyle 5 + 4 + 2 = 11}$(zie "associativiteit" hieronder )

${\ displaystyle 3 + 3 + 3 + 3 = 12}$(zie "vermenigvuldiging" hieronder )

Zuilvormige optelling - de getallen in de kolom moeten worden opgeteld, waarbij de som onder het onderstreepte getal wordt geschreven.

Er zijn ook situaties waarin toevoeging wordt "begrepen", ook al verschijnt er geen symbool:

• Een geheel getal gevolgd door een breuk geeft de som van de twee aan, een gemengd getal genoemd . ^[4] Bijvoorbeeld
        3½ = 3 + ½ = 3,5.
  Deze notatie kan verwarring veroorzaken, omdat in de meeste andere contexten juxtapositie in plaats daarvan vermenigvuldiging aangeeft . ^[5]

De som van een reeks gerelateerde getallen kan worden uitgedrukt door middel van hoofdletter sigma-notatie , die compact iteratie aangeeft . Bijvoorbeeld,

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {5} k ^ {2} = 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + 5 ^ {2} = 55.}$

De cijfers of de voorwerpen die moeten worden toegevoegd in het algemeen bovendien worden gezamenlijk aangeduid als de voorwaarden , ^[6] de addends ^{[7] [8] [9]} of summands ; ^[10] deze terminologie wordt overgedragen naar de optelling van meerdere termen. Dit is te onderscheiden van factoren die worden vermenigvuldigd . Sommige auteurs noemen het eerste addend het augend . ^{[7] [8] [9]} In feite, tijdens de Renaissance , beschouwden veel auteurs het eerste addend helemaal niet als een ‘addend’. Tegenwoordig wordt, vanwege de commutatieve eigenschap van optellen, "augend" zelden gebruikt, en beide termen worden over het algemeen addends genoemd. ^[11]

Alle bovenstaande terminologie is afgeleid van het Latijn . " Addition " en " add " zijn Engelse woorden afgeleid van het Latijnse werkwoord addere , dat op zijn beurt een samenstelling is van ad "to" en durf "te geven", van de Proto-Indo-Europese wortel * deh₃- "geven" ; dus toevoegen is geven . ^{[11] Het} gebruik van het gerundive- achtervoegsel -nd resulteert in "addend", "thing to be added". ^[a] Evenzo van augere "te verhogen", krijgt men "augend", "te verhogen ding".

Opnieuw getekende illustratie uit The Art of Nombryng , een van de eerste Engelse rekenkundige teksten, in de 15e eeuw. ^[12]

"Som" en "summand" zijn afgeleid van het Latijnse zelfstandig naamwoord summa "de hoogste, de top" en het bijbehorende werkwoord summare . Dit is niet alleen passend omdat de som van twee positieve getallen groter is dan een van beide, maar omdat het gebruikelijk was dat de oude Grieken en Romeinen naar boven optelden, in tegenstelling tot de moderne praktijk om naar beneden toe te tellen, zodat een som letterlijk hoger was dan de toevoegingen. ^[13] Addere en summare dateren tenminste van Boethius , zo niet van eerdere Romeinse schrijvers zoals Vitruvius en Frontinus ; Boethius gebruikte ook verschillende andere termen voor de opteloperatie. De latere Middelengels termen "adden" en "toevoegen" werden gepopulariseerd door Chaucer . ^[14]

Het plusteken "+" ( Unicode : U + 002B; ASCII : +) is een afkorting van het Latijnse woord et , wat "en". ^[15] Het komt voor in wiskundige werken die teruggaan tot minstens 1489. ^[16]

Optellen wordt gebruikt om veel fysieke processen te modelleren. Zelfs voor het simpele geval van het optellen van natuurlijke getallen , zijn er veel mogelijke interpretaties en zelfs meer visuele representaties.

Sets combineren

Misschien wel de meest fundamentele interpretatie van optellen ligt in het combineren van sets:

• Wanneer twee of meer onsamenhangende collecties worden gecombineerd tot één collectie, is het aantal objecten in de enkele collectie de som van het aantal objecten in de oorspronkelijke collecties.

Deze interpretatie is gemakkelijk te visualiseren, met weinig gevaar voor dubbelzinnigheid. Het is ook nuttig in hogere wiskunde (voor de strikte definitie die het inspireert, zie § Natuurlijke getallen hieronder). Het is echter niet duidelijk hoe deze versie van optellen moet worden uitgebreid met fractionele getallen of negatieve getallen. ^[17]

Een mogelijke oplossing is om verzamelingen objecten te overwegen die gemakkelijk kunnen worden verdeeld, zoals taarten of, nog beter, gesegmenteerde staven. ^[18] In plaats van alleen verzamelingen segmenten te combineren, kunnen staven end-to-end worden samengevoegd, wat een ander concept van toevoeging illustreert: niet de staven toevoegen maar de lengtes van de staven.

Een lengte verlengen

Een getallenlijn-visualisatie van de algebraïsche optelling 2 + 4 = 6. Een vertaling door 2 gevolgd door een vertaling door 4 is hetzelfde als een vertaling door 6.

Een getallenlijnvisualisatie van de unaire optelling 2 + 4 = 6. Een vertaling door 4 komt overeen met vier vertalingen door 1.

Een tweede interpretatie van optellen komt voort uit het verlengen van een aanvankelijke lengte met een bepaalde lengte:

• Wanneer een originele lengte met een bepaald aantal wordt verlengd, is de uiteindelijke lengte de som van de originele lengte en de lengte van de extensie. ^[19]

De som a + b kan worden geïnterpreteerd als een binaire bewerking die a en b combineert , in algebraïsche zin, of kan worden geïnterpreteerd als de toevoeging van b meer eenheden aan a . Onder de laatste interpretatie spelen de delen van een som a + b een asymmetrische rol, en wordt de operatie a + b gezien als het toepassen van de unaire operatie + b op a . ^[20] In plaats van zowel a als b addends aan te roepen, is het in dit geval passender om a de augend te noemen , aangezien a een passieve rol speelt. De unaire weergave is ook nuttig bij het bespreken van aftrekken , omdat elke unaire optelbewerking een inverse unaire aftrekkingsbewerking heeft en vice versa .

Commutativiteit

4 + 2 = 2 + 4 met blokken

Optellen is commutatief , wat betekent dat men de volgorde van de termen in een som kan veranderen, maar toch hetzelfde resultaat krijgt. Symbolisch, als a en b twee willekeurige getallen zijn, dan

a + b = b + a .

Het feit dat optellen commutatief is, staat bekend als de "commutatieve optelwet" of "commutatieve eigenschap van optellen". Sommige andere binaire bewerkingen zijn commutatief, zoals vermenigvuldigen, maar vele andere niet, zoals aftrekken en delen.

Associativiteit

2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3 met gesegmenteerde staven

Optellen is associatief , wat betekent dat wanneer drie of meer getallen bij elkaar worden opgeteld, de volgorde van bewerkingen het resultaat niet verandert.

Moet de uitdrukking a + b + c bijvoorbeeld worden gedefinieerd als ( a + b ) + c of a + ( b + c )? Aangezien optellen associatief is, is de keuze van de definitie niet relevant. Voor drie willekeurige getallen a , b en c geldt dat ( a + b ) + c = a + ( b + c ) . Bijvoorbeeld (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3) .

Wanneer optellen samen met andere bewerkingen wordt gebruikt, wordt de volgorde van bewerkingen belangrijk. In de standaardvolgorde van bewerkingen heeft optellen een lagere prioriteit dan machtsverheffen , n-de wortels , vermenigvuldigen en delen, maar krijgt aftrekken dezelfde prioriteit. ^[21]

Identiteitselement

5 + 0 = 5 met zakken met stippen

Wanneer u nul toevoegt aan een willekeurig getal, verandert de hoeveelheid niet; nul is het identiteitselement voor toevoeging, ook wel bekend als de additieve identiteit . In symbolen, voor elke a ,

a + 0 = 0 + a = a .

Deze wet werd voor het eerst geïdentificeerd in Brahmagupta 's Brahmasphutasiddhanta in 628 na Christus, hoewel hij het schreef als drie afzonderlijke wetten, afhankelijk van of a negatief, positief of nul is, en hij gebruikte woorden in plaats van algebraïsche symbolen. Latere Indiase wiskundigen verfijnden het concept; rond het jaar 830, schreef Mahavira , "wordt nul hetzelfde als wat eraan wordt toegevoegd", wat overeenkomt met de unaire verklaring 0 + a = a . In de 12e eeuw schreef Bhaskara : "Bij het optellen van een cijfer, of het aftrekken ervan, blijft de hoeveelheid, positief of negatief, hetzelfde", wat overeenkomt met de unaire verklaring a + 0 = a . ^[22]

Opvolger

Binnen de context van integers speelt optellen van één ook een speciale rol: voor elk integer a is het integer ( a + 1) het kleinste integer groter dan a , ook wel de opvolger van a genoemd . ^[23] Bijvoorbeeld, 3 is de opvolger van 2 en 7 is de opvolger van 6. Door deze opvolging kan de waarde van a + b ook gezien worden als de b de opvolger van a , waardoor optelling een herhaalde opvolging is. Bijvoorbeeld 6 + 2 8, omdat 8 is de opvolger van 7, de opvolger van 6, 8 waardoor de opvolger 2 6.

Eenheden

Om fysieke hoeveelheden numeriek toe te voegen aan eenheden , moeten ze worden uitgedrukt met gemeenschappelijke eenheden. ^[24] Als je bijvoorbeeld 50 milliliter toevoegt aan 150 milliliter, krijg je 200 milliliter. Als een maat van 5 voet echter met 2 inch wordt verlengd, is de som 62 inch, aangezien 60 inch synoniem is met 5 voet. Aan de andere kant is het meestal zinloos om te proberen 3 meter en 4 vierkante meter toe te voegen, aangezien die eenheden onvergelijkbaar zijn; dit soort overwegingen is fundamenteel bij dimensionale analyse .

Aangeboren eigenschap

Studies naar wiskundige ontwikkeling die rond de jaren tachtig begonnen, hebben gebruik gemaakt van het fenomeen gewenning : baby's kijken langer naar onverwachte situaties. ^[25] Een baanbrekend experiment van Karen Wynn in 1992 met Mickey Mouse- poppen die achter een scherm werden gemanipuleerd, toonde aan dat baby's van vijf maanden verwachten dat 1 + 1 2 is, en ze zijn relatief verrast wanneer een fysieke situatie lijkt te impliceren dat 1 + 1 is 1 of 3. Deze bevinding is sindsdien bevestigd door verschillende laboratoria die verschillende methodologieën gebruiken. ^[26] Een ander experiment uit 1992 met oudere peuters , tussen 18 en 35 maanden, maakte gebruik van hun ontwikkeling van motorische controle door hen in staat te stellen pingpongballen uit een doos te halen; de jongste reageerde goed op kleine aantallen, terwijl oudere proefpersonen tot 5 tot 5 konden rekenen. ^[27]

Zelfs sommige niet-menselijke dieren vertonen een beperkt vermogen om toe te voegen, vooral primaten . In een experiment uit 1995 dat het resultaat van Wynn uit 1992 imiteerde (maar met aubergines in plaats van poppen), presteerden resusaapjes en cottontop-tamarinapen op dezelfde manier als menselijke baby's. Nog dramatischer was dat een chimpansee , nadat hij de betekenis van de Arabische cijfers 0 tot en met 4 had geleerd , de som van twee cijfers kon berekenen zonder verdere training. ^[28] Meer recentelijk hebben Aziatische olifanten aangetoond in staat te zijn om elementaire rekenkundige bewerkingen uit te voeren. ^[29]

Jeugd leren

Meestal leren kinderen eerst tellen . Als ze een probleem krijgen waarbij twee items en drie items moeten worden gecombineerd, modelleren jonge kinderen de situatie met fysieke objecten, vaak vingers of een tekening, en tellen ze vervolgens het totaal. Naarmate ze ervaring opdoen, leren of ontdekken ze de strategie van ‘tellen op’: ze worden gevraagd om twee plus drie te vinden, kinderen tellen drie over twee, zeggen 'drie, vier, vijf ' (meestal tikkende vingers af) en komen om vijf uur aan. . Deze strategie lijkt bijna universeel; kinderen kunnen het gemakkelijk oppikken van leeftijdsgenoten of leraren. ^[30] De meesten ontdekken het onafhankelijk. Met extra ervaring leren kinderen om sneller toe te voegen door gebruik te maken van de commutativiteit van optellen door op te tellen vanaf het grotere aantal, in dit geval te beginnen met drie en 'vier, vijf ' te tellen . Uiteindelijk beginnen kinderen zich bepaalde toevoegingsfeiten (" cijferbindingen ") te herinneren , hetzij door ervaring, hetzij door uit het hoofd te leren. Zodra sommige feiten in het geheugen zijn vastgelegd, beginnen kinderen onbekende feiten aan bekende af te leiden. Een kind dat bijvoorbeeld wordt gevraagd om zes en zeven toe te voegen, weet misschien dat 6 + 6 = 12 en dan redeneert dat 6 + 7 er nog één is, of 13. ^[31] Dergelijke afgeleide feiten kunnen heel snel worden gevonden en uiteindelijk kunnen de meeste basisschoolleerlingen vertrouw op een combinatie van uit het hoofd geleerd en afgeleide feiten om vloeiend toe te voegen. ^[32]

Verschillende landen introduceren hele getallen en rekenen op verschillende leeftijden, en veel landen geven les op de kleuterschool. ^[33] Maar over de hele wereld wordt de toevoeging aan het einde van het eerste jaar van de basisschool onderwezen. ^[34]

Tafel

Kinderen krijgen vaak de opteltabel met getallenparen van 0 tot 9 om te onthouden. Als ze dit weten, kunnen kinderen elke optelling uitvoeren.

Decimaal systeem

De voorwaarde voor optelling in het decimale systeem is het vloeiend terugroepen of afleiden van de 100 eencijferige "optelfeiten". Men zou alle feiten uit het hoofd kunnen onthouden , maar op patronen gebaseerde strategieën zijn verhelderend en, voor de meeste mensen, efficiënter: ^[35]

• Commutatieve eigenschap : hierboven vermeld, met behulp van het patroon a + b = b + a vermindert het aantal "optelfeiten" van 100 naar 55.
• Nog een of twee : het toevoegen van 1 of 2 is een basistaak en kan worden bereikt door te rekenen op of, uiteindelijk, intuïtie . ^[35]
• Nul : aangezien nul de additieve identiteit is, is het optellen van nul triviaal. Niettemin maken sommige studenten bij het onderwijzen van rekenkunde kennis met optellen als een proces dat altijd de toevoegingen verhoogt; redactiesommen kunnen helpen om de "uitzondering" van nul te rationaliseren. ^[35]
• Dubbelspel : het toevoegen van een getal aan zichzelf heeft te maken met tellen in tweeën en met vermenigvuldigen . Dubbelfeiten vormen een ruggengraat voor veel gerelateerde feiten, en studenten vinden ze relatief gemakkelijk te begrijpen. ^[35]
• Bijna-dubbelspel : Sommen zoals 6 + 7 = 13 kunnen snel worden afgeleid uit het dubbelfeit 6 + 6 = 12 door er nog een toe te voegen, of van 7 + 7 = 14 maar er één af te trekken. ^[35]
• Vijf en tien : Sommen van de vorm 5 + x en 10 + x worden meestal vroeg uit het hoofd geleerd en kunnen worden gebruikt om andere feiten af ​​te leiden. Bijvoorbeeld 6 + 7 = 13 worden verkregen uit 5 + 7 = 12 door toevoeging van één. ^[35]
• Tien maken : een geavanceerde strategie gebruikt 10 als tussenproduct voor sommen van 8 of 9; bijvoorbeeld 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14 . ^[35]

Naarmate studenten ouder worden, leggen ze meer feiten vast in het geheugen en leren ze andere feiten snel en vloeiend af te leiden. Veel studenten onthouden nooit alle feiten uit het hoofd, maar kunnen toch elk basisfeit snel vinden. ^[32]

Draag

Het standaardalgoritme voor het toevoegen van getallen met meerdere cijfers is om de toevoegingen verticaal uit te lijnen en de kolommen toe te voegen, beginnend bij de kolom en aan de rechterkant. Als een kolom de negen overschrijdt, wordt het extra cijfer " meegenomen " naar de volgende kolom. Bijvoorbeeld in de toevoeging 27 + 59

 ¹ 27+ 59———— 86

7 + 9 = 16, en het cijfer 1 is de carry. ^[b] Een alternatieve strategie begint met optellen vanaf het meest significante cijfer aan de linkerkant; deze route maakt het dragen een beetje onhandiger, maar het is sneller om een ​​ruwe schatting van de som te krijgen. Er zijn veel alternatieve methoden.

Decimale breuken

Decimale breuken kunnen worden toegevoegd door een eenvoudige wijziging van het bovenstaande proces. ^[36] Men lijnt twee decimale breuken boven elkaar uit, met de komma op dezelfde plaats. Indien nodig kan men volgnullen toevoegen aan een korter decimaal getal om het dezelfde lengte te geven als het langere decimaal. Ten slotte voert men hetzelfde optelproces uit als hierboven, behalve dat de komma in het antwoord wordt geplaatst, precies waar het in de sommandia was geplaatst.

Als voorbeeld kan 45,1 + 4,34 als volgt worden opgelost:

 4 5. 1 0+ 0 4. 3 4———————————— 4 9. 4 4

Wetenschappelijke notatie

In wetenschappelijke notatie worden getallen in de vorm geschreven${\ displaystyle x = a \ maal 10 ^ {b}}$, waar ${\ displaystyle a}$ is de betekenis en ${\ displaystyle 10 ^ {b}}$is het exponentiële deel. Optellen vereist dat twee getallen in wetenschappelijke notatie worden weergegeven met hetzelfde exponentiële deel, zodat de twee betekenissen eenvoudig kunnen worden opgeteld.

Bijvoorbeeld:

${\ displaystyle 2,34 \ maal 10 ^ {- 5} +5,67 \ maal 10 ^ {- 6} = 2,34 \ maal 10 ^ {- 5} +0,567 \ maal 10 ^ {- 5} = 2,907 \ maal 10 ^ {- 5}}$

Niet-decimaal

Optellen in andere basen lijkt sterk op decimale optelling. Als voorbeeld kan men optellen in binair getal beschouwen. ^[37] Het toevoegen van twee eencijferige binaire getallen is relatief eenvoudig, met behulp van een vorm van dragen:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, draag 1 (aangezien 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2 ¹ ))

Het toevoegen van twee "1" cijfers levert een cijfer "0" op, terwijl 1 moet worden toegevoegd aan de volgende kolom. Dit is vergelijkbaar met wat er gebeurt in decimalen wanneer bepaalde getallen van één cijfer bij elkaar worden opgeteld; als het resultaat gelijk is aan of groter is dan de waarde van de radix (10), wordt het cijfer links verhoogd:

5 + 5 → 0, draag 1 (aangezien 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10 ¹ ))

7 + 9 → 6, draag 1 (aangezien 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10 ¹ ))

Dit staat bekend als dragen . ^[38] Wanneer het resultaat van een optelling de waarde van een cijfer overschrijdt, is de procedure om het overtollige bedrag gedeeld door de radix (dat wil zeggen 10/10) naar links te "dragen" en het bij de volgende positiewaarde op te tellen. Dit is correct aangezien de volgende positie een gewicht heeft dat hoger is met een factor gelijk aan de radix. Dragen werkt op dezelfde manier in binair:

 1 1 1 1 1 (overgedragen cijfers) 0 1 1 0 1+ 1 0 1 1 1————————————— 1 0 0 1 0 0 = 36

In dit voorbeeld worden twee cijfers bij elkaar opgeteld: 01101 ₂ (13 ₁₀ ) en 10111 ₂ (23 ₁₀ ). De bovenste rij toont de gebruikte carry-bits. Beginnend in de meest rechtse kolom, 1 + 1 = 10 ₂ . De 1 wordt naar links gedragen en de 0 staat onderaan de meest rechtse kolom. De tweede kolom van rechts wordt toegevoegd: 1 + 0 + 1 = 10 ₂ weer; de 1 wordt gedragen en 0 staat onderaan. De derde kolom: 1 + 1 + 1 = 11 ₂ . Deze keer wordt een 1 gedragen en een 1 op de onderste rij. Als u zo doorgaat, krijgt u het definitieve antwoord 100100 ₂ (36 ₁₀ ).

Computers

Toevoeging met een op-amp. Zie Sommerende versterker voor details.

Analoge computers werken rechtstreeks met fysieke grootheden, dus hun optelmechanismen zijn afhankelijk van de vorm van de toevoegingen. Een mechanische opteller kunnen twee optellers stellen als de posities van de glijblokken, waarbij zij kunnen worden toegevoegd met een gemiddelde hefboom . Als de toevoegingen de rotatiesnelheden van twee assen zijn , kunnen ze worden toegevoegd met een differentieel . Een hydraulische opteller kan de drukken in twee kamers optellen door gebruik te maken van de tweede wet van Newton om de krachten op een samenstel van zuigers te balanceren . De meest voorkomende situatie voor een analoge computer voor algemeen gebruik is om twee spanningen toe te voegen (gerelateerd aan aarde ); Deze kunnen ruwweg worden bereikt met een weerstand netwerk , maar een beter ontwerp maakt gebruik van een operationele versterker . ^[39]

Daarnaast is ook van fundamenteel belang voor de werking van de digitale computers , waarin het rendement van de toevoeging, in het bijzonder de carry -mechanisme, is een belangrijke beperking van de algemene prestaties.

Onderdeel van Charles Babbage's Difference Engine inclusief de toevoeg- en transportmechanismen

Het telraam , ook wel een telraam genoemd, is een rekenhulpmiddel dat eeuwen vóór de invoering van het geschreven moderne cijfersysteem in gebruik was en dat nog steeds veel wordt gebruikt door kooplieden, handelaars en klerken in Azië , Afrika en elders; het dateert uit minstens 2700–2300 v.Chr., toen het in Sumerië werd gebruikt . ^[40]

Blaise Pascal vond de mechanische rekenmachine uit in 1642; ^[41] het was de eerste operationele rekenmachine . Het maakte gebruik van een door de zwaartekracht ondersteund draagmechanisme. Het was de enige operationele mechanische rekenmachine in de 17e eeuw ^[42] en de vroegste automatische, digitale computer. De rekenmachine van Pascal werd beperkt door het draagmechanisme, dat de wielen dwong om maar één kant op te draaien, zodat het kon toevoegen. Om af te trekken, moest de operator het complement van de rekenmachine van Pascal gebruiken , waarvoor evenveel stappen nodig waren als een optelling. Giovanni Poleni volgde Pascal en bouwde in 1709 de tweede functionele mechanische rekenmachine, een rekenklok van hout die, eenmaal ingesteld, automatisch twee getallen kon vermenigvuldigen.

Logische schakeling " Full opteller " die twee binaire cijfers A en B optelt , samen met een carry-ingang C _in , waardoor de sombit S wordt geproduceerd , en een carry-uitgang C _out .

Adders voeren optelling van gehele getallen uit in elektronische digitale computers, meestal met behulp van binaire rekenkunde . De eenvoudigste architectuur is de rimpel-carry-opteller, die het standaard meercijferige algoritme volgt. Een kleine verbetering is het ontwerp van de carry skip , wederom volgens de menselijke intuïtie; men voert niet alle carry's uit bij het berekenen van 999 + 1 , maar men omzeilt de groep van 9s en springt naar het antwoord. ^[43]

In de praktijk kan computationele optelling worden bereikt via XOR en AND bitgewijze logische bewerkingen in combinatie met bitshift-bewerkingen zoals getoond in de pseudocode hieronder. Zowel XOR- als AND-poorten zijn eenvoudig te realiseren in digitale logica, waardoor volledige optelschakelingen kunnen worden gerealiseerd die op hun beurt kunnen worden gecombineerd tot meer complexe logische bewerkingen. In moderne digitale computers is optellen van gehele getallen doorgaans de snelste rekeninstructie, maar het heeft de grootste invloed op de prestaties, aangezien het ten grondslag ligt aan alle drijvende-kommabewerkingen en aan basistaken zoals het genereren van adressen tijdens geheugentoegang en het ophalen van instructies tijdens het vertakken . Om de snelheid te verhogen, berekenen moderne ontwerpen cijfers parallel ; deze schema's hebben namen als carry select, carry lookahead en de Ling pseudocarry. Veel implementaties zijn in feite hybriden van deze laatste drie ontwerpen. ^{[44] [45]} In tegenstelling tot optellen op papier, worden bij optellen op een computer vaak de toevoegingen gewijzigd. Op de oude telraam en het toevoegbord worden beide toevoegingen vernietigd, waardoor alleen de som overblijft. De invloed van het telraam op het wiskundig denken was sterk genoeg dat vroege Latijnse teksten vaak beweerden dat bij het optellen van "een getal aan een getal" beide getallen verdwijnen. ^[46] In moderne tijden vervangt de ADD-instructie van een microprocessor vaak de augend door de som, maar behoudt de addend. ^[47] In een programmeertaal op hoog niveau verandert de evaluatie van a + b niet a of b ; als het doel is om a te vervangen door de som, moet dit expliciet worden aangevraagd, meestal met de verklaring a = a + b . In sommige talen, zoals C of C ++, kan dit worden afgekort als a + = b .

// Iteratief algoritme int  add ( int  x ,  int  y )  {  int  carry  =  0 ;  while  ( y  ! =  0 )  {  carry  =  AND ( x ,  y );  // Logisch EN  x  =  XOR ( x ,  y );  // Logische XOR  y  =  carry  <<  1 ;  // left bitshift carry by one  }  return  x ;  }// Recursief algoritme int  add ( int  x ,  int  y )  {  return  x  if  ( y  ==  0 )  else  add ( XOR ( x ,  y ),  AND ( x ,  y )  <<  1 ); }

Als op een computer het resultaat van een optelling te groot is om op te slaan, treedt een rekenkundige overloop op, wat resulteert in een onjuist antwoord. Onverwachte rekenkundige overloop is een vrij veel voorkomende oorzaak van programmafouten . Dergelijke overflow-bugs zijn misschien moeilijk te ontdekken en te diagnosticeren, omdat ze zich alleen manifesteren voor zeer grote invoergegevenssets, die minder waarschijnlijk zullen worden gebruikt in validatietests. ^[48] Het jaar 2000-probleem was een reeks bugs waarbij overloopfouten optraden als gevolg van het jarenlang gebruik van een 2-cijferig formaat. ^[49]

Om de gebruikelijke eigenschappen van optellen te bewijzen, moet men eerst optellen definiëren voor de context in kwestie. Optellen wordt eerst gedefinieerd op de natuurlijke getallen . In de verzamelingenleer wordt de optelling vervolgens uitgebreid tot steeds grotere verzamelingen die de natuurlijke getallen bevatten: de gehele getallen , de rationale getallen en de reële getallen . ^[50] (In het wiskundeonderwijs , ^[51] positieve fracties worden toegevoegd voordat negatieve getallen zelfs worden beschouwd,. Dit is ook de historische route ^[52] )

Natuurlijke cijfers

Er zijn twee populaire manieren om de som van twee natuurlijke getallen a en b te definiëren . Als men natuurlijke getallen definieert als de kardinaliteit van eindige verzamelingen (de kardinaliteit van een verzameling is het aantal elementen in de verzameling), dan is het gepast om hun som als volgt te definiëren:

• Laat N ( S ) als cardinaliteit van een verzameling S . Neem twee onsamenhangende sets A en B , met N ( A ) = a en N ( B ) = b . Dan wordt a + b gedefinieerd als${\ displaystyle N (A \ cup B)}$. ^[53]

Hier, A ∪ B is de vereniging van A en B . Een alternatieve versie van deze definitie staat toe dat A en B elkaar mogelijk overlappen en neemt vervolgens hun disjuncte unie , een mechanisme waarmee gemeenschappelijke elementen kunnen worden gescheiden en daarom dubbel worden geteld.

De andere populaire definitie is recursief:

• Laat n ⁺ de opvolger zijn van n , dat is het getal dat volgt op n in de natuurlijke getallen, dus 0 ⁺ = 1, 1 ⁺ = 2. Definieer a + 0 = a . Definieer de algemene som recursief door a + ( b ⁺ ) = ( a + b ) ⁺ . Dus 1 + 1 = 1 + 0 ⁺ = (1 + 0) ⁺ = 1 ⁺ = 2 . ^[54]

Nogmaals, er zijn kleine variaties op deze definitie in de literatuur. Letterlijk genomen is de bovenstaande definitie een toepassing van de recursiestelling op de gedeeltelijk geordende verzameling N ² . ^[55] Aan de andere kant geven sommige bronnen er de voorkeur aan om een ​​beperkte recursiestelling te gebruiken die alleen van toepassing is op de verzameling natuurlijke getallen. Men beschouwt a dan als tijdelijk "vast", past recursie toe op b om een ​​functie " a  +" te definiëren , en plakt deze unaire operaties voor alle a samen om de volledige binaire operatie te vormen. ^[56]

Deze recursieve formulering van toevoeging werd al in 1854 door Dedekind ontwikkeld en hij zou deze in de volgende decennia verder uitwerken. ^[57] Hij bewees de associatieve en commutatieve eigenschappen onder meer door wiskundige inductie .

Gehele getallen

De eenvoudigste opvatting van een geheel getal is dat het bestaat uit een absolute waarde (wat een natuurlijk getal is) en een teken (meestal positief of negatief ). Het gehele getal nul is een speciaal derde geval, dat noch positief noch negatief is. De overeenkomstige definitie van toevoeging moet gebeuren door gevallen:

• Voor een geheel getal n , laat | n | zijn absolute waarde. Laat a en b gehele getallen zijn. Als a of b nul is, behandel het dan als een identiteit. Als a en b beide positief zijn, definieer dan a + b = | een | + | b | . Als a en b beide negatief zijn, definieer dan a + b = - (| a | + | b |) . Als a en b verschillende tekens hebben, definieer dan a + b als het verschil tussen | een | en | b |, met het teken van de term waarvan de absolute waarde groter is. ^[58] Als voorbeeld −6 + 4 = −2 ; omdat −6 en 4 verschillende tekens hebben, worden hun absolute waarden afgetrokken, en aangezien de absolute waarde van de negatieve term groter is, is het antwoord negatief.

Hoewel deze definitie nuttig kan zijn voor concrete problemen, maakt het aantal te overwegen gevallen de bewijzen onnodig ingewikkeld. Dus de volgende methode wordt vaak gebruikt voor het definiëren van gehele getallen. Het is gebaseerd op de opmerking dat elk geheel getal het verschil is van twee natuurlijke gehele getallen en dat twee van dergelijke verschillen, a - b en c - d , gelijk zijn als en slechts als a + d = b + c . Men kan dus formeel de gehele getallen definiëren als de equivalentieklassen van geordende paren natuurlijke getallen onder de equivalentierelatie

( a , b ) ~ ( c , d ) als en slechts als a + d = b + c .

De equivalentieklasse van ( a , b ) bevat ofwel ( a - b , 0) als a ≥ b , of (0, b - a ) anders. Als n een natuurlijk getal is, kan men + n de equivalentieklasse van ( n , 0) aangeven , en door - n de equivalentieklasse van (0, n ) . Dit maakt het mogelijk om het natuurlijke getal n te identificeren met de equivalentieklasse + n .

Het toevoegen van geordende paren gebeurt componentgewijs:

${\ displaystyle (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).}$

Een eenvoudige berekening toont aan dat de equivalentieklasse van het resultaat alleen afhangt van de equivalentieklassen van de sommaties, en dus dat dit een optelling van equivalentieklassen definieert, dat wil zeggen gehele getallen. ^[59] Een andere eenvoudige berekening toont aan dat deze toevoeging hetzelfde is als de bovenstaande casusdefinitie.

Deze manier om gehele getallen te definiëren als equivalentieklassen van paren natuurlijke getallen, kan worden gebruikt om in een groep elke commutatieve semigroep met annuleringseigenschap in te bedden . Hier wordt de semigroep gevormd door de natuurlijke getallen en de groep is de additieve groep van gehele getallen. De rationale getallen worden op dezelfde manier geconstrueerd, door de niet-nul gehele getallen met vermenigvuldiging als halve groep te nemen.

Deze constructie is ook gegeneraliseerd onder de naam Grothendieck-groep naar het geval van elke commutatieve semigroep. Zonder de eigenschap annulering kan het homomorfisme van de semigroep van de semigroep naar de groep niet-injectief zijn. Oorspronkelijk was de Grothendieck-groep , meer specifiek, het resultaat van deze constructie toegepast op de equivalentieklassen onder isomorfismen van de objecten van een abelse categorie , met de directe som als semigroepoperatie.

Rationale getallen (breuken)

Optelling van rationale getallen kan worden berekend met behulp van de kleinste gemene deler , maar een conceptueel eenvoudigere definitie omvat alleen optellen en vermenigvuldigen van gehele getallen:

• Bepalen ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} + {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ad + bc} {bd}}.}$

Als voorbeeld de som ${\ displaystyle {\ frac {3} {4}} + {\ frac {1} {8}} = {\ frac {3 \ maal 8 + 4 \ maal 1} {4 \ maal 8}} = {\ frac {24 + 4} {32}} = {\ frac {28} {32}} = {\ frac {7} {8}}}$.

Het optellen van breuken is veel eenvoudiger als de noemers dezelfde zijn; in dit geval kan men eenvoudig de tellers optellen terwijl de noemer hetzelfde blijft:${\ displaystyle {\ frac {a} {c}} + {\ frac {b} {c}} = {\ frac {a + b} {c}}}$, dus ${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} + {\ frac {2} {4}} = {\ frac {1 + 2} {4}} = {\ frac {3} {4}}}$. ^[60]

De commutativiteit en associativiteit van rationele optelling is een gemakkelijk gevolg van de wetten van rekenen met gehele getallen. ^[61] Voor een meer rigoureuze en algemene discussie, zie het veld van breuken .

Echte getallen

Toevoegen π ² /6 en e gebruik dedekindsnede van rationale.

Een veel voorkomende constructie van de reeks reële getallen is de Dedekind-voltooiing van de reeks rationale getallen. Een reëel getal wordt gedefinieerd als een Dedekind-verlaging van rantsoenen: een niet-lege set rantsoenen die naar beneden is gesloten en geen grootste element heeft . De som van reële getallen a en b wordt element voor element bepaald:

• Bepalen ${\ displaystyle a + b = \ {q + r \ mid q \ in a, r \ in b \}.}$^[62]

Deze definitie werd voor het eerst gepubliceerd, in een licht gewijzigde vorm, door Richard Dedekind in 1872. ^[63] De commutativiteit en associativiteit van echte toevoeging zijn onmiddellijk; door het reële getal 0 te definiëren als de reeks negatieve rationale getallen, is het gemakkelijk te zien als de additieve identiteit. Waarschijnlijk het lastigste deel van deze constructie met betrekking tot optellen is de definitie van additieve inverse. ^[64]

Toevoegen π ² /6 en e gebruik Cauchy sequenties van rationale.

Helaas is het omgaan met vermenigvuldiging van Dedekind-bezuinigingen een tijdrovend proces van geval tot geval, vergelijkbaar met het optellen van gehele getallen met teken. ^[65] Een andere benadering is de metrische voltooiing van de rationale getallen. Een reëel getal wordt in wezen gedefinieerd als de limiet van een Cauchy-reeks van rationale getallen , lim  a _n . Toevoeging wordt term voor term gedefinieerd:

• Bepalen ${\ displaystyle \ lim _ {n} a_ {n} + \ lim _ {n} b_ {n} = \ lim _ {n} (a_ {n} + b_ {n}).}$^[66]

Deze definitie werd voor het eerst gepubliceerd door Georg Cantor , ook in 1872, hoewel zijn formalisme iets anders was. ^[67] Men moet bewijzen dat deze operatie welomschreven is en zich bezighoudt met co-Cauchy-sequenties. Zodra die taak is voltooid, volgen alle eigenschappen van echte optelling onmiddellijk uit de eigenschappen van rationale getallen. Bovendien hebben de andere rekenkundige bewerkingen, waaronder vermenigvuldiging, eenvoudige, analoge definities. ^[68]

Complexe getallen

Optellen van twee complexe getallen kan geometrisch worden gedaan door een parallellogram te construeren.

Complexe getallen worden opgeteld door de reële en imaginaire delen van de summands op te tellen. ^{[69] [70]} Dat wil zeggen:

${\ displaystyle (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i.}$

Door gebruik te maken van de visualisatie van complexe getallen in het complexe vlak, heeft de optelling de volgende geometrische interpretatie: de som van twee complexe getallen A en B , geïnterpreteerd als punten van het complexe vlak, is het punt X verkregen door het bouwen van een parallellogram waarvan drie hoekpunten zijn O , A en B . Op equivalente wijze is X het punt zodat de driehoeken met hoekpunten O , A , B en X , B , A , congruent zijn .

Er zijn veel binaire bewerkingen die kunnen worden gezien als generalisaties van de optelbewerking op de reële getallen. Het gebied van de abstracte algebra houdt zich centraal bezig met dergelijke gegeneraliseerde operaties, en ze komen ook voor in de verzamelingenleer en categorietheorie .

Abstracte algebra

Vectoren

In lineaire algebra is een vectorruimte een algebraïsche structuur waarmee twee vectoren kunnen worden opgeteld en vectoren kunnen worden geschaald. Een bekende vectorruimte is de verzameling van alle geordende paren reële getallen; het geordende paar ( a , b ) wordt geïnterpreteerd als een vector vanaf de oorsprong in het Euclidische vlak tot het punt ( a , b ) in het vlak. De som van twee vectoren wordt verkregen door hun individuele coördinaten toe te voegen:

${\ displaystyle (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).}$

Deze opteloperatie staat centraal in de klassieke mechanica , waarin vectoren worden geïnterpreteerd als krachten .

Matrices

Matrixoptelling is gedefinieerd voor twee matrices met dezelfde afmetingen. De som van twee m × n (uitgesproken als "m door n") matrices A en B , aangeduid met A + B , is weer een m × n- matrix die wordt berekend door overeenkomstige elementen toe te voegen: ^{[71] [72]}

${\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} \ mathbf {A} + \ mathbf {B} & = {\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & \ cdots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ cdots & a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} & a_ {m2} & \ cdots & a_ {mn} \\\ end {bmatrix}} + { \ begin {bmatrix} b_ {11} & b_ {12} & \ cdots & b_ {1n} \\ b_ {21} & b_ {22} & \ cdots & b_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ b_ {m1} & b_ {m2} & \ cdots & b_ {mn} \\\ end {bmatrix}} \\ & = {\ begin {bmatrix} a_ {11} + b_ {11} & a_ {12} + b_ {12} & \ cdots & a_ {1n} + b_ {1n} \\ a_ {21} + b_ {21} & a_ {22} + b_ {22} & \ cdots & a_ {2n} + b_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} + b_ {m1} & a_ {m2} + b_ {m2} & \ cdots & a_ {mn} + b_ {mn} \\\ end {bmatrix}} \\\ einde {uitgelijnd}}}$

Bijvoorbeeld:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 7 & 5 \\ 2 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 + 0 & 3 + 0 \\ 1 + 7 & 0 + 5 \\ 1 + 2 & 2 + 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 \\ 8 & 5 \\ 3 & 3 \ end {bmatrix}}}$

Modulair rekenen

In modulaire rekenkunde heeft de verzameling gehele getallen modulo 12 twaalf elementen; het erft een opteloperatie van de gehele getallen die centraal staat in de muzikale verzamelingenleer . De set van gehele getallen modulo 2 heeft slechts twee elementen; de optelbewerking die het erft, staat in de Booleaanse logica bekend als de functie " exclusief of ". In de meetkunde wordt de som van twee hoekmetingen vaak genomen als hun som als reële getallen modulo 2π. Dit komt neer op een optelbewerking op de cirkel , die op zijn beurt generaliseert naar optelbewerkingen op veeldimensionale tori .

Algemene theorie

De algemene theorie van abstracte algebra maakt het mogelijk dat een "optel" -operatie elke associatieve en commutatieve operatie op een verzameling is. Basis algebraïsche structuren met een dergelijke optelbewerking omvatten commutatieve monoïden en abelse groepen .

Verzamelingenleer en categorietheorie

Een vergaande generalisatie van optellen van natuurlijke getallen is de optelling van rangtelwoorden en hoofdtelwoorden in de verzamelingenleer. Deze geven twee verschillende generalisaties van toevoeging van natuurlijke getallen aan het transfiniet . In tegenstelling tot de meeste optelbewerkingen is het optellen van rangtelwoorden niet commutatief. Het optellen van hoofdtelwoorden is echter een commutatieve operatie die nauw verband houdt met de onsamenhangende vakbondsoperatie .

In categorietheorie wordt disjuncte vereniging gezien als een specifiek geval van de coproductoperatie , en algemene coproducten zijn misschien wel de meest abstracte van alle generalisaties van optellen. Sommige bijproducten, zoals directe som en wigvormige som , worden genoemd om hun verband met optellen op te roepen.

Optellen, samen met aftrekken, vermenigvuldigen en delen, wordt beschouwd als een van de basisbewerkingen en wordt gebruikt in elementaire rekenkunde .

Rekenkundig

Aftrekken kan worden gezien als een soort optelling, dat wil zeggen, de optelling van een optel-inverse . Aftrekken zelf een soort omgekeerde toevoeging, dat toevoeging van x en aftrekken x zijn inverse functies .

Gegeven een set met een opteloperatie, kan men niet altijd een corresponderende aftrekkingsoperatie op die set definiëren; de reeks natuurlijke getallen is een eenvoudig voorbeeld. Aan de andere kant bepaalt een aftrekkingsoperatie op unieke wijze een opteloperatie, een additieve inverse operatie en een additieve identiteit; om deze reden kan een additieve groep worden omschreven als een set die onder aftrekking wordt gesloten. ^[73]

Vermenigvuldiging kan worden gezien als herhaalde optelling . Als een enkele term x n keer in een som voorkomt , dan is de som het product van n en x . Als n geen natuurlijk getal is , kan het product nog steeds logisch zijn; vermenigvuldiging met −1 levert bijvoorbeeld de additieve inverse van een getal op.

Een ronde rekenliniaal

In de reële en complexe getallen kunnen optellen en vermenigvuldigen worden uitgewisseld door de exponentiële functie : ^[74]

${\ displaystyle e ^ {a + b} = e ^ {a} e ^ {b}.}$

Door deze identiteit kan vermenigvuldiging worden uitgevoerd door een tabel met logaritmen te raadplegen en handmatig optellen; het maakt ook vermenigvuldiging op een rekenliniaal mogelijk . De formule is nog steeds een goede benadering van de eerste orde in de brede context van Lie-groepen , waar het de vermenigvuldiging van oneindig kleine groepselementen relateert aan de toevoeging van vectoren in de bijbehorende Lie-algebra . ^[75]

Er zijn zelfs meer generalisaties van vermenigvuldiging dan optelling. ^[76] In het algemeen worden vermenigvuldigingsbewerkingen altijd verdeeld over optellen; deze vereiste is geformaliseerd in de definitie van een ring . In sommige contexten, zoals de gehele getallen, is distributiviteit boven optellen en het bestaan ​​van een vermenigvuldigingsidentiteit voldoende om de vermenigvuldigingsbewerking uniek te bepalen. De distributieve eigenschap geeft ook informatie over optellen; door het product (1 + 1) ( a + b ) op beide manieren uit te breiden , concludeert men dat optelling gedwongen wordt om commutatief te zijn. Om deze reden is ringadditie in het algemeen commutatief. ^[77]

Delen is een rekenkundige bewerking die op afstand is gerelateerd aan optellen. Aangezien a / b = a ( b ⁻¹ ) , is deling juist distributief over optellen: ( a + b ) / c = a / c + b / c . ^[78] Splitsing blijft echter niet distributief over optellen; 1 / (2 + 2) is niet hetzelfde als 1/2 + 1/2 .

Bestellen

Log-log-plot van x + 1 en max ( x , 1) van x = 0,001 tot 1000 ^[79]

De maximale bewerking "max ( a , b )" is een binaire bewerking vergelijkbaar met optellen. In feite, als twee niet-negatieve getallen a en b een verschillende grootteorde hebben , dan is hun som ongeveer gelijk aan hun maximum. Deze benadering is buitengewoon nuttig bij de toepassingen van wiskunde, bijvoorbeeld bij het afkappen van Taylorreeksen . Het vormt echter een voortdurende moeilijkheid bij numerieke analyse , in wezen omdat "max" niet omkeerbaar is. Als b veel groter is dan a , dan kan een eenvoudige berekening van ( a + b ) - b een onaanvaardbare afrondingsfout opleveren , en misschien zelfs nul retourneren. Zie ook Verlies van betekenis .

De benadering wordt exact in een soort oneindige limiet; als a of b een oneindig kardinaal getal is , is hun kardinale som exact gelijk aan de grootste van de twee. ^[80] Dienovereenkomstig is er geen aftrekbewerking voor oneindige kardinalen. ^[81]

Maximalisatie is commutatief en associatief, net als optellen. Bovendien, aangezien optellen de volgorde van reële getallen behoudt, verdeelt optellen zich over "max" op dezelfde manier als vermenigvuldiging over optellen verdeelt:

${\ displaystyle a + \ max (b, c) = \ max (a + b, a + c).}$

Om deze redenen vervangt men in tropische meetkunde vermenigvuldiging door optellen en optellen door maximalisatie. In deze context wordt optellen "tropische vermenigvuldiging" genoemd, maximalisatie wordt "tropische optelling" genoemd en is de tropische "additieve identiteit" negatief oneindig . ^[82] Sommige auteurs geven er de voorkeur aan om toevoeging te vervangen door minimalisatie; dan is de additieve identiteit positief oneindig. ^[83]

Door deze waarnemingen samen te brengen, is tropische optelling ongeveer gerelateerd aan regelmatige optelling door middel van de logaritme :

${\ Displaystyle \ log (a + b) \ approx \ max (\ log a, \ log b),}$

die nauwkeuriger wordt naarmate de basis van de logaritme toeneemt. ^[84] De benadering kan exact worden gemaakt door een constante h te extraheren , genoemd naar analogie met de constante van Planck uit de kwantummechanica , ^[85] en de " klassieke limiet " te nemen zoals h naar nul neigt:

${\ displaystyle \ max (a, b) = \ lim _ {h \ tot 0} h \ log (e ^ {a / h} + e ^ {b / h}).}$

In die zin is de maximale werking een gedekwantiseerde versie van optellen. ^[86]

Andere manieren om toe te voegen

Toename, ook wel de opvolgeroperatie genoemd , is het optellen van 1 bij een getal.

Sommatie beschrijft de optelling van willekeurig veel getallen, meestal meer dan slechts twee. Het omvat het idee van de som van een enkel getal, dat zichzelf is, en de lege som , die nul is . ^[87] Een oneindige sommatie is een delicate procedure die bekend staat als een reeks . ^[88]

Het tellen van een eindige set is gelijk aan het optellen van 1 over de set.

Integratie is een soort "sommatie" over een continuüm , of meer precies en in het algemeen, over een differentieerbaar spruitstuk . Integratie over een nul-dimensionaal verdeelstuk reduceert tot sommatie.

Lineaire combinaties combineren vermenigvuldiging en optelling; het zijn sommen waarin elke term een ​​vermenigvuldigingsfactor heeft, meestal een reëel of complex getal. Lineaire combinaties zijn vooral handig in contexten waar ongecompliceerde toevoeging in strijd zou zijn met een normalisatieregel, zoals het mengen van strategieën in de speltheorie of superpositie van toestanden in de kwantummechanica .

Convolutie wordt gebruikt om twee onafhankelijke willekeurige variabelen toe te voegen die worden gedefinieerd door distributiefuncties . De gebruikelijke definitie combineert integratie, aftrekken en vermenigvuldigen. In het algemeen is convolutie nuttig als een soort optelling aan de domeinzijde; Vectortoevoeging daarentegen is een soort optelling aan de bereikzijde.

• Hoofdrekenen
• Parallelle optelling (wiskunde)
• Verbaal rekenen (ook bekend als cryptaritmen), puzzels met optellen